9

Лекция N 8

§4.1 Примеры математических моделей на микроуровне

Пример 1

С
оставим математическую модель температурного поля шпинделя. Тепловую модель шпинделя принимают в виде цилиндра, с торцов которого поступает теплота, выделяющаяся в местах закрепления подшипников. Распределение температуры Т по длине цилиндра (шпинделя) описывается уравнением теплопроводности с граничными условиями второго рода

Для формирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (математической модели объекта на распределенном уровне), аппроксимирующих уравнение тепловой модели шпинделя, условно разделяем цилиндр шпинделя сечениями, параллельными его торцам. При этом на оси цилиндра получаем несколько точек. Для каждой из этих точек температура Т цилиндра будет функцией только времени.

Предположим, что точки оси шпинделя располагаются друг от друга на одинаковом небольшом расстоянии h. Если x_i –координата i – ой точки, то, подставив ее значение в исходное уравнение (1), получим:

Р
азложим функцию Т( х, t) в ряд Тейлора в точках (х + h), (х – h), полагая пока, что t = const:

Складывая уравнения (3) и (4) и переписывая полученную сумму для х_i точки, получим:

Применим метод конечных разностей (КР) к решению поставленной задачи (см лекцию 3 § ..построение сеток МКР).

Этот метод заключается в построении сетки с шагом “h” по оси шпинделя Х и с шагом “∆” по оси времени t, рис.8.1а.

С
огласно формулы (5) частная производная 2-ого порядка для ( i, k) узла аппроксимирующей сетки (индекс “к” относится к временной оси), будет иметь вид (с учетом упрощающих обозначений: T(x_i, t_(k)) = T_{i, k,} T(x_i-1, t_(k)) = T_{i-1, k} и т.п.) :

Производную температуры в исходном уравнении (1) заменяем конечной разностью первого порядка (лекция 3 § ..аппроксимация непрерывной функции конечно-разностной схемой; см формулу (2.1),по которой разностная схема (так называемая “правая разность”) устойчива при алгоритмических расчетах):

Подставляя два последних полученных выражения в исходную формулу (1), получаем аппроксимирующее разностное уравнение (6) для (1) в виде:

Для уравнения (1), заданного в форме Коши, то есть только с начальным условием Т( х, 0) = φ(х) при t › 0, х › 0, (или Т_i,0 = φ_i i = 1,2,3 …, n) на

рис.8.1б показана на структурная схема решения.

Через значение γ = (γ_1· γ₂) обозначены шаги (1, 2, 3 …., 7), а решения уравнения (6) с начальным условием Т(х, 0) = φ(х) указаны в скобках на каждом (i, k) шаге (Т_i,k).

Замечания.

1. При обходе сетки (см рис.8.1б) необходимо соблюдать симметрию точек с уже известной температурой относительно главной диагонали пространства сетки. Так, первый шаг делается в узел с температурой Т_0,1 , симметричный узлу Т_1,0 с известной температурой.

Далее определяется температура Т₁₁ узла на диагонали. Затем определяется температура Т_0,2 узла, симметричного узлу с температурой Т_2,0 и т.п. Задача будет решена как только будут найдены температуры во всех узлах. Сечения, параллельные оси ординат, дадут изменения температур во времени (с шагом Δ) в дискретных точках по оси шпинделя. В сечениях, параллельных оси абсцисс, получим значения температуры в дискретных точках по оси шпинделя (с шагом h) при постоянном времени.

2
. Если заданы краевые условия уравнения (1), то необходимо, кроме аппроксимации самого уравнения и начальных условий, выполнить аппроксимацию граничных условий:

Для этого узлы, лежащие на прямых х = 0, х = n· h, t = 0, будем считать граничными, а остальные внутренними. Для внутренних узлов справедливо уравнение (6). Для узлов, лежащих на прямой t = 0, выполняются условия, указанные выше, а именнно: Т_i,0 = φ_i i = 1,2,3 …, n

Для узлов, лежащих на прямых х = 0 и х = nh, можно записать соотношения:

Р
ешение задачи при краевых условиях в соответствии с (1) сводится в решению системы разностных уравнений (6,7). Используем метод прямой прогонки

(см лекцию 3).

