КИ лекция 3 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 3. Общий случай замены переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложения двойного интеграла: вычисление площади плоских фигур, объема тела и площади поверхности.

ОЛ-1, гл. 1; ОЛ-2, гл. 14; ДЛ-2, т. 2, гл. 6; ЭР-1

Общий случай замены переменных в двойном интеграле.

Теорема. Пусть отображение x = φ(u, v), у = ψ(и, v), , взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и отображает область на область , причем якобиан J(u, v) этого отображения в G^* отличен от нуля. Тогда площадь S квадрируемой замкнутой области может быть выражена двойным интегралом по ее прообразу :

(1)

Доказательство. Будем считать, что область G^* − прямоугольник. Разобьем его на маленькие прямоугольники и посмотрим, куда они переходят под действием отображения x = φ(u, v), у = ψ(и, v) (см. рис.)

, ,

, , ,

Так как , то . Суммируя полученные выражения для площадей этих четырехугольников, приходим к искомой формуле.

Замечание. Выше предполагалось, что отображение x = φ(u, v), у = ψ(и, v), , области G^* на область D^* является взаимно однозначным. Однако выражение (1) для площади в криволинейных координатах остается в силе и в том случае, если это условие нарушено в отдельных точках или вдоль отдельных линий.

Теорема. Пусть отображение x = φ(u, v), у = ψ(и, v), взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и отображает область на область , причем якобиан J(u, v) этого отображения в G^* отличен от нуля. Если − квадрируемая замкнутая область и f(x, у) − функция, непрерывная в D (или же ограниченная в D и непрерывная в D всюду, кроме некоторого множества площади нуль), то верна следующая формула замены переменных в двойном интеграле:

План доказательства. Рассмотреть интегральную сумму для первого интеграла. Расписать значение с использованием предыдущей теоремы и теоремы о среднем. Перейти к пределу в равенстве

Д войной интеграл в полярных координатах. Пусть в полярных координатах область D задается неравенствами: , (см. Рис. 5), где функции и непрерывны на отрезке . Тогда двойной интеграл по области D от функции f(x, y) вычисляется в виде повторного интеграла:

Приложения двойного интеграла: вычисление площади плоских фигур, объема тела и площади поверхности.

(а) Площадь плоской фигуры.

(б) Масса плоской материальной пластинки. Если плоская материальная пластинка D расположена в плоскости XOY и имеет переменную плотность μ(x, y), то масса пластинки D вычисляется по формуле

(в) Координаты центра масс плоской C(x₀, y₀) материальной пластинки. Координаты центра масс плоской материальной пластинки D . имеющей переменную плотность μ(x, y) находятся по формулам:

,

(г) Момент инерции относительно оси OX, оси OY и начала координат

, ,

(д) Объем тела в пространстве. Если тело T (рис. 12) проецируется на плоскость XOY в фигуру D и задано неравенствами , , то объём тела T вычисляется по формуле:

(е) Площадь поверхности в пространстве. Если поверхность σ задана уравнением z = f(x, y) (функция f(x, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные), где (рис. 11), то площадь поверхности вычисляется по формуле:

Доказательство. Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г; поверхность задана уравнением z = f(x, у), где функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Оху через L. Область на плоскости Оху, ограниченную линией L, обозначим через D.

Разобьем произвольным образом область D на n элементарных площадок . В каждой площадке , возьмем точку P_i(x_i, y_i). Точке P_i, будет соответствовать на поверхности точка M_i(x_i, y_i, f(x_i, y_i)). Через точку M_i, проведем касательную плоскость к поверхности. Уравнение ее имеет вид

На этой плоскости выделим такую площадку , которая проектируется на плоскость Оху в виде площадки . Рассмотрим сумму всех площадок : .

Предел S(σ) этой суммы, когда наибольший из диаметров площадок стремится к нулю, мы будем называть площадью поверхности, т. е. по определению положим

На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать

или

Угол γ_i есть в то же время угол между осью Оz и перпендикуляром к касательной плоскости в точке M_i:

Следовательно,

Если уравнение поверхности дано в виде х = f(у, z) или в виде y = f(x, z), то соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид

где D' и D'' − области на плоскостях Oyz и Oxz, в которые проектируется данная поверхность.