12

Лекция 2 (продолжение)

§ 2.1 Общие характеристики математических моделей в САПР

Как уже говорилось процесс автоматизированного проектирования можно представить как процесс преобразования математических моделей. Поэтому характеристики САПР в основном зависят от свойств реализованного в них математического обеспечения. Математические модели служат для описания свойств объектов в процедурах автоматизированного проектирования.

Напоминаем, что под математической моделью понимают систему математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, отражающих свойства технического объекта, существенные для проектирования.

Примером записи математической модели объекта может служить

Y=F (X,Q) (1),

где Y, X, Q, - соответственно, вектора выходных, внутренних и внешних, F - некоторая известная вектор-функция, которая совпадает по размерности с вектором выходных параметров F={f₁, …, f_n).

В данном случае существует явная функциональная связь между выходными параметрами системы (т.е. свойствами системы) и ее внутренними и внешними параметрами. По такой явной зависимости легко оценить влияние внутренних и внешних параметров на выходные параметры системы. Однако в большинстве случаев в явном виде математическую модель создать не удается.

Помимо внутренних, внешних и выходных параметров выделяют т.н. фазовые переменные V=v(W,t). Фазовые переменные характеризуют физическое или информационное состояние объекта, а изменения фазовых переменных во времени выражают переходные процессы в объекте. Фазовые переменные в общем случае являются функциями независимых координат W={w₁, …, w_i, …, w_n}^Т и времени t.

Примером фазовых переменных в модели гидроцилиндра могут служить давление и расход жидкости для гидравлической подсистемы.

В общем случае математическая модель объекта может быть представлена в виде:

(w_i, t, v, vt , ^vt² , vw_i , ^vw_i² )=0,

или в сокращенной форме

Lv(W,t)=W,t) (2)

Здесь L - вектор операторов над фазовыми переменными;  - дифференциальные операторы; v(W,t) - искомая функция (фазовая переменная);  - заданная вектор-функция.

Примером записи математической модели может служить одномерное волновое уравнение, описывающее продольные колебания стержня с распределенной массой:

^ux²1/a²^ut²=0

L=^x²1/a²^t² вектор операторов; a=E/ - скорость распространения звука в материале стержня; W= x - независимая переменная - координата точки вдоль оси стержня; V= u(x) - фазовая (зависимая) переменная - перемещение точек стержня вдоль оси.

Следует подчеркнуть, что большинство выходных параметров {Y} является функционалами фазовых переменных. Иными словами, для их определения сначала необходимо при заданных внешних и внутренних параметрах решить систему уравнений - т.е. найти фазовые переменные, а уже затем определить выходные параметры системы. Для нашего случая выходной переменной будут напряжения в стержне, которые зависят от величины деформаций, а те, в свою очередь, от величины перемещений.

Под функционалом понимают отображение множества функций на множество чисел, когда каждой функции из некоторого множества ставится в соответствие какое-либо число. В том случае, если множество функций состоит из констант, то понятие функционала совпадает с понятием функции. Примером функционала является интеграл , где x(t) - непрерывная функция, определенная на отрезке [a, b ].

К математическим моделям, используемым в САПР, предъявляют следующие требования:

• высокая степень универсальности (модель для класса объектов);

• точность получаемых результатов;

• максимальная экономичность моделей в расходовании вычислительных ресурсов при реализации;

• надежность.

Эти требования противоречивы. Высокая степень универсальности и достаточная точность достигаются за счет усложнения модели, что ухудшает экономичность. Универсальность также приводит к возможности появления отказов из-за возможной неучтенности каких-то специфических факторов конкретного обьекта, т.е. снижается надежность. Выход при условии удовлетворения этих требований заключается в правильном выборе нужной математической модели из большого числа известных.

Общая запись математической модели может осуществляться в виде уравнений (1) или (2).

