КИ лекция 13 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 13. Числовые ряды. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости и достаточный признак расходимости. Простейшие свойства сходящихся рядов (почленное сложение рядов, умножение ряда на число, отбрасывание конечного числа членов ряда). Знакоположительные ряды. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши.

ОЛ-2, гл. 16; ДЛ-1, ч. 1, гл. 13; ДЛ-2, т. 1, гл. 4.

Определение. Пусть задана бесконечная последовательность чисел

Выражение

(1)

называется числовыми рядом. При этом числа называются членами ряда.

Определение. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда:

Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Если не существует (например, ), то говорят, что ряд (1) расходится и суммы не имеет.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то .

Доказательство. Пусть ряд (1) сходится и имеет место равенство . Но тогда имеет место также равенство , так как при . Вычитая почленно из одного равенства другое, . Используя свойства предела последовательности, получим . С другой стороны .

Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Из того, что n-й член стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится, − ряд может и расходиться. Например, гармонический ряд расходится.

Теорема 1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов.

Иными словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Доказательство. Пусть S_n − сумма n первых членов ряда (1), c_k − сумма k отброшенных членов (заметим, что при достаточно большом n все отброшенные члены содержатся в сумме S_n) σ_n − k − сумма членов ряда, входящих в сумму S_n и не входящих в c_k. Тогда имеем: S_n = c_k + σ_n − k.

Действия над рядами.

а) Сходящийся ряд можно умножить почленно на любое число k, т. е. если , то

б) Под суммой (разностью) двух сходящихся рядов (2) и (3) понимается соответствующий ряд

в) Произведением рядов двух сходящихся рядов (2) и (3) называется ряд (4), где .

Если ряды (2) и (3) сходятся абсолютно, то ряд (4) сходится также абсо­лютно и имеет сумму, равную .

Критерий Коши. Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числа ε можно было подобрать такое N, что при n > N и любом положительном р выполнялось бы неравенство .

Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

а) Признак сравнения I. Если , начиная с некоторого n = п₀, и ряд

(2)

сходится, то ряд (1) также сходится. Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

Доказательство. Обозначим через s_n и σ_n соответственно частичную сумму первого и второго рядов. Из условия следует, что s_n ≤ σ_n. Если ряд (2) сходится, то существует предел σ его частичной суммы. Из того, что члены рядов (1) и (2) положительны, следует, что σ_n ≤ σ, и тогда s_n ≤ σ. Итак, частичные суммы s_n ограничены. При увеличении n частичная сумма s_n возрастает, а из того, что последовательность частичных сумм возрастает и ограничена, следует, что она имеет предел.

Если ряд (1) расходится, то (так как члены ряда (1) положительны, то его частичная сумма s_n возрастает при возрастании n). В силу того, что s_n ≤ σ_n, , т.е. ряд (2) расходится.

В качестве ряда для сравнения удобно, в частности, выбирать геомет­рическую прогрессию , которая сходится при |q| < 1 и расходится при |q| ≥ 1, и гармонический ряд являющийся рядом расходящимся.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна (при q ≠ 1)

Для доказательства расходимости гармонического ряда нужно сравнить его с рядом , частичные суммы которого равны .

б) Признак сравнения II. Если , начиная с некоторого номера n = n₀, и существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, если ), то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Пусть , тогда по определению предела, для некоторого ε > 0 найдется номер N такой, что при любых k ≥ N

Стало быть, при k ≥ N справедливо неравенство . А значит, выполняются условия предыдущей теоремы.

в) Признак Даламбера. Пусть а_n > 0 (начиная с некоторого n = п₀) и существует предел . Тогда ряд (1) сходится, если q < 1, и расходится, если q > 1. Если q = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство. Пусть q < 1. Рассмотрим число l, удовлетворяющее соотношению q < l < 1.

Так как величина , то разность между величиной и числом q может быть сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положительного числа, в частности, меньше l − q, т. е. . Поэтому для всех значений n, начиная с некоторого номера N, т. е. для n ≥ N, будет иметь место неравенство .

Записывая последнее неравенство для различных значений п, начиная с номера N, получим , и так далее.

Рассмотрим теперь два ряда (1) и .

Второй ряд есть геометрическая прогрессия с положительным Знаменателем l < 1. Следовательно, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с , меньше членов этого ряда. На основании признака сравнения и теоремы 1 следует, что ряд (1) сходится.

Пусть теперь q > 1. Тогда из равенства следует, что, начиная с некоторого номера N, т. е. для n ≥ N, будет иметь место неравенство или для всех n ≥ N. Но это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N + 1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится.

Замечание. Ряд будет расходиться и в том случае, когда .

г) Признак Коши. Пусть а_п ≥ 0 (начиная с некоторого п = п₀) и существует предел . Тогда ряд (1) сходится, если q < 1, и расходится, если q > 1. В случае, когда q = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство. Пусть q < 1. Рассмотрим число l, удовлетворяющее соотношению q < l < 1.

Начиная с некоторого номера n = N, будет иметь место соотношение . Отсюда следует, что или для всех n ≥ N.

Рассмотрим теперь два ряда (1) и .

Второй ряд сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию. Члены ряда (1), начиная с a_N, меньше членов этого ряда. Следовательно по признаку сравнения, ряд (1) сходится.

Пусть q > 1. Тогда, начиная с некоторого номера n = N, будем иметь или . Но если все члены рассматриваемого ряда, начиная с a_N, больше 1, то ряд расходится, так как его общин член не стремится к нулю.