Лекция 3,4 (Лекции по ОАП), страница 2

Представим систему уравнений в следующем виде:

Для всех итерационных методов основное - алгоритм получения значений вектора решения на следующей итерации {X}^k+1 по известному вектору {X}^k предыдущей итерации.

Из первого уравнения системы, положив значения неизвестных под знаком суммирования равными величинам неизвестных с предыдущей k-ой итерации

получим величину x₁ на текущей итерации

Подставив полученное значение x₁^k+1 во второе уравнение вместо x₁ и по прежнему считая величины неизвестных под знаком суммы равными их значениям на предыдущей итерации, получим уравнение с одним неизвестным для нахождения x₂^k+1.

Этот процесс может быть продолжен. Для i-го уравнения будем использовать величины неизвестных x_j^k+1, j=1…i-1 полученные на текущей итерации, а x_j^k, j=i+1…n - полученные на предыдущей итерации. Тогда в общем виде формула для определения неизвестных может быть написана в виде

Во всех итерационных методах важное значение имеет выбор начального приближения {X}⁰. Чем ближе начальное приближение к точному решению, тем быстрее сойдется процесс. Для больших СЛАУ в качестве начального приближения может быть выбран результат решения прямыми (точными) методами.

Лекция N 4

§ 2. 5 Метод конечных элементов

Метод конечных разностей (рассмотрен выше) обладает рядом недостатков, основные из которых - трудности с представлением граничных условий при сложных границах рассматриваемых областей, трудности с выбором экономичной сетки для областей со сложными полями - т.е. со сложным характером изменения фазовой переменной внутри границы области.

Более универсальным является метод конечных элементов. Дискретизация исследуемой пространственной области в МКЭ осуществляется ее разделением на большое количество малых по размерам элементов некоторой формы. Эти элементы получили название конечных. Считается, что КЭ взаимодействуют между собой только в определенном количестве точек. Эти точки получили название узлов КЭ. Непрерывную фазовую переменную v заменяют конечным числом значений этой фазовой переменной в узлах.

Возможности использования КЭ различной формы, размеров и пространственной ориентации обусловливают легкость дискретизации при произвольных границах пространственной области. Это обстоятельство - одно из основных преимуществ МКЭ перед МКР.

Второе отличие МКЭ от МКР заключается в способе алгебраизации задачи. Если в МКР аппроксимируются частные производные фазовой переменной по пространственным координатам, то в МКЭ аппроксимируется само решение - т.е. распределение искомой фазовой переменной (температура, перемещения …) в рассматриваемой области. Реальное поле искомой переменно заменяется некоторой функцией, зависящей от значений фазовой переменной в узлах сетки КЭ.

Сама задача вычисления узловых значений формулируется как задача минимизации функционала, характеризующего качество аппроксимации решения v функцией u. В конечном счете задача сводится к решению СЛАУ, неизвестными которой являются значения искомой функции в узлах сетки КЭ.

Метод конечных элементов:

Исходные уравнения и динамические краевые условия удовлетворяются только в некотором осредненном смысле для выбранного типичного конечного обьема (элемента) среды. Аппроксимация функции проводится на конечном элементе локально и независимо от его положения в общей модели. Основная сфера приложения этого метода – механика твердого деформированного тел.

Основное отличие от разностных схем, в которых обязательно присутствует этап дискретизации, а затем проводится восполнение полученного дискретного решения, причем этапы жестко связаны между собой, в МКЭ наилучшее приближение точного решения находится в некотором ограниченном пространстве, т.е. как бы отсутствует этап восполнения, свойстенный разностным методам.

Для задач гиперболического типа МКЭ неприемлем, поскольку сложно определить конечность области влияния в узлах.

Рассмотрим основные положения МКЭ несколько подробнее.

Решение задачи МКЭ начинают с разбиения исследуемой области на конечные элементы.

Для одномерных задач в качестве КЭ используют криволинейный стержень, с переменной по длине площадью.