По модели (1) легко оценить влияние внутренних и внешних параметров на выходные параметры технического объекта из-за явной взаимосвязи параметров. Однако во многих случаях, в явном виде математическую модель создать не удается,- большинство выходных параметров в них являются функционалами фазовых переменных. Для их определения сначала необходимо при заданных внешних и внутренних параметрах решить систему уравнений - т.е. найти фазовые переменные, а уже затем определить выходные параметры системы.

§2.2 Классификация математических моделей

Основные типы математических моделей даны на рисунке:

Структурные модели предназначены для отображения структурных¹ свойств объекта, различаются по типам задач, решаемым при структурировании технических обьектов. Содержат два подкласса:

Топологические - для отображения состава и взаимосвязи элементов. Имеют форму графов, таблиц, матриц, списков. Для решения задач компоновки оборудования, размещения деталей и т.п. при структурном синтезе.

Геометрические - описание формы и взаимного расположения элементов в пространстве. Применяются для решения задач конструкторского аспекта. Используют несколько типов геометрических моделей. Геометрические модели подразделяются на :Аналитические модели описывают поверхности и линии в виде системы уравнений (аналитическая геометрия). Частным случаем аналитических моделей являются канонические модели. Канонические модели используют в тех случаях, когда удается выделить параметры, полностью определяющие объект, и в то же время однозначно связанные с его формой. Например для цилиндра такими параметрами являются направляющие косинусы оси, радиус и длина цилиндра, пространственные координаты точки оси, принадлежащей одному из оснований.

Алгебро-логические применяются для описания тел в виде систем аналитических и логических выражений, отражающих условия принадлежности точек внутренним областям тел.

Для отображения геометрических свойств сложных поверхностей применяют каркасные и кинематические модели.

Каркасные модели представляют поверхности тел в виде каркасов - совокупности линий, образующих сетку на поверхности тела. Применяют достаточно простые способы аппроксимации сетки в виде кусочно- линейной, сплайн - аппроксимации и т.п. по значениям координат в узлах сетки.

В кинематических моделях поверхность представляется как результат перемещения в пространстве кривой (или образующей), двигающейся по направляющей линии.

Функциональные модели, предназначенные для описания физических и информационных процессов, происходящих в объекте, представляют собой математическое выражение взаимосвязи между внутренними, внешними, выходными параметрами и фазовыми переменными.

По способу представления свойств объекта функциональные модели делятся на аналитические и алгоритмические.

Аналитические модели имеют явную зависимость выходных параметров от внутренних и внешних, т.е. имеют вид (1). Аналитическая модель может быть получена из (2) в том случае, если такая модель допускает аналитическое решение. В противном случае модель (2) должна быть приведена к алгоритмическому виду.

Алгоритмическая модель - это выражение взаимосвязи между выходными, внутренними и внешними параметрами в виде алгоритма, т.е. последовательности вычислений, с помощью которых исходные данные преобразуются в выходные параметры. Для превращения системы уравнений (2) в алгоритмическую модель необходимо дополнить ее алгоритмом выбранного метода численного решения, - т.е. определением вектора фазовых переменных и алгоритмом преобразования вектора фазовых переменных в вектор выходных параметров.

Важным частным случаем алгоритмической модели является имитационная модель - предназначенная для имитации физических и информационных процессов в исследуемом объекте. Примером имитационных моделей могут являться модели поведения динамических объектов в виде систем массового обслуживания, предназначенные для имитации прохождения заявок через систему.

По способу получения моделей они подразделяются на теоретические и эмпирические (экспериментальные).

Теоретические модели получаются в результате изучения физических закономерностей, протекающих в объекте процессов, обосновании и принятии упрощающих предположений, определении соответствующего математического описания, выполнении необходимых выкладок и приведения модели к принятой форме представления.

Эмпирические модели основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации или при проведении целенаправленных экспериментов. Отношение к объекту как к черному ящику без выяснения физических основ происходящих процессов. Обычно имеют простую аналитическую форму.