Для получения алгоритма метода прогонки запишем разностную формулу, аппроксимирующую 2-ю производную уравнения (1) в следующем виде:

Запишем уравнение (8) через коэффициенты а_i,k и в_i,k в виде:

П
одставляем второе уравнение (9) в уравнение (8) и сравниваем по форме результат с первым уравнением из (9).После подстановки вид уравнения:

И
з сравнения форм уравнений (см формулы 9-10) находим коэффициенты:

З
апишем краевые условия (7) в виде:

Подставив первое из уравнений (12) в уравнение (6^б), получим:

П
ользуясь формулами (11) и (13), определяем выражения для

коэффициентов а_{1, к+1}; b_{1, к+1}; а _{2, k+1} ;b _{2, k+1}; ….; a _{n-1, k+1}; b _n-1,k+1 , то есть производим прогонку в “прямом” направлении, используя краевые

условия на левом конце шпинделя.

По формуле (9), найденным выражениям для коэффициентов а_i,k+1; b_n-1,k+1 и краевым условиям ( ) на правом конце производим прогонку в обратом направлении, определяя формулы для расчета температуры шпинделя в момент t_k+1:

Численное решение уравнения (1) получаем при движении от уровня сетки t=0. Значения температуры в узлах на этом уровне задается начальными условиями, указанными выше: T_I,0 =  _I, где I = 0, 1, 2, …., n.

Алгоритм расчета температурного поля шпинделя методом прогонки включает задание параметров сетки разностной тепловой модели шпинделя: длины шпинделя, времени наблюдения, величин  и h для разностной сетки.

Затем организуется внешний цикл по К и внутренний цикл по i. При фиксированном К+1 рассчитываются температуры по длине шпинделя при

T_k+1=(K+1), при этом сначала вычисляются все коэффициенты a_{i ,k+1}, b_{i, k+1,}по формулам (10), а затем решается система из двух уравнений для T_{n, k+1} и T_n-1,k+1 и далее вычисляются оставшиеся значения T_{n-2, k+1}; T_{n-3, k+1}; …. ; T_0,k+1 .

Пример 2

Рассмотрим решение предыдущей задачи с помощью метода конечных элементов (МКЭ).

Этот метод основан на идее аппроксимации непрерывного решения исходного уравнения (1) кусочно-непрерывными функциями, представляющими собой полиномы. Полиномы описывают изменение решения непрерывной функции на некотором элементе, называемом конечным.

Алгоритм решения с помощью МКЭ включает четыре основных этапа:

1. Выделение конечных элементов (разбиение заданной области на конечные элементы – см рекомендации в лекции 4).

2. Определение аппроксимирующей функции (полинома) для каждого элемента.

3. Обьединение конечных элементов в ансамбль, т.е. систему алгебраических уравнений (модель искомой непрерывной функции).

4. Определение вектора узловых значений аппроксимирующей функции.

Запишем для стационарной модели шпинделя исходное уравнение (1) теплопроводности в виде:

2. Определение аппроксимирующей функции элементов

Построим для стационарной тепловой модели шпинделя полиномы одномерных симплекс-элементов. Для одномерной модели цилиндра (рис.8.2) получаем полином, описывающий отрезок прямой (кусочно-линейная аппроксимация):

на каждом i-ом участке цилиндра температура T_i будет меняться по линейному закону.

Рис.8.2 Аппроксимация температуры цилиндра конечными

элементами (отрезками прямых)

Коэффициенты а₁ и a₂ формулы (17) определяются через узловые значения функции Ф_i и Ф_j в соответствии с условиями неразрывности

С учетом (17) и условия (18) легко получить уравнения вида:

Подставляя значения a₁ и а₂ из последнего выражения в формулу (17) симплекс-элемента найдем:

Часто последнее уравнение записывают в матричной форме:

3.Определение вектора узловых значений функций Ф.

В основе алгоритма по методу МКЭ используется вариационный подход, который требует минимизации некоторого специально подобранного функционала, который связан с физическим смыслом решаемой задачи.

Подбор функционала является нетривиальной процедурой, требующей глубоких знаний в конкретной предметной области техники.

З
адача классического вариационного исчисления для тепловой модели формируется следующим образом: пусть имеется функционал (целевая функция)

и
среди всех функций T(x) необходимо найти функцию T^*(x), которая обеспечивает экстремум функционалу Ф(Т(х)) при заданных граничных условиях. Функцию T^*(x) называют экстремалью, она является решением уравнения Эйлера-Лагранжа:

Решение задачи теплопроводности сведем к решению обратной варационной задачи, т.е. к поиску экстремали по функционалу Ф. Для этого будем считать уравнения (19) и (20) тождественными:

Сравнение составляющих левой и правой части тождества, что функция