При решении двумерных задач применяют треугольные и четырехугольные как линейные, так и криволинейные элементы, толщина которых равна толщине детали:

Если задача осесимметричная, то КЭ представляет собой тело вращения, образуемое поворотом на 360^о относительно оси симметрии треугольного или четырехугольного элемента:

В трехмерных случаях используют различные тетраэдры и параллелепипеды с прямолинейными и криволинейными границами.

После выбора типа элементов исследуемую область делят на КЭ, нумеруют эти элементы и узлы. В качестве примера приведем деление плоской пластины с выточкой на треугольные конечные элементы.

При разбиении плоской области на треугольные КЭ вручную соблюдают следующие правила:

• Обычно сначала разделяют область на четырехугольные зоны, а затем каждую такую зону разбивают на 2 треугольника соединением противоположных узлов по малой диагонали.

• Следует стремиться к получению треугольных элементов возможно наиболее близких равностороннему треугольнику.

• Следует обратить внимание, что в местах наибольших ожидаемых градиентов изменения искомой функции необходимо уменьшать размеры и увеличивать концентрацию конечных элементов.

Существуют алгоритмы автоматического разбиения области на конечные элементы. В большинстве программных комплексов расчета МКЭ применяется автоматизированное разбиение, когда пользователь выбирает тип КЭ, а затем указывает количество узлов на границе. При этом надо сгущать узлы вблизи места ожидаемой концентрации поля искомой величины.

Как уже говорилось МКЭ предусматривает апроксимацию непрерывной функции ее дискретной моделью. При этом такая дискретная модель образуется из полиномов, апроксимирующих функцию в каждом конечном элементе. Простейшие КЭ, у которых число коэффициентов в полиноме на единицу больше размерности задачи называются симплексными.

Для двумерных симплексных элементов - треугольников, интерполяционный (апроксимирующий) полином имеет вид (здесь в качестве неизвестной функции используем распределение температуры в плоской области):

Коэффициенты  можно выразить через координаты узлов (x,y) и значения функции в узлах (T_i, T_j, T_k) следующим образом

Решая систему получим значения коэффициентов _ _ _ то интерполяционный полином для аппроксимации скалярной величины (в данном случае температуры T) будет иметь вид

где:

Формулы для N_j, N_k получают из выражений для N_i круговой перестановкой индексов. Функции N получили названия функций формы. Их отличительная особенность - они равны 1 в том узле, индекс которого носят и равны 0 во всех остальных узлах элемента. Например для узла i

Аналогично записывают и соотношения для трехмерных элементов, но функции формы имеют более сложный вид.

В матричном виде зависимость имеет вид

где [N]=[N_i,N_j,N_k] - матрица-строка функций формы, {T^e}={T_i,T_j,T_k}^Т - вектор столбец узловых значений температур для произвольного элемента.

В приведенном примере интерполировалась скалярная величина. Векторную величину (например перемещение) представляют через компоненты - проекции на оси координат, которые рассматривают как неизвестные скалярные величины.

Например, в случае плоской деформации вектор перемещений {q} произвольной точки будет характеризоваться компонентами {u,v}^т, направленным соответственно по осям x,y. В матричном виде соотношения между узловыми перемещениями и перемещениями точек элемента будет иметь вид:

Здесь функции формы N те же, что и в предыдущем случае.

Таким образом, если бы мы смогли найти значения неизвестной функции (температуры, перемещения) в узлах, то используя функции формы можно найти распределение этой функции по всему телу.

Для определения неизвестных узловых значений искомой функции применяется подход, основанный на минимизации функционала, выражающего качество аппроксимации реального поля функции. Очень часто такой функционал бывает связан с физическим смыслом задачи.²

В качестве примера рассмотрим задачи теории упругости. В этих задачах в качестве неизвестной функции обычно используют функцию распределения перемещений в исследуемой области. Из теории упругости известно, что функционал, выражающий полную потенциальную энергию системы принимает минимальное значение для действительного поля перемещений. Такой функционал имеет вид

где П - потенциальная энергия,  - энергия деформации, W - работа внешних сил. При конечно-элементной аппроксимации составляющие полной энергии получаются суммированием по элементам: