Расчет статически неопределимых систем методом перемещений на силовое воздействие, страница 7

Определив из уравнения равновесия   величину опорной реакции Q₀ и решив (8.26), найдем z₀, т.е. абсциссу сечения, где возникает экстремальное значение момента:

                  ;

                 кН;

               Таким образом:   м.

Подставив найденное значение z₀ = 1,75 м в аналитическое вы­ражение изменения момента (8.25), определяем величину:

                 кНм.

По найденным значениям ординат строим окончательную эпю­ру изгибающих моментов для заданной системы (рис.8.31, г).

7. Проверка правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок 

Для того, чтобы убедиться в правильности построения эпюры М_oк , производим статическую и деформационную проверки.

Для статической проверки, как и в методе сил, вырезаем неза­крепленный жесткий узел В из эпюры М_oк , прикладываем действу­ющие в нем изгибающие моменты и проверяем удовлетворение уравнения равновесия   (рис.8.31, д):

                .

Следовательно, узел В находится в равновесии, что свидетель­ствует о правильности построения эпюры М_oк . Однако, как и в методе сил, уравнения равновесия жестких незакрепленных узлов системы иногда удовлетворяются и при неправильно построенных в основной системе единичных и грузовых эпюрах, а также непра­вильном вычислении величин неизвестных перемещений. Поэтому для полной гарантии правильности построения эпюры М_oк  сделаем деформационную проверку, физический смысл которой состоит в проверке отсутствия перемещений в сечениях заданной системы, в которых заведомо они отсутствуют.

Проверим отсутствие перемещений по направлению опорного стержня опоры А заданной системы. Выбрав основную систему ме­тода сил и приложив единичную сосредоточенную силу Х = 1 в сечении А по направлению опорного стержня, строим единичную эпюру изгибающих моментов М_X=1 (рис.8.9, е) и после чего вычис­ляем интеграл Мора по правилу Верещагина. Сопрягая эту эпюру с эпюрой М_oк , получим: 

Вертикальное перемещение сечения А отсутствует, следователь­но, эпюра М_oк  построена верно.

Рис.8.31

8. Построение эпюры Q по эпюре М_ок 

Эпюру Q для заданной системе по эпюре М_oк  строим, как и в методе сил, используя для определения ее ординат формулу (8.26).

Учитывая принятое правило знаков при построении эпюры М_oк , обход рамы производим слева направо, начиная с опоры А и находясь все время лицом к оси каждого участка рамы. Последова­тельность обхода показана на рис.8.30, в пунктиром со стрелками. 

Участок 02. На этом участке действует распределенная внешняя нагрузка q = 20 кН/м и опорные моменты М_пр = М₂ = 19,71 кНм и М_лев = М₀ = 0:

                , где 0  z  l₁ = 4 м.

Откуда, при z = 0:

                 кН,

a при z = 4

                кН.

Участок 3-4. На этом участке нагрузка отсутствует, поэтому:

                 кН.

Участок 45. Аналогично:

                кН.

Участок 67. Аналогично:

               кН.

Участок 89. На этом участке нагрузка также отсутствует, по­этому:

                кН.

По найденным ординатам строим эпюру Q для заданной рамы (рис.8.32, а).

Рис.8.32

9. Построение эпюры N для заданной рамы

                Ординаты эпюры N определяем из уравнений равновесия   и   вырезанных из эпюры Q узлов рамы. К вырезан­ным узлам прикладываем действующие в них поперечные силы Q и искомые продольные силы N, составляем уравнения равновесия узлов и решив их, вычисляем ординаты эпюры N. При этом нор­мальные силы направляем от узла, предполагая, что все элементы рамы растянуты, а направление поперечных сил принимаем соглас­но следующему правилу: если поперечная сила положительная, то она должна вращать узел по ходу часовой стрелки, а если отрица­тельная  то против хода часовой стрелки.

Узел D:

                 кН (растяжение);

                 кН (сжатие).

Узел В: 

                ; 

                 кН (сжатие). 

По найденным ординатам строим эпюру N (рис.8.32, б). 

10. Статическая проверка рамы в целом

Для выполнения этой проверки необходимо убедиться в спра­ведливости трех уравнений равновесия  ;  ;   для любой отсеченной части рамы. Отсечем заданную раму от всех опор и приложим в местах сечений действующие в них силовые факторы, величины и направления которых берем из эпюр M_ок , Q и N (рис.8.32, в).

Составив уравнения равновесия, проверяем их удовлетворение, т.е. обращение их в тождество:

;

;

.

Все уравнения обратились в тождества, следовательно, рама находится в равновесии и эпюры Q, N и M_ок построены верно. 

8.8. Учет продольных сил в расчетах сооружений методом перемещений

Необходимость учета продольных сил при расчете стержневых систем методом перемещений требует особого подхода к определению количества неизвестных в решаемых задачах. При этом формула (8.1) остается справедливой, т.е. по-прежнему

.

Число неизвестных угловых перемещений n_θ остается таким же, как и в случае, когда влиянием продольных сил на конечный результат расчета мы пренебрегаем, т.е. оно равно количеству жестких узлов сооружения. В рассматриваемом случае иным становится число неизвестных линейных перемещений узлов системы n_Δ, которое определяется по шарнирной схеме сооружения, образуемой теперь не только введением режущих цилиндрических шарниров в жесткие узлы, но и удалением тех элементов, где требуется учесть продольные силы.

Пример 8.5.

Определить степень кинематической неопределимости рамы, изображенной на рис. 8.33,а с учетом влияния продольных сил во всех стержнях и для ее расчета выбрать основную систему метода перемещений.

Шарнирную схему рамы образуем введением во все жесткие узлы, включая и опорные, цилиндрических шарниров и удалением стержней 1А, 12, 2В (рис. 8.33,б). Степень свободы этой шарнирной схемы определим по формуле (8.2):

W = 2Y − C − C_o = 2 ∙ 4 − 0 − 4 = 4.

Рис. 8.33

Степень кинематической неопределимости рамы равна

Основная система метода перемещений показана на рис. 8.33,в.

Пример 8.6.

Определить степень кинематической неопределимости комбинированной системы с учетом влияния продольных сил в стержнях 1А и 13 (рис. 8.34,а) и выбрать основную систему метода перемещений для ее расчета.

Рис. 8.34

Шарнирная схема заданной стержневой системы показана на рис. 8.34,б. Обращаем внимание, что при образовании этой шарнирной схемы стержни 1А и 13 удалены. Степень свободы шарнирной схемы