Из принципов блочно-иерархического подхода к проектированию следует классификация математических моделей проектируемых объектов по уровням абстракции. Объединение уровней, родственных по характеру используемого математического аппарата, приводит к образованию трех укрупненных уровней:

• микроуровень (модели с распределенными параметрами);

• макроуровень (модели с сосредоточенными параметрами);

• метауровень (системный уровень).

Различные уровни абстракции отличаются друг от друга степенью подробности описания свойств элементов объекта, формой представления модели, фазовыми и независимыми переменными, методами решения.

Как правило от метауровня к микро увеличивается степень подробности описания и размерность математической модели. В общем случае на микроуровне - бесконечное число степеней свободы.

Микроуровень представляет собой наиболее детальное рассмотрение свойств объекта, который представляется в виде непрерывной сплошной среды. Точное решение математической модели в большинстве случаев невозможно, поэтому строят приближенную дискретную модель. Полученные при дискретизации системы являются системами алгебраических уравнений больших порядков. С ростом сложности задачи приходят к необходимости ввода упрощающих допущений.

Макроуровень использует представление о среде как о дискретном пространстве. В частности, для механических систем инерционные параметры считаются сосредоточенными в определенных точках или сечениях системы, которые связаны между собой упруго-диссипативными или геометрическими связями. Элементами этого уровня становятся объекты, которые на микроуровне рассматривались как системы. С ростом числа элементов размерность задачи вырастает и становится необходимым переход к следующему иерархическом уровню.

Метауровень использует дискретное представление о пространстве и времени. Объектами исследования являются сложные устройства и комплексы, функционирование которых рассматривается как цепь событий, происходящих в дискретные моменты времени и заключающиеся в изменении состояния элементов. Роль элементов выполняют системы макроуровня.

§ 2. 3 Примеры математических моделей (функциональные, на микроуровне)

1. Вывод аппроксимирующих выражений для уравнений примера 1 (см ниже). Общий случай построения конечно-разностной сетки.

Задача построения конечно-разностной сетки геометрически представляет собой замену непрерывного пространства некоторой расчетной сеткой. В дальнейшем используются значения переменных в узлах сетки. Задача выбора сетки не имеет какого.-либо строгого решения. Чаще всего используют прямоугольные и полярные сетки, в зависимости от внешнего контура области и вида диф.уравнений в частных производных (ДУЧП). Следует придерживаться следующих правил:

• сетка должна целиком покрывать исследуемую область;

• расстояния между узлами должны быть достаточно маленьким, чтобы приблизить конечно-разностную аппроксимацию производных к их истинным значениям;

• форма ячеек должна соответствовать внешнему виду границ, т.е. если границы параллельны декартовым осям - то сетка должна быть прямоугольной, если границы наклонены к декартовым осям – то косоугольной, если в границы близки к окружности и ДУЧП записано в полярных координатах - сетку надо выбирать в виде концентрических окружностей, пересеченных радиусами.

Примеры построения прямоугольной и полярной конечно-разностной сетки для плоских областей приведен на рисунке. Применена сетка с постоянным шагом h_x , h_y и h_ , h_ вдоль каждой из осей. В общем случае сетка может быть и с переменным шагом, сгущаясь в области предполагаемых увеличенных градиентов изменения неизвестной функции v.

Такая дискретизация позволяет перейти от непрерывного изменения искомой функции v к ее дискретному выражению:

v(x,y) v(x_i ,y_j )

v(,) v( _i , _j )

Для сокращения записи значение дискретной (сеточной) функции в точке i, j обычно используется обозначение v_i,j, , то есть v_i,ĵ= v(x_i ,y_j )

Из рисунка видно, что наилучшим образом метод КР приспособлен для тех областей ТО, границы которых представляют собой линии, параллельные координатным осям, либо окружности.

Как задавать границы более сложной формы, изображенные, в частности на рисунке?. Задание границ - это ахиллесова пята МКР. Наиболее простой способ - замена сложной границы на более простую путем переноса границы Г таким образом, чтобы новая граница Г’ проходила через ближайшие узлы сетки.