Расчет статически неопределимых систем методом перемещений на силовое воздействие, страница 4

Соотношение (8.15) с учетом зависимости (8.16) перепишется:

                             (8.17)

После подстановки выражения (8.17) в формулу (8.14) окончательно получим

                         (8.18)

Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений с помощью соотношений (8.11), (8.12) и (8.18), как и в методе сил, можно произвести сопряжением соответствующих эпюр внутренних усилий, используя формулу Симпсона или правило Верещагина.

В двадцать второй лекции будет рассмотрено определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений в матричной форме.

8.6. Определение внутренних усилий в заданном сооружении.

Промежуточные и окончательные проверки правильности расчета

На данном этапе расчета стержневых систем методом перемещений мы имеем эпюры изгибающих моментов М₁, М₂,…, М_j, …, M_n, M_F, построенные в основной системе от смещения наложенных связей на величины Z₁ = 1, Z₂ = 1,…, Z_j = 1,…, Z_n = 1 и от заданной нагрузки, а также численные значения угловых и линейных перемещений узлов в заданном сооружении Z₁, Z₂,…, Z_j,…, Z_n,полученные в результате решения системы канонических уравнений (8.6). Окончательную эпюру изгибающих моментов для заданного сооружения получим, используя принцип независимости действия сил:

.     (8.19)

Поперечные и продольные силы в сечениях заданной системы вычислим по эпюре изгибающих моментов из условий равновесия отдельных элементов и узлов.

Многоэтапность расчета статически неопределимых сооружений методом перемещений требует проведения проверок достоверности вычисления коэффициентов системы канонических уравнений, правильности решения этой системы уравнений, а также окончательной проверки эпюр внутренних усилий, полученных в результате расчета.

Главные и побочные коэффициенты r_ii и r_ij системы канонических уравнений (8.6) могут быть вычислены двумя способами – статическим (из условия равновесия узлов) и кинематическим (сопряжением соответствующих эпюр изгибающих моментов, построенных в основной системе метода перемещений от единичных кинематических воздействий). Кроме того, правильность вычислений любого побочного коэффициента r_ji может быть подтверждена независимым определением равного ему побочного коэффициента r_ij .

Свободные члены R_iF (грузовые коэффициенты) также могут быть получены статическим и кинематическим способами. При этом, используя соотношение (8.18), необходимо помнить, что грузовая эпюра изгибающих моментов   должна быть получена в любой статически определимой основной системе метода сил, выбирая которую необходимо обязательно удалить i-ю наложенную связь.

При необходимости можно произвести универсальную и построчные проверки правильности вычислений коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений (8.6), а также проверку достоверности определения ее свободных членов. Для этого, как и в методе сил, используют суммарную эпюру изгибающих моментов M_S, полученную в основной системе метода перемещений суммированием эпюр изгибающих моментов от единичных кинематических воздействий:

                (8.20)

На заключительном этапе производится проверка правильности эпюр внутренних усилий, построенных в заданном статически неопределимом сооружении. Если при решении задачи ошибки отсутствовали, то узлы заданного сооружения и любые его части должны находиться в равновесии. Это следует из того, что в реальном сооружении нет связей, в которых отрицались реакции в основной системе метода перемещений (см. п. 8.3).

Дополнительно для окончательной проверки эпюр внутренних усилий, полученных для заданного сооружения от силового воздействия, можно использовать любую, желательно статически определимую, основную систему метода сил, для которой должны выполняться кинематические условия

                                      (8.21)

В соотношении (8.21): M(s) – изгибающие моменты от внешней нагрузки в заданном сооружении, вычисленные методом перемещений;   – изгибающие моменты в основной системе метода сил от единичного усилия, действующего в направлении i-й удаленной связи.

8.7. Примеры расчета рамы на силовое воздействие методом перемещений

Пример 8.3.

Построить эпюры внутренних усилий от силового воздействия в раме, показанной на рис. 8.16,а. Соотношение между значениями изгибных жесткостей поперечных сечений ригеля (горизонтального элемента) и наклонных элементов задано: EJ_P : EJ_H = = 3 : 1,125.

Рис. 8.16

1. Расчет статически определимой части ригеля (рис. 8.16,б – правая консоль) и замена удаленной части соответствующими силами (рис. 8.16,в).

