КИ лекция 16 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 16. Разложение функции в степенной ряд, необходимое условие. Ряд Тейлора и Маклорена. Критерий разложимости функции в степенной ряд. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение в ряд Маклорена функций: , области пригодности этих разложений.

ОЛ-2, гл. 16, § 15-23; ОЛ-9, гл 2, § 2.5-2.9, ДЛ-1, ч.2, гл. 1, §5, ДЛ3, §37

Определение. Будем говорить, что функция f(x) на интервале (−R, R) может быть разложена в степенной ряд, если существует степенной ряд, сходящийся к f(х) на указанном интервале (указанном множестве)

(1)

Определение^*. Функция f(z) называется аналитической в точке z₀ если существует такое R > 0, что в круге |z − z₀| < R она представима степенным рядом, т. е. существуют такие комплексные числа a_n, n = 1, 2, ..., что

, (2)

Необходимое условие разложения функции в степенной ряд. Для того чтобы функция f(x) могла быть разложена в степенной ряд на интервале (−R, R), необходимо, чтобы эта функция имела на указанном интервале непрерывные производные любого порядка.

Доказательство. В самом деле, степенной ряд внутри его промежутка сходимости, который во всяком случае содержит интервал (−R, R), можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, причем все полученные при этом ряды сходятся внутри того же промежутка сходимости.

Но тогда суммы рядов, полученных сколь угодно кратным дифференцированием, представляют собой функции, непрерывные внутри указанного промежутка сходимости, а стало быть, непрерывные на интервале (−R, R).

Таким образом, всякая аналитическая в точке х₀ функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Обратное, вообще говоря, неверно. Существуют функции, бесконечно дифференцируемые, но не аналитические, и, значит, не представимые своим рядом Тейлора.

Пример.

Утверждение. Если функция f(x) может быть на интервале (−R, R) разложена в степенной ряд, то лишь единственным образом.

Доказательство. В самом деле, пусть функция f(х) может быть разложена на интервале (−R, R) в степенной ряд.

Дифференцируя указанный ряд почленно n раз (что заведомо можно делать внутри интервала (−R, R)), получим

Отсюда при x = 0 найдем

или (3)

Таким образом, коэффициенты степенного ряда (1), в который может быть разложена функция f(x), однозначно определяется формулой (3).

Определение. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд

(4)

называется рядом Тейлора функции f в точке x = x₀. Если x₀ = 0, то ряд Тейлора называют также рядом Маклорена.

Возникает вопрос: когда ряд Тейлора (4) функции f(x) на указанном интервале сходится к f(х)? Чтобы исследовать этот вопрос, напишем формулу Тейлора для функции f:

которая справедлива при любом n = 1, 2, ... . В этой формуле r_n(x) обозначает остаточный член формулы Тейлора. Полагая

Поэтому

где s_n(x) − n-я частичная сумма ряда Тейлора,

Критерий разложимости функции в степенной ряд. Для того чтобы функция f равнялась сумме своего ряда Тейлора на рассматриваемом интервале, необходимо и достаточно, чтобы для всех x из этого интервала

Теорема. Пусть функция f и все ее производные ограничены в совокупности в интервале (х₀ − h, х₀ + h), т. е. существует такая постоянная M > 0, что

для всех и всех n = 0, 1, 2, .... Тогда на интервале (х₀ − h, х₀ + h) функция f раскладывается в ряд Тейлора т. е.

,

Доказательство. Прежде всего заметим, что, каково бы ни было число а,

Возьмем r_n(x) в форме Лагранжа. Из ограниченности производных функции f следует, что

,

Поскольку

то при выполняется условие .

Разложение в ряд Маклорена функций.

1. ,

,

,

2. ,

3. ,

4. ,

Заметив, что функция f(х) = (1 + х)^т удовлетворяет дифференциальному уравнению и условию f(0) = 1, найдем степенной ряд, сумма которого s(x) удовлетворяет этому уравнению и начальном условию s(0) = 1:

Подставляя его в уравнение, получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в разных частях равенства, находим a₁ = m, a₁ + 2a₂ = ma₁, ..., па_п + (п + 1)а_n + 1 = та_n, ... Отсюда для коэффициентов ряда получаем выражение:

Определим радиус сходимости ряда

Таким образом, ряд сходится при |x| < 1. При x = 1 и x = −1 требуется дополнительное исследование (Ответ будет зависеть от значения m).

Также доказать сходимость ряда для функции можно, рассмотрев остатки в формуле Тейлора для этой функции

,

Частные случаи:

,

,

5. ,

6. ,