КИ лекция 6-7 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекции 6-7. Скалярные и векторные поля. Градиент и его свойства (повторение). Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, свойства и вычисление. Применения криволинейного интеграла 1-го рода. Определение, свойства и вычисление криволинейного интеграла 2-го рода (работа векторного поля вдоль ориентированного пути).

ОЛ-1, гл. 5, 6; ОЛ-2, гл. 15; ДЛ-2, т. 2, гл. 6.

Скалярные и векторные поля. В физике и механике много примеров интересных задач, которые решаются с помощью методов векторного анализа. Примерами физических полей являются электромагнитное или гравитационное поле. Совокупность значений некоторой величины, заданных в каждой точке рассматриваемого множества, называется полем. Если эта величина векторная, то поле называется векторным, если величина скалярная, то поле тоже называется скалярным. Можно привести примеры как скалярных полей (температура, давление), так и векторных (скорость жидкости или газа, напряженность электрического поля, магнитная индукция).

Как уже было сказано, скалярное поле, заданное на множестве D, − это отображение с областью определения D, значениями которого являются действительные чиста (значения скалярной величины). В качестве множества D, как правило, рассматривают некоторую пространственную область, поверхность или кривую.

Пример. Пусть пространственная кубируемая замкнутая область D заполнена веществом. Выберем в D точку М и произвольную кубируемую замкнутую область , содержащую точку M. Обозначим через V(D_M) и d(D_M) объем и диаметр D_M. Если m(D_M) − масса содержащегося в D_M вещества, то отношение представляет собой среднюю объемную плотность вещества в D_M. Предположим, что в каждой точке существует конечный предел

Тогда в D определено скалярное поле, значением которого в точке М является объемная плотность массы вещества (такое поле обычно называют полем плотности вещества).

Скалярное поле может быть однородным и неоднородным, стационарным, нестационарным (периодическим и непериодическим), а также одномерным, плоским, двумерным, трехмерным, осесимметричным и т.п.

Градиент и его свойства.

Определение. Скалярное поле u(M) называют дифференцируемым в , если существует окрестность и существует вектор g, что для любой приращение имеет вид

,

Утверждение. Если такое представление существует, то оно единственно.

Определение. Вектор g из называется градиентом скалярного поля u(M) и обозначается или .

Рассмотрим открытое множество , фиксированную точку , фиксированный единичный вектор l, .

Определение. Если существует , где , , то число l называют производной по направлению l и обозначают .

Утверждение. Если скалярное поле u(M) дифференцируемо в точке , то для любого единичного вектора l существует .

В декартовой системе координат

Свойства

,

Определение криволинейного интеграла первого рода

П усть дана (неориентированная) линия L с концами точках А и В и функция трех переменных f(x, y, z) = f(M), определенная в каждой точке . Разобьем линию L на п (необязательно равных) частей точками А = С₀, С₁, С₂, ..., C_n-1, C_n = B. Выберем на каждой дуге C_k-1C_k произвольную точку , обозначим через длину хорды , k = 1, 2, ..., n и пусть − мелкость полученного разбиения Tⁿ линии L (см. Рис.1).

Составим интегральную сумму . Если существует конечный предел таких интегральных сумм при стремлении мелкости разбиения к нулю ( ),не зависящий от способа разбиения линии L на п частей и выбора точек С_k. то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x, y, z) по линии L, и обозначается:

Теорема. Если линия L имеет кусочно-гладкую параметризацию, а функция f(x, y, z) = f(M) непрерывна на ней, то существует криволинейный интеграл первого рода .

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

(1) аддитивность; (2) линейность; (3) переход к неравенству под знаком интеграла; (4) интеграл от константы; (5) теорема об оценке; (6) теорема о среднем (для непрерывного пути L и непрерывной функции f).

Вычисление криволинейного интеграла первого рода

1) Кривая L задана параметрически:

2) Линия L задана на плоскости XOY явно, т.е. L: y = y(x), . Тогда

3) Линия L задана на плоскости в полярных координатах: ,

Г еометрические и физические приложения криволинейного интеграла первого рода:

1) длина дуги кривой ;

2) площадь цилиндрической поверхности (Рис.2)

3) площадь поверхности вращения (Рис.3) ;

4) масса материальной линии плотности μ:

5) координаты центра масс.

Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть дан путь, т.е. ориентированная линия L с концами точках А и В (т.е. линия, на которой указано направление, например, от А к В), и векторное поле G(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.

Разобьем линию L на п (необязательно равных) частей точками А = С₀, С₁, С₂, ..., C_n-1, C_n = B. Выберем на каждой дуге C_k-1C_k произвольную точку , обозначим , k = 1, 2, ..., n , и пусть − мелкость полученного разбиения Tⁿ ориентированной линии L). Составим интегральную сумму

Е сли существует конечный предел этих интегральных сумм при стремлении мелкости разбиения к нулю ( ), не зависящий от способа разбиения линии L на п частей и выбора точек C_k, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции G(x, y, z), (или работой векторного поля G(x, y, z)) вдоль ориентированной линии (пути) L, и обозначается:

Теорема существования. Если ориентированная линия L имеет кусочно-гладкую параметризацию, а векторное поле G(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k непрерывно на ней, то существует криволинейный интеграл второго рода .

Свойства криволинейного интеграла второго рода

1) При смене ориентации линии на противоположную криволинейный интеграл второго рода меняет знак, т.е. если путь L₁ отличается от пути L только ориентацией, символически L₁ = −L, то для любого векторного поля G (интегрируемого вдоль пути L):

2) Аддитивность. Пусть точка С на пути (ориентированной линии) L делит его на два пути L₁ и L₂ с той же ориентацией, т.е., символически L = L₁ + L₂ , а поле G интегрируемо вдоль путей L₁ и L₂, то

3) Линейность. Для любых чисел и векторных полей F и G (интегрируемых вдоль пути L) справедливо равенство:

4) Теорема об оценке. Если путь L имеет длину l, и в любой точке для векторного поля G(M) справедливо неравенство |G(M)| ≤ C, то справедлива оценка .

5) Связь с криволинейным интегралом первого рода. Пусть в любой точке векторное поле G(M) образует с касательным вектором к ориентированной кривой в этой точке угол φ (вообще говоря, зависящим от точки М), то

(слева стоит криволинейный интеграл второго рода, а справа – первого).

Вычисление криволинейного интеграла второго рода

Причем, заданная ориентация на L соответствует изменению параметра t от t = α до t = β (возможно также, что α > β). Тогда

Приложения криволинейного интеграла второго рода

1) Циркуляция векторного поля. Если путь в интеграле второго рода представляет собой замкнутый контур, то он называется циркуляцией векторного поля по данному контуру и обозначается интегралом с кружочком:

2) С помощью криволинейного интеграла можно находить площадь плоской области.

Пусть точка Р(х, у) движется вдоль некоторой плоской линии L от точки М к точке N. К точке Р приложена сила F, которая меняется по величине и направлению при перемещении точки Р, т. е. представляет собой некоторую функцию координат точки Р. Вычислим работу А силы F при перемещении точки P из положения M в положение N. Для этого разобьем кривую MN на п произвольных частей точками М = М₀, M₁, M₂, ..., M_n = N в направлении от М к N и обозначим через вектор . Величину силы F в точке М, обозначим через F_i. Тогда скалярное произведение можно рассматривать как приближенное выражение работы силы F вдоль дуги :

Пусть F = X(x, y)i + Y(x, y)j. Обозначив через и приращения координат x_i и y_i при переходе от точки М_i к точке M_i + 1, получаем . Поэтому . Откуда в пределе