2. Вычисление погонных жесткостей элементов рамы. Сохраняя заданное соотношение между относительными значениями изгибных жесткостей поперечных сечений, примем EJ_P = 12, EJ_H = 5. В этом случае имеем (рис. 8.16,в):

3. Определение степени кинематической неопределимости рамы. Число неизвестных угловых перемещений узлов рамы n_θ = = 1, так как заданная стержневая система имеет только один жесткий узел, угол поворота которого Z₁ от заданного силового воздействия нам неизвестен.

Число независимых линейных перемещений n_Δ определим по шарнирной схеме, изображенной на рис. 8.17 (см. п. 8.1). Степень свободы шарнирной схемы вычислим, используя соотношение (8.2)

W = 2Y – C – C_o = 2 ∙ 3 − 2 −3 = 1.

Рис.8.17

Число независимых линейных перемещений узлов рамы совпадает со степенью свободы ее шарнирной схемы, т.е. n_Δ = 1. Степень кинематической неопределимости рамы вычислим по формуле (8.1)

4. Выбор основной системы метода перемещений. Угловую связь («плавающую» заделку) накладываем на узел b, линейную − горизонтально на узел а (рис. 8.16,г). Наложение горизонтальной линейной связи на узел а шарнирной схемы преобразует ее в геометрически неизменяемую систему. Таким образом, за неизвестные метода перемещений в данной задаче приняты угол поворота узла b − Z₁ и горизонтальное перемещение узла а − Z₂ заданной рамы от действующей на нее нагрузки. Численное значение этих неизвестных определим из системы канонических уравнений метода перемещений (см. п. 8.3)

                                     (8.22)

5. Построение деформационных схем элементов рамы в основной системе метода перемещений от смещения наложенных связей на величину, равную единице (рис. 8.18,а − от поворота угловой связи по часовой стрелке, рис. 8.19,а − от смещения линейной связи по горизонтали влево). Для определения линейных смещений узлов от перемещения горизонтальной наложенной связи влево на величину, равную единице, использован полярный план перемещений (рис. 8.19,б). На рис. 8.19,а показано линейное перемещение всех узлов и, в частности, узла b, который получил линейное перемещение вместе с наложенной на него угловой связью, т.е. не повернувшись.

Рис. 8.18

Рис. 8.19

План перемещений позволяет легко определить перекосы элементов Δ, т.е. относительные отношения их концов в направлениях, перпендикулярных осям элементов в недеформированном состоянии. Из рис. 8.19,б видно, что_ab = 0,75, _be = 1,5, _bB = _ec = 1,25. Деформационные схемы, изображенные на рис. 8.18,а и рис. 8.19,а наглядно показывают растянутые и сжатые участки крайних волокон элементов, что позволит в дальнейшем правильно осуществить привязку имеющихся стандартных задач при построении эпюр изгибающих моментов в основной системе метода перемещений.

6. Построение эпюр изгибающих моментов М₁ и М₂ в единичных состояниях основной системы метода перемещений (рис. 8.18,б и рис. 8.19,в). При построении этих эпюр использованы стандартные задачи, рассмотренные в п. 8.4 (см. см.табл. 8.1 и табл.8.3). Ординаты эпюр изгибающих моментов отложены со стороны вытянутых волокон в соответствии с деформационными схемами, представленными на рис. 8.18,а и 8.19,а.

7. Построение эпюры изгибающих моментов М_F в основной системе метода перемещений от заданной нагрузки (рис. 8.20,а, б). Эта операция состоит, по существу, в привязке имеющихся эпюр изгибающих моментов для стандартных стержней различных типов к соответствующим стержням основной системы (см. табл. 8.1 и табл. 8.3).

Рис. 8.20

8. Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений (8.22), т.е. реакций r₁₁, r₁₂, r₂₁, r₂₂ в наложенных связях 1 и 2 от единичных кинематических воздействий и реакций R_1F и R_2F в этих же связях от заданной нагрузки в основной системе метода перемещений статическим способом. Перечисленные реакции изображены на соответствующих деформационных схемах (см. рис. 8.18,а; рис. 8.19,а; рис. 8.20,а). Рассмотрев равновесие узла b в единичных и грузовых состояниях основной системы, получим (рис. 8.21):

r₁₁ = 19, r₁₂ = –1,125, R_1F = 162.

Рис. 8.21