Расчет статически неопределимых систем методом перемещений на силовое воздействие, страница 2

Рис. 8.11

Степень кинематической неопределимости сооружения равна n. Накладывая на его узлы n угловых и линейных связей, образуем основную систему метода перемещений (рис. 8.11,б). Неизвестные угловые и линейные перемещения узлов Z₁, Z₂,…, Z_i,…, Z_j,…, Z_n определим из условия эквивалентности напряженно-деформированных состояний заданного сооружения (рис. 8.11,а) и его основной системы метода перемещений (рис. 8.11,б), т.е. из условий равенства нулю реакций в наложенных связях от их смещения на величины  Z₁, Z₂,…, Z_i,…, Z_j,…, Z_n и от действующей нагрузки. Другими словами, подбор перемещений угловых и линейных связей в основной системе метода перемещений мы осуществляем, отрицая реакции в наложенных связях, ибо в заданном сооружении этих связей нет.

R₁ = 0, R₂ = 0,…, R_i = 0,…, R_j = 0,…, R_n = 0.                                                          (8.3)

Используя принцип независимости действия сил, реакции соотношения (8.3) представим в виде суммы реакций от смещений каждой из наложенных связей на величину, совпадающую с величиной соответствующего перемещения узла в заданном сооружении, и от приложенной нагрузки:

………………………………………………………………...                                    (8.4)

………………………………………………………………...

В соотношениях (8.4):   и   соответственно реакции в i-й наложенной связи в основной системе метода перемещений от заданной нагрузки и смещения j-й связи на величину, равную Z_j. В соответствии с принципом пропорциональности реакции в наложенных связях запишем так:

……………..                                 

                                                                                                            (8.5)

……………..                                                         

……………..

Из формул (8.5) следует смысл коэффициентов r_ii и r_ij. Это реакции в i-й наложенной связи, соответственно от смещения i-й и j-й наложенных связей на величину, равную единице, в основной системе метода перемещений.

Подставляя выражения (8.5) в соотношения (8.4), в общем виде получим систему канонических уравнений метода перемещений:

       (8.6)

В системе уравнений (8.6) коэффициенты при неизвестных r_ii, расположенные на главной диагонали, называются главными, коэффициенты r_ij – побочными, свободные члены R_iF – грузовыми коэффициентами. При этом побочные коэффициенты r_ij и r_ji подчиняются теореме о взаимности реакций, т.е. r_ij = r_ji.

Решению системы уравнений (8.6) предшествует определение коэффициентов при неизвестных r_ii, r_ij и свободных членов R_iF.

Для определения этих коэффициентов системы канонических уравнений метода перемещений (8.6) необ­ходимо предварительно построить эпюры моментов в основной системе от заданной системы внешних сил и от единичных переме­щений Z_i = 1. Все коэффициенты, а также свободные члены урав­нений разделяются на две группы: коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных допол­нительных элементах; коэффициенты и свободные члены, пред­ставляющие реактивные усилия во введенных дополнительных эле­ментах основной системы.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактив­ные моменты во введенных элементах, определяются вырезанием узлов и составлением уравнений равновесия моментов М = 0, со­гласно методу сечений.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактив­ные усилия во введенных связях основной системы определяются разрезанием элементов рамы и составлением уравнения равновесия сил на отсеченной части y = 0. При этом направление оси y вы­бирается так, чтобы уравнение получилось наиболее простым по форме.

Следовательно, для того, чтобы построить эпюру моментов в основной системе от действия системы внешних сил и от Z_i = 1 (i = 1, 2,..., n), необходимо предварительно определить эпюру мо­ментов в однопролетных статически неопределенных стержнях (входящих в состав основной системы, за исключением дополни­тельных элементов). Откуда следует, что в общем случае для реали­зации метода перемещений необходимо предварительно рассмот­реть решение задачи об определении эпюр внутренних усилий в однопролетных статически неопределимых стержнях при кинема­тическом (линейном и угловом перемещении концевых сечений) и внешнем силовом и температурном нагружении.

Проверкой правильности расчета рамы методом перемещений служат равенство нулю суммы моментов, передающихся на каждый узел с примыкающих к нему стержней, а также иные условия равновесия рамы.

Заметим, что в методе сил эти условия выполняются в каждой единичной эпюре и поэтому не обеспечивают проверку решения канонических уравнений.

8.4. Стандартные задачи метода перемещений в расчетах на прочность

В п. 8.2 было отмечено, что основная система метода перемещений представляет собой совокупность стандартных стержней (см. рис. 8.7), которые на различного рода воздействия могут быть рассчитаны любым, известным читателю, методом, в частности, методом сил.

В первую очередь рассмотрим кинематическое воздействие на стандартные стержни – повороты угловых и смещения линейных связей. Рассмотрим решение одной из таких задач методом сил.

В стержне с постоянной изгибной жесткостью поперечного сечения (EJ = const) левая линейная связь получила вертикальное перемещение вверх на величину, равную Δ (рис. 8.12,а).

Используем основную систему метода сил, показанную на рис. 8.12,б. Усилие в лишней связи X₁ определим из условия:

δ₁₁X₁ + Δ_1C = 0.                                                                        (8.7)

 (рис. 8.12,в);

 (рис. 8.12,в).

Решив уравнение 8.7, получим:

где   – погонная жесткость стержня.

Окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 8.12,г) получим, используя соотношение

М = M₁ X₁.

Если смещение правой и левой вертикальных связей происходит так, как показано на рис. 8.12,д, то вид эпюры изгибающих моментов от этих кинематических воздействий остается прежним (рис. 8.12,г).

Результаты расчета стандартных стержней на другие кинематические воздействия в окончательном виде приведены на рис. 8.13.

Вторая, более многочисленная, группа задач представлена расчетом стержней на различного рода силовые воздействия. Эпюры изгибающих моментов и реакции опорных связей стандартных стержней для некоторых видов нагрузок приведены в таблицах 8.1, 8.2, 8.3.

                                                                                                                                                              Таблица 8.1

                                                                                                       Таблица 8.2

                                                                                                             Таблица 8.3