Лекция 7 (Лекции по ОАП)

7

Лекция 7 §3.4 Получение математических моделей систем

макроуровне

Следующим этапом после получение эквивалентной схемы является преобразование ее в математическую модель. В автоматизированном проектировании применяются методы, позволяющие автоматически получать математическую модель системы по ее структуре и параметрам входящих в нее элементов.

В качестве примера рассмотрим узловой метод формирования математической модели системы, широко используемый в ряде программных комплексов.

В общем случае математическая модель системы на макроуровне представляет собой следующую систему уравнений:

Здесь V’,V - векторы фазовых переменных и их производных по времени. В узловом методе в качестве неизвестных фазовых переменных используются фазовые переменные типа потенциала , поэтому математическая модель имеет вид:

Алгоритм формирования математической модели системы рассмотрим на примере трех массовой механической системы, состоящей из простых элементов (см схему в начале лекции 6), памятуя о том, что любая макромодель в конечном итоге состоит из совокупности простых элементов:

Изобразим фазовые переменные типа потока (сил F) для каждого из элементов и составим топографические уравнения (уравнения равновесия Даламбера) для каждого из узлов эквивалентной схемы (ЭС), принимая за положительное направления воздействия системы на элемент поток, который «втекает» в элемент.

Получены точные уравнения. Если бы удалось эту систему уравнений решить, то получили бы точное решение. В общем случае система на интегрируется, поэтому необходимо прибегать к численному решению. Численное решение основано на отказе от исследования поведения функции фазовой переменной V на всей временной оси. Решение ищется дискретно в некоторых выбранных точках t₀,…,t_i,…t_k, где i - номер шага, t_i = t_i - t_i-1 - величина шага по времени (интервал)

Произведя дискретизацию временной оси, мы, аналогично МКР (см лекцию 3), можем выразить значение производной (и ее интеграла) через значения искомой функции в точках дискретизации. При этом наиболее устойчивыми являются неявные методы дифференцирования и интегрирования. Например, если воспользоваться неявной формулой Эйлера, то получим:

,

Здесь f_i, f_i-1 - значение функции на текущем и предыдущем шаге; F_i-1 - значение первообразной функции ƒ(интеграла) на предыдущем шаге интегрирования.

Для произвольного i - го шага интегрирования вышеуказанная система уравнений примет вид:

В этих уравнениях индекс “(i-1)” относится к предыдущему шагу интегрирования, и помеченные этим индексом переменные известны (т.к. заданы начальные условия для искомой функции на первом шаге интегрирования).

В общем случае система уравнений (3.1) превращается в систему нелинейных алгебраических уравнений (НАУ) вида

Уравнения такого типа решаются выше рассмотренным итерационным методом Ньютона. Под итерационным методом решения задач понимают построение такой последовательности значений искомой переменной, которая сходится к истинному решению.

Метод Ньютона для НАУ основан на разложении функции V) в ряд Тейлора в окрестности точки Vⁿ - вектора фазовых переменных на n-ой итерации (см лекцию 3)

Суть применяемого метода Ньютона легко представить графически для функции одной переменной f(x)=0. Он заключается в выборе начальной точки, построении касательной к кривой в этой точке. Если решение не найдено, то точка пересечения касательной с осью абсцисс считается точкой новой итерации и процедура повторяется. Условием получения решения является выполнение системы неравенств по невязкам и приращениям для n - ой итерации (здесь ||x|| - норма вектора для многомерного случая):

Очевидное соотношение

Обозначив [Y]=V, а это ранее упоминавшаяся матрица Якоби, т.е. квадратная матрица частных производных функции по фазовым переменным, можно записать значение вектора фазовых переменных на следующем шаге итераций в виде:

Обращение матрицы Якоби [Y]^-1 при алгоритмических расчетах занимает слишком много ресурсов памяти ЭВМ, поэтому обычно сначала вычисляют приращения вектора фазовых переменных, а уже затем,- значения фазовых переменных на следующей итерации:

Здесь {f}=Ф({V}_n) – так называемый вектор невязок на текущей итерации.

В общем случае для функции ({V})=0 получаем аналогичную систему линейных алгебраических уравнений

[Y]{ V}=-{f

Приведенное выражение является математической моделью системы на текущей итерации. Если бы мы смогли найти алгоритм автоматического формирования матрицы Якоби [Y] и вектора невязок {f}, то тем самым бы была решена задача автоматизированного составления модели объекта, так как все предыдущие шаги легко алгоритмизируются.

Продолжим рассмотрение нашего примера и попытаемся на этом частном случае сделать некоторые обобщения. Продифференцировав каждую строчку нашей системы уравнений по соответствующим фазовым переменным, получим следующую структуру матрицы Якоби

Очевидно, что члены матрицы Якоби представляют собой суммы повторяющихся членов. Для того, чтобы разобраться откуда они появились, рассмотрим модель произвольного двуполюсника.

Суть математической модели любого элемента в узловом методе - определение фазовых переменных типа потока через все полюса и значения фазовых переменных типа потенциала.

Матрица Якоби [y] для этой системы уравнений будет иметь вид

В частном случае для простейших элементов в механической системе при временной оси имеем:

Легко заметить, что слагаемые в матрице Якоби системы - суть члены матриц Якоби элементов, а алгоритм формирования матрицы Якоби системы очень похож на алгоритм формирования глобальной матрицы жесткости в МКЭ.

Замечаение. Если какой-либо двуполюсный элемент подключен своими узлами, соответственно, к узлам i , j эквивалентной схемы объекта, то к элементам глобальной матрицы Якоби добавляют

При моделировании с помощью специализированных программных средств ММ объекта собирают обычно не из двуполюсников, а из макрообьектов, являющихся многополюсниками. Однако, любой многополюсник в конечном итоге есть объединение двуполюсников, поэтому его алгоритм формирования матрицы Якоби будет тем же самым, что и рассмотренный выше.

В заключении составим общий алгоритм анализа динамических систем на макроуровне (см схему):

Для НАУ алгоритм численного решения систем уравнений типа (3.1) в укрупненном виде на ЭВМ имеет вид:

1. Установка начальных значений при t=t₀

2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений (ЦИКЛ t<t_k)

   1. Шаг решения системы дифференциальных уравнений (ЦИКЛ _L<[_L])

2.1.1 Обращение к моделям элементов для формирования компонентов матрицы

Якоби [y] и компонентов вектора невязок {I}

1. Формирование СЛАУ [Y]{V}_n={f}(матрицы Якоби [Y] и вектора невя

зок Определение начального вектора фазовых переменных на шаге {V}₀

1. Решение системы нелинейных уравнений (ЦИКЛ

Itr<[Itr]  _<[_]  _I<[_I])

1. {f})

2. Решение СЛАУ методом Гаусса и получение вектора приращений на текущей итерации {V}_n

3. Определение вектора фазовых переменных для следующей итерации {V}n+1={V}n+{DV}n

4. Контроль сходимости решения и количества итераций

1. Контроль локальной погрешности шага интегрирования

2. Корректировка величины шага интегрирования

1. Расчет выходных переменных

1. Постпроцессорная обработка полученных результатов на ЭВМ.