Лекция 3,4 (Лекции по ОАП), страница 3

Для вычисления интегралов используем следующие известные соотношения:

- соотношения Коши, связывающие перемещения и деформации, где [] - матрица дифференциального оператора (например для плоской задачи _x=u/x, _y=v/y, _xy=u/y+v/x).

Поскольку окончательно можно записать

- где [B] - матрица градиентов -частных производных функций формы по пространственным координатам

- Закон Гука, где [D] - матрица упругости.

С учетом полученных выражений функционал полной энергии принимает вид, принимая во внимание, что ([A][B])^T= [B]^T[A]^T

Минимизацию функционала выполним продифференцировав его по перемещениям и приравняв дифференциал нулю.

Здесь учтено правило дифференцирования матричных соотношений:

Это выражение преобразовывают к виду

Здесь

[K] - глобальная матрица жесткости системы, представляющая собой квадратную матрицу nn , где n - количество узловых неизвестных. Для плоской задачи n=2m - где m - количество узлов. Глобальная матрица жесткости получают суммированием матриц жесткости каждого элемента

{w} - вектор столбец узловых перемещений. Для плоской задачи

{F} - вектор столбец узловых нагрузок, представляет собой сумму векторов внешних сил, приложенных к узлам сетки и сумму поверхностных и объемных сил, приведенных к узлам сетки.

При использовании треугольных симплекс элементов в плоской задачи все матрицы содержат постоянные величины, поэтому интегрирование может быть выполнено в замкнутом виде. Для более сложных КЭ применяют численное интегрирование.

Для плоской задачи (плоское напряженное состояние)

здесь коэффициенты b,c - определены ранее, h - толщина элемента,  - площадь элемента, E - модуль Юнга (модуль упругости),  - коэффициент Пуассона.

После вычисления матрицы глобальной матрицы жесткости (алгоритм будет рассмотрен ниже) уравнение [K][w]=[F] превращается в СЛАУ, которая решается либо прямым (обычно методом Гаусса), либо итерационным (метод простой итерации, Зейделя, Ньютона, и т.д.) методами. После получения вектора узловых неизвестных {w}, используя выражения {Bw и {}=[D]{} определяют напряженно-деформированное состояние области.

Этапы решения задач МКЭ:

1. Выбор расчетной схемы (объемная, осесимметричная, плоская, одномерная, смешанная);

2. Выбор типа конечных элементов;

3. Дискретизация области - разбивка исследуемой области на КЭ;

4. Описание элементов, включающее нумерацию узлов и самих элементов, определение координат узлов, механических характеристик материала;

5. Составление системы уравнений путем минимизации функционала, соответствующего данной задаче;

6. Решение полученной системы уравнений относительно неизвестных в узлах;

7. Вычисление предусмотренных постановкой задачи выходных параметров (напр. деформаций, напряжений) в теле по значениям неизвестных в узлах;

В настоящее время разработано значительное количество комплексов МКЭ, решающих самые различные задачи. Как правило, все программные продукты имеют пре,- и постпроцессоры для автоматизации ввода данных и разбиения области на КЭ, а также графического представления результатов расчета. Пользователь выполняет только 1 и 2 пункт, - т.е. формирует расчетную модель, все остальное выполняет ЭВМ (см лаб. работу N3, - программы ANSYS и LS-DYNA3D.).

Типы анализа, выполняемые с помощью программы ANSYS:

1. Статический и динамический анализ конструкций с учетом геометрической и физической нелинейности, ползучести и пластичности. Анализ усталостных разрушений.

2. Задачи линейной и нелинейной устойчивости конструкций.

3. Контактные задачи (например, 2-D и 3-D - штамповка). (ANSYS или/и LS-DYNA3D)

4. Решение стационарных и нестационарных задач теплофизики (конвекция, радиация, теплопроводность) с учетом фазового перехода.

5. Задачи гидравлики и гидродинамики, ламинарное и турбулентное течение сжимаемой и несжимаемой жидкости (с учетом вязкости). Задачи обтекания тел произвольной формы, дозвуковой и сверхзвуковой режимы. (FLOTRAN)

6. Задачи акустики. (ANSYS and/or COMMET/ACOUSTIC)

7. Смешанные типы анализа ( термо-механический, гидротепловой, магнитопрочностной и т.д.)

8. Задачи оптимизации.

9. Задачи электромагнитных полей и электростатики, с учетом анизотропии материалов.

Среди отечественных разработок можно выделить FORM2D предназначенный для анализа процессов обработки давлением плоских и осесимметричных задач с учетом температурного поля обрабатываемого материала. Этот комплекс ориентирован на персональные ЭВМ.

Следует отметить, что большинство интегрированных CAD систем, работающих на рабочих станциях, в своем составе обязательно имеют модули решения наиболее простых задач МКЭ. Для решения сложных задач обеспечивается файловый интерфейс с известными крупными пакетами. В частности с ANSYS имеют интерфейс все CAD системы.

1 Норма в данном случае вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов

2 Функционалом Ф, зависящем от функции f называется такая переменная величина, которая принимает конкретное числовой значение, при подстановке в нее каждой функции f из некоторого класса функций.