8

Лекция 5 § 3 Моделирование технических систем на макроуровне

§3.1 Понятие о математических моделях (ММ) на макроуровне

Математическое моделирование систем с распределенными параметрами дает очень хорошие практические результаты, однако оно имеет ряд ограничений:

1. МКЭ в своей стандартной постановке предполагает исключение движения исследуемого объекта, как жесткого целого, в то время, как целый ряд проектных процедур предполагает выяснение траекторий движения механизмов и динамических нагрузок, возникающих в них вследствие этих движений.

2. Для ряда проектных задач, особенно на ранних стадиях проектирования, когда еще не ясна форма проектируемых объектов, а имеется в наличии лишь функциональные и кинематические схемы, практически невозможно поставить задачу микроуровня, поскольку имеем недостаток сведений о параметрах элементов.

3. Наконец существует целый ряд задач, для которых совсем не нужна столь сложная постановка задачи, требующая больших вычислительных ресурсов. Очень часто вполне достаточной оказывается точность, характерная для моделей с сосредоточенными параметрами.

Макроуровень использует представление о среде как о дискретном пространстве. В частности для механических систем инерционные параметры считаются сосредоточенными в определенных точках или сечениях системы, которые связаны между собой упруго-диссипативными или геометрическими связями. Отсюда и название - системы с сосредоточенными параметрами.

На макроуровне в технической системе выделяются достаточно крупные элементы, которые в дальнейшем рассматриваются как неделимые единицы, при этом условно выделяют два типа фазовых переменных:

• фазовые переменные типа потенциала;

• фазовые переменные типа потока.

В разных физических системах используются фазовые переменные типа потенциала и типа потока. Их классификация дана в таблице:

Тип физической подсистемы	Фазовая переменная типа потенциала	Фазовая переменная типа потока
Электрическая	потенциал 	ток I
Механическая поступательная	скорость v	сила F
Механическая вращательная	угловая скорость 	крутящий момент M
Гидравлическая (пневматическая)	давление p	массовый расход G или объемный расход Q
Тепловая	температура T	тепловой поток Ф

Сравнение фазовых переменных для различных подсистем показывает, что фазовые переменные типа потенциала характеризуют энергию точки системы, а фазовые переменные типа потока характеризуют энергию взаимодействие между этими точками.

Поскольку сложные технические объекты, как правило являются гетерогенными, т.е. состоят из объектов различной физической природы, то для формализации составления ММ следует применять инвариантные методы - т.е. методы, независящие от физической природы объекта моделирования.

Среди инвариантных методов наибольшее распространение получил метод прямой аналогии. Этот метод основывается на следующих положениях:

1. Моделируемая техническая система рассматривается как совокупность подсистем, причем процессы, происходящие в каждой из подсистем должны быть физически однородны (механические, гидравлические, тепловые, электрические).

2. Состояние каждой из подсистем описывается фазовыми переменными типа потенциала и типа потока.

3. Структура каждой подсистемы рассматривается как совокупность элементов и связей между ними.

4. Свойства каждого элемента описываются его математической моделью, связывающей фазовые переменные типа потенциала U с фазовыми переменными типа потока I . Эти уравнения называются компонентными. I=I(U,t)

5. Связь между элементами в рамках одной подсистемы выражается в виде т.н. топологических уравнений. Эти уравнения связывают однотипные фазовые переменные различных элементов - т.е. фазовые переменные типа потенциала с фазовыми переменными типа потенциала и (или) фазовые переменные типа потока с фазовыми переменными типа потока. Топологические уравнения обычно выражают условия равновесия или непрерывности для различных подсистем.

6. Взаимосвязь между подсистемами осуществляется с помощью специальных элементов, компонентные уравнения которых используют фазовые переменные связываемых физических подсистем.

7. Математическая модель системы есть объединение компонентных и топологических уравнений.

Элементы бывают простые и сложные. Простые элементы отличаются тем, что их ММ зависит не более, чем от двух фазовых элементов типа потенциала. Такими простейшими элементами, из которых можно создать модель любого уровня сложности являются элементы типа R, L, C, I, E, или иными словами элементы типа сопротивление, индуктивность, емкость, источник тока, источник потенциала. Аналогии мы будем рассматривать по отношению к электрической подсистеме, но это не принципиально.

Доказано, что выделив в физических подсистемах такие фазовые переменные, как на представленной выше таблице, получим компонентные и топологические уравнения для простейших элементов в системах различной природы одинаковыми по форме - т.е. аналогичными. Именно это и позволяет формализовать составление ММ систем независимо от их физической природы.

§3.2 Компонентные и топологические уравнения

различных физических систем

§ 3.2.1Электрическая подсистема

Фазовая переменная типа потенциала - потенциал , напряжение U=__

Фазовая переменная типа потока - ток I

Компонентные уравнения простых элементов

типа R:		I=U/R=	R - сопротивление	- Закон Ома
типа С		I=CdU/dt	С - электрическая емкость
типа L		U=LdI/dt	L - электрическая индуктивность
типа Е		U=U({V},t)	Источник напряжения
типа I		I=I({V},t)	Источник тока

Здесь V - вектор фазовых переменных системы, т.е. в общем случае источники напряжения и тока зависят от потенциалов всех узлов и токов во всех элементах. В частном случае U=const, I=const.

Топологические уравнения

1 Закон Кирхгофа. Сумма токов элементов, сходящихся в узле равна 0.

2 Закон Кирхгофа. Сумма падений напряжений при обходе замкнутого контура равна 0.

§ 3.2.2 Механическая поступательная подсистема

Фазовая переменная типа потенциала - скорость V

Фазовая переменная типа потока - сила F

Компонентные уравнения простых элементов

типа R: - диссипативный элемент (рассеи­вание энергии)	F=h(V1-V2) =hV	уравнение вязкого трения	h - коэффициент вязкого трения. Обозначив h=1/Rм, получим F=V/Rм - уравнение полностью идентичное 1 закону Ома.
типа С - инерционный элемент (накоп­ление кинетичес­кой энергии)	F=ma =mdV/dt =md(V1-Vо)/dt	2-й Закон Ньютона	m - масса тела, V0 - скорость системы отсчета, принимается равной нулю. Обозначив m=Cм, получим F= CмdV/dt - уравнение полностью идентичное уравнению для электрической емкости. Следует обратить внимание, что один полюс элемента всегда связан с системой отсчета - землей.
типа L - упругий элемент (накоп­ление потенци­альной энергии)	F=k=k(x1-x2) d/dt и V=dx/dt тогда dF/dt=kV	уравнение силы сжатия пружины	k - жесткость пружины (=ES/l - для стержня длиной l, площадью S и модулем Юнга E),  - деформация пружины. Обозначив k=1/Lм, получим V=LмdF/dt - уравнение полностью идентичное уравнению для электрической индуктивности.
типа Е	V=V({V},t)	Источник скорости
типа I	F=F({V},t)	Источник силы

Топологические уравнения

Принцип Д’Аламбера. Сумма сил, действующих на тело, включая силу инерции равна 0

Уравнение совместности деформаций. Суммарная деформация элементов в замкнутом контуре равна 0. Продифференцировав по времени получим: сумма относительных скоростей в замкнутом контуре равна 0.

§3.2.3 Механическая вращательная подсистема

Аналогична механической поступательной системе.

Фазовая переменная типа потенциала - угловая скорость 

Фазовая переменная типа потока - крутящий момент M

Компонентные уравнения простых элементов

типа R: - диссипа­тивный элемент (рассеи­вание энергии)	M=h(1-2) =h	уравнение вязкого трения при вращатель­ном движении	h - коэффициент вязкого трения. Обозначив h=1/Rмвр, получим M=/Rмвр - уравнение полностью идентичное 1 закону Ома.
типа С - инерци­онный элемент (накоп­ление кинетичес­кой энергии)	M=J =Jd/dt =Jd(1-о)/dt	2-й Закон Ньютона для вращательного движения	J - масса тела, 0 - скорость системы отсчета, принимается равной нулю. Обозначив J=Cмвр, получим M= Cмврd/dt - уравнение полностью идентичное уравнению для электрической емкости. Следует обратить внимание, что один полюс элемента всегда связан с системой отсчета - землей.
типа L упругий элемент (накопление потенциальной энергии)	=k =k(1-2) d/dt и =d/dt тогда d/dt=k	уравнение силы сжатия пружины	k - жесткость пружины (=GJp/l - для стержня длиной l, площадью S и модулем Юнга E),  - деформация пружины. Обозначив k=1/Lмвр, получим =Lмврd/dt - уравнение полностью идентичное уравнению для электрической индуктивности.
типа Е	=({V},t)	Источник угловой скорости
типа I	=({V},t)	Источник крутящего момента

Топологические уравнения