Расчет статически неопределимых систем методом перемещений на силовое воздействие, страница 6

Рис.8.28

Такая же по величине, согласно теореме о взаимности реакций, будет и реактивная сила r₂₁, возникающая в дополнительно постав­ленном горизонтальном стержне опоры А от поворота заделки уз­ла В на угол Z₁ = 1:

r₁₂ = r₂₁ = 0,375 EJ_с.

Реактивный момент R_1Pq , возникающий в заделке узла В от внешних нагрузок Р и q, найдем из уравнения равновесия   узла В, вырезанного из эпюры М_Pq (рис.8.28, е):

кНм.

Реактивное усилие r₂₂, возникающее в горизонтальном опор­ном стержне опоры А от перемещения узлов ВиС на величину Z₂ = 1, найдем проведя разрез II на эпюре M₂ (см. рис.8.28, в) и определив действующие в местах сечения элементов горизон­тальные усилия (рис.8.7,а) из уравнения равновесия  :

.

Рис.8.29

Проведя разрез IIII на эпюре M_Pq (рис.8.28, д) и определив горизонтальные усилия в рассеченных элементах, из уравнения   найдем реактивное усилие R_2Pq , возникающее в дополни­тельно поставленном опорном стержне опоры А от действия внеш­ней нагрузки (рис.8.29, б):

кН.

Определяя реактивные усилия, всегда следует иметь в виду, что они считаются положительными, если направления их действия совпадают с принятым направлением действия неизвестных пере­мещений Z₁ и Z₂.

4.2. Проверка правильности вычисления коэффициентов

Проверка правильности вычисления главных и побочных коэф­фициентов канонических уравнений метода перемещений выпол­няется аналогично проверке коэффициентов уравнений при рас­чете методом сил, то есть проверяется удовлетворение равенства 
, где    сумма всех найденных еди­ничных коэффициентов;

 интеграл, опреде­ляемый по правилу Верещагина, т.е. умножением суммарной еди­ничной эпюры M_s (M_s = M₁ + M₂) на себя.

Удовлетворение этого равенства свидетельствует о правильнос­ти вычисления главных и побочных коэффициентов.

Таким образом, для выполнения этой проверки, называемой универсальной, необходимо построить суммарную единичную эпю­ру изгибающих моментов в основной системе метода перемещений M_s = M₁ + M₂ . Эта эпюра обычно строится путем сложения еди­ничных эпюр M₁ и M₂.

Для данного примера она представлена на рис.8.30, а.

Рис.8.30

Определив

               ;

видим, что равенство удовлетворяется. Таким образом, коэффици­енты вычислены верно.

4.3. Проверка правильности вычисления грузовых коэффициентов

Проверка правильности вычисления грузовых коэффициентов заключается в определении суммы всех найденных грузовых коэф­фициентов   и величины  , определяемой по правилу Верещагина, т.е. сопряжением суммар­ной единичной эпюры   с эпюрой изгибающих мо­ментов  , построенной в основной статически определимой си­стеме метода сил от действия только внешних нагрузок P и q. При правильном определении грузовых коэффициентов величины  и   должны быть равны, т.е.  .

Построив эпюру   (рис.8.30, б), определяем величины  и  :

.

Сопрягая эпюру M_s с эпюрой   по правилу Верещагина и взяв полученное выражение со знаком «минус», определяем:

Равенство   свидетельствует об отсутствии ошибок при вычислении грузовых коэффициентов. Здесь же следует еще раз отметить, что при сопряжении эпюр всегда надо помнить, что эле­менты рамы имеют различные жесткости ( ).

5. Решение системы канонических уравнений и проверка правильности вычисления неизвестных

Подставив найденные значения коэффициентов в канониче­ские уравнения, получим:

Решив эту систему уравнений, находим:

Проверку правильности решения системы уравнений произве­дем путем подстановки найденных значений Z₁ и Z₂ в оба уравне­ния. В результате оба уравнения должны обратиться в тождества. Это будет свидетельствовать о правильности решения системы ка­нонических уравнений: 

Оба уравнения обратились в тождества. Следовательно, система решена верно.

6. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Мок для заданной системы

Построение окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок для заданной системы производим на основании принципа незави­симости действия сил по формуле: 

М_ок = M₁ Z₁ + M₂ Z₂ + M_Pq ,

т.е. путем сложения «исправленных» единичных эпюр М₁, М₂ и грузовой эпюры М_Pq , построенных в основной системе метода перемещений.

Значения ординат «исправленных» эпюр M Z₁ и M Z₂ получим путем умножения ординат единичных эпюр M₁ и M₂, соответст­венно, на значения Z₁ и Z₂, найденные в результате решения системы канонических уравнений метода перемещений, с учетом их знака. Исправленные эпюры M₁ Z₁ и M₂ Z₂, полученные таким образом, представлены на рис.8.31, а и 8.31, б.

Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок определяем по вышеуказанной формуле в табличной форме (см. табл.8.5), предварительно приняв для этого нумерацию характер­ных сечений рамы и правило знаков для ординат эпюр изгибающих моментов (рис.8.30, в). В ригеле 02 эпюра изгибающих моментов изменяется по закону квадратной параболы, так как действует рав­номерно распределенная нагрузка. Поэтому в ригеле может иметь место экстремальное значение изгибающего момента. Для выясне­ния этого рассмотрим ригель 02, вырезанный из статически неоп­ределимой рамы, на который действуют равномерно распреде­ленная нагрузка q = 20 кН/м и опорные моменты в сечении 0: М₀ = 0 и в сечении 2: М₂ = 19,71 кНм (рис.8.31, в). 

                                                                                                                                                 Таблица 8.5

Аналитическое выражение изменения изгибающего момента в зависимости от текущей абсциссы z для рассматриваемого элемен­та имеет вид: 

                 .                                                                                                    (8.25)      

Для нахождения положения сечения, в котором может возник­нуть экстремальное значение изгибающего момента, приравняем первую производную изгибающего момента нулю:

                  .                                                                                                           (8.26)