Лекция 5 (Лекции по ОАП)

16

Лекция 5 ( “ММ на макроуровне”)

§3.5 Узловой метод. Примеры составления моделей

по эквивалентной схеме.

Ранее уже упоминался узловой метод составления ММ для механических систем, который не требует больших вычислительных ресурсов, а его алгоритм сравнительно прост в реализации и универсален. Пользуясь этим методом, можно сравнительно быстро составить и проверить в упрощенном виде математическую модель технического объекта, используя по минимуму вычислительные средства.

Для простоты практического изложения узлового метода воспользуемся обозначениями и терминами, характерными для электрических систем. Вместе с тем отметим, что по рассмотренной ранее аналогии, метод применим и к системам иной физической природы.

Для электрических систем используем следующие обозначения:

I, U, φ – векторы-столбцы токов, напряжений и узловых потециалов, соответственно. При этом, напряжение ветви рассматривается как разность потенциалов инцидентных (сопряженных) ей узлов, а связь между векторами U и φ задается через некоторую матрицу инциденций в виде

U = - A^t φ (1’)

где A^t – транспонированная матрица инциденций, A = [A_C, A_R, A_L, A_U],

A_C – подматрица инциденций узлов и емкостных ветвей; A_R - то же, для резистивных ветвей и т.п.

Разделим ветви некоторой электрической ( точнее, эквивалентной) схемы на группы емкостных, резистивных, индуктивных ветвей и ветвей источников тока в зависимости от характера соответствующего ветви компонентного уравнения. Эти группы представим векторами токов и векторами потенциалов, то есть [I_C, I_R, I_L, I_U]; [U_C,U_R,U_L, U_U].

С
оотвественно, транспонированные матрицы этих параметров будут иметь вид:

Будем также использовать диагональные матрицы емкостей С, с
опротивлений R, индуктивностей L – их диагональные элементы равны соответствующим внутренним параметрам и имеют ту же размерность.

Отметим основные положения узлового метода:

В качестве базисных координат используются узловые потенциалы;

Исходным топологическим уравнением является уравнение равновесия потоков в узлах.

Запишем эти уравнения в матричной форме:

Подставляя параметрические уравнения (2”) в A· I = 0 и учитывая форму уравнения (1”), запишем

Последнее уравнение составляет основу математической модели обьекта, но обычно неудобно для численного решения, поэтому его сводят к системе линейных алгебраических уравнений, используя преобразования Фурье или Лапласа. Эти преобразования (см лекц.7) связаны с заменой непрерывных производных дискретными отношениями конечных разностей по форме:

В

рассматриваемом случае, аппроксимируя компонентные уравнения (2) разностными выражениями, получим:

Преобразуя уравнение (3”) с учетом (4”) (сокращая при этом промежуточные выкладки), запишем уравнение математической модели в виде векторного уравнения, (что идентично системе алгебраических и трансцедентных уравнений) с неизвестным вектором φ:

Решение уравнения (5”) дает значение φ_n на n–ом шаге, далее по формуле (1”) находят U_n и по компонентным уравнениям вычисляем I_n. Расчеты на (n)-ном уровне ведут по известному (n-1) уровню (начало расчета при заданных начальных условиях (U_Co и I_Lo.)). Из (5”) находится матрица коэффициентов (матрица Якоби), как “коэффициент” при фазовой переменной φ.

Рассмотрим пример, в котором определяется матрица Якоби (см В конце лекции приложение,-“Вычисление матрицы Якоби” для узлового метода).

Пример. На рис.9.0 дана эквивалентная схема некоторого электрического объекта. Параметры элементов схемы: R1 – R3, L1, C1 – C3 – постоянные величины; источник тока – I1 функция времени;

I2 = аехр (-Buc₃) = аехр (-bφ₄) – нелинейная функция напряжения на емкости С3.

Вычислим матрицу Якоби.

Для этого пронумеруем узлы и запишем матрицу инциденций А в виде таблицы (см предыдущие страницы

Анализ вычисления и вид матрицы Якоби возволяет сделать следующие выводы:

• во всех клетках матрицы Якоби получены величины одной

размерности (для электрической схемы это проводимость

емкостной ветви С/h, а индуктивной,- h/L;

• недиагональные элементы Я_i,j –матрицы составляют сумму проводимостей ветвей, соединяющих узлы с номерами i и j;

• диагональные элементы Я_i,i –матрицы составляют сумму проводимостей тех ветвей схемы, которые подключены к узлу с номером i.

Отмеченное соответствие эквивалентной схемы и структуры матрицы

Якоби позволяет построить алгоритм формирования матрицы Якоби непосредственно из эквивалентной схемы.

§ 3.6 Примеры математических моделей механических систем

на макроуровне

Пример 1. Составим эквивалентную схему устройства в виде тела, шарнирно закрепленного к неподвижной опоре (рис.9.1).

Для тела будем считать заданными координаты (х₁₀,у₁₀) центра масс, массу, центральный момент инерции и введем подвижную полярную систему координат (х₁,у₁), связанную с телом в точке центра его массы (аналогичные условия испрользованы и в примерах 2 и 3, см ниже).Полярную систему координат используем для задания положения контактных точек ( r_i,j , φ_ij) , где i, j – номера точки или тела (для контактных точек в неподвижной системе координат полагаем

i =0).

Замечание1. Рассматриваем плоское перемещение тела, для которого фазовыми переменными являются скорости V_X и V_Y , усилия F_X и F_Y

по координатам x и y, угловые скорости ω и моменты М.

Независимо от вида воздействия на тело (см рис.9.1б), шарнир ограничивает его перемещение вращательным движением вокруг контактной точки неподвижного подвеса. Поэтому справедливо условие связи координат центра массы в неподвижной и подвижной

с
истемах, которое запишем в виде:

Продифференцируем (9.1) по времени t и получим значения линейных и угловых скоростей (т.е.фазовых переменных) для рассматриваемого шарнира:

где ω₁ – угловая скорость тела; V_1X ,V_1Y –скорости центра масс тела

по соответствующим координатам.

Уравнениям (9.2) соответствует эквивалентная схема, рис.9.1а, на которой:

• F_XO, F_Y0, M – внешние сила и момент, воздействующие на тело;

• m, J – масса тела и его центральный момет инерции;

• F_X, F_Y – проекции реакций в шарнире на неподвижные координатные оси х и у;

• V_X , V_Y – зависимые источники скорости, определяемые по (9.2);

• I, C – интегратор [I – источник, линейно зависит от ω ( т.е. разности угловых скоростей узлов 4 и 1) c коэффициентом, равный 1];

• M_Fx , M_Fy – моменты реакций в шарнире относительно центра масс, их значения в полярной системе координат составляют:

Интегратор определяет углы поворота φ₁₀ , необходимые для расчета линейных скоростей и моментов.

Замечание2. В программных средствах системы ПА-9 модель шарнира уже разработана и предлагается для использования в механических системах готовым модулем с открытыми связями.

При этом описание шарнира на языке программного комплекса имеет вид: ШАРН .. У1 .. У2 .. У3 (r₁₁ , φ₁₁ , φ₁₀), где У1..У3 – узлы подключения шарнира в систему; (r₁₁ , φ₁₁ ) –координаты контактной точки; φ₀₁ – начальный угол положения.

Пример 2. Рассмотрим кулисно-рычажный механизм (рис.9.2), в котором связь ведущего и ведомого звеньев (тел) осуществляется с помощью кулисы.

Согласно рис. 9.2б, звено 2 может перемещаться по направляющей АС, жестко закрепленной на ведущем звене 1.Координаты точек А и С заданы в полярной системе координат через радиусы и углы в виде (r_11, φ₁₁), (r₁₂, φ₁₂), при этом точка С – произвольная точка прямой АС.

В исходном положении углы φ₁₀ и φ₂₀ , связанные с системами координат (х₁,у₁) и (х₂ ,у₂ ) центров тяжести элементов 1 и 2, равны и остаются таковыми при движении, также равны и угловые скорости тел 1 и 2 (ω₁ = ω₂). На эквивалентной схеме (см рис.9.2а) данное условие отражено в виде вращательной подсистемы.

Из рассмотрения движения элементов скользящей пары (кулисы) видно, что они связаны между собой и при этом:

• реакция в скользящей паре F перпендикулярна направляющей; -

• расстояние любой точки звена (тела) 2 от направляющей при движении по ней постоянно.

Воспользуемся этими связями и запишем второе условие в математическойформе.

В подвижной системе координат (х₁,у₁) положение точки В задается,

с одной стороны, на прямой (направляющей) АС

В неподвижной системе ( х ,у ), с другой стороны, для той же точки В уже имеем:

Выражение (9.4) записано через известные координаты центров масс звеньев (тел) 1 и 2, текущую координату точки В (x_BO,y_BO).

Продифференцировав уравнение (9.4) по времени t, получим на месте координат ( х ,у ) их производные по времени, то есть скорости V_Х1 ,V_Y1 и т. п. Далее можно ввести замену V_ВХ =V_2X , V_BY = V_Y2, учитывая, что точка В принадлежит звену 2, и записать преобразованное уравнение в виде:

Уравнение вида (9.5) устанавливает связь для горизонтальных составляющих V_Х1 и V_X2 скорости движения тел 1 и 2; отражение этой связи на эквивалентной схеме показано в виде зависимого источника скорости (см рис.9.3а).

З
амечание. Коэффициент “к” определяется в подвижной полярной системе координат(см Х₁,У₁), связанной с звеном 1 в виде

Поскольку реакция в скользящей паре F направлена перпендикулярно направляющей АС, то

F_y = F_x ctg φ_ck,

Отсюда следует, что для скользящей пары характерен также трансформаторный вид связи через зависимый источник F_Y

для вертикальных и горизонтальных перемещений в виде

Элементы эквивалентной схемы скользящей пары, отражающие вращательное движение, могут быть представлены источниками моментов от реакций F_X и F_Y в точке В (согласно уравнениям моментов) в виде:

После подстановки окончательно находим:

В эквивалентную схему, как это следует из уравнений 9.5 и 9.6, включены пять интеграторов для определения х₁₀ ,у₁₀ , х₂₀ , у₂₀ и φ₁₀.

Приложение к лекции 5 (в вопросы рейтинга не входит)