Расчет статически неопределимых систем методом перемещений на силовое воздействие

Часть 8. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений на силовое воздействие

8.1. Степень кинематической неопределимости сооружения

Расчет статически неопределимых систем методом сил на различные воздействия сводится к определению усилий в лишних связях из системы канонических уравнений этого метода. Вычисление внутренних усилий в различных элементах сооружения и построение их эпюр в методе сил производится в основной системе, как правило, статически определимой, испытывающей заданные воздействия и воздействия усилий в лишних связях. Таким образом, выявление напряженно-деформированного состояния сооружений в расчетах методом сил начинается с получения картины распределения внутренних усилий и завершается вычислением перемещений отдельных узлов и сечений сооружения.

Возможен принципиально иной подход к расчету сооружений, когда выявление их напряженно-деформированных состояний начинается с определения перемещений от заданных воздействий и завершается построением эпюр внутренних усилий. Такой подход в расчетах сооружений реализуется в методе перемещений.

В методе перемещений сохраняются допущения, ранее принятые при расчете сооружений методом сил, а именно: материал, из которого изготовлены элементы сооружений, подчиняется закону Гука; перемещения отдельных сечений и узлов сооружений малы по сравнению с их геометрическими размерами. C учетом сформулированных допущений сооружения можно рассматривать как линейно-деформируемые системы, для которых справедлив принцип независимости действия сил и вытекающий из него принцип пропорциональности.

Известно, что для определения изгибающего момента в произ­вольном сечении заданного стержня необходимо знать величины поворотов в концевых сечениях и относительные линейные смеще­ния концов стержня друг относительно друга.

При расчете статически неопределимой системы методом пере­мещений первоначально необходимо установить общее число неиз­вестных перемещений, подлежащих определению для адекватного вычисления величин внутренних усилий.

За неизвестные в методе перемещений принимаются перемещения узлов от заданных воздействий: линейные перемещения шарнирных и жестких узлов Z₁ и Z₂ и повороты жестких узлов Z₃ (рис. 8.1,а,б). Суммарное количество неизвестных угловых (n_θ) и линейных (n_Δ) перемещений узлов называется степенью кинематической неопределимости сооружения.

n_kin = n_θ + n_Δ.                                  (8.1)

Число неизвестных угловых перемещений n_θ равно количеству жестких узлов сооружения. Жестким считается узел, в котором кон­цы, по крайней мере, двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой (например, узлы 1, 2, 3, на рис.8.2, а).

Рис.8.2

Для сооружений, в которых перемещения от внешних воздействий обусловлены преимущественно изгибными деформациями, при определении числа независимых линейных перемещений узлов вводятся дополнительные допущения:

1. Элементы сооружений считаются нерастяжимыми и несжимаемыми, т.е. пренебрегают изменением их длин под действием продольных сил.

2. Предполагается, что длины хорд искривленных стержней равны их первоначальным длинам, т.е. А′В′ = АВ (рис. 8.3).

Считая сформулированные допущения справедливыми, число независимых линейных перемещений узлов сооружения n_Δ можно определить по его шарнирной схеме, полученной из заданного сооружения введением во все жесткие узлы, включая и опорные, врезанных цилиндрических шарниров (рис.8.2, б и рис.8.4, б). Число неизвестных линейных сме­щений узлов системы равно числу стержней, которые необходимо ввести в шарнирную схему, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую систему. Следовательно, число независимых линей­ных смещений узлов равно степени геометрической изменяемости шарнирной системы, полученной из заданной, путем введения во все жесткие узлы, включая и опорные, полных шарниров.

На основании о пренебрежении продольными деформациями элементов, для плоской рамы (рис.8.1, а), линейные смещения узлов отсутствуют. При этом, шарнирная схема (рис.8.2, б) является геометрически неизменяемой.

Рис.8.4

Рамы, шарнир­ные схемы которых являются геометри­чески неизменяемы­ми, относятся к ка­тегории, так называ­емых, закрепленных или несвободных. Для таких рам число неизвестных перемещений легко определяется и оно всегда равно числу жестких узлов: n = n_θ . В нашем примере n_kin = 3.

В качестве другого примера, рассмотрим раму, изображенную на рис.8.4, a, число жестких узлов которого равно 2. Следова­тельно, n_θ  = 2.

Шарнирная схема рамы один раз геометрически изменяемая, так как для превращения ее в геометрически неизменяемую необ­ходимо ввести 1 стержень, например, так, как это показано на рис.8.4, б. Итак, число линейных неизвестных перемещений n_Δ= 1. Общее число неизвестных перемещений в рассматриваемой системе, изображенной на рис.8.4, a, равно n_kin  = 2 + 1 = 3.

Степень свободы полученной таким образом шарнирной схемы будет равна числу независимых линейных перемещений узлов заданной системы. Для подсчета количества степеней свободы плоской шарнирной схемы Wиспользуют формулу:

W = 2Y − C − C_o,                                                                                              (8.2)

где    Y – число узлов;   C – число стержней,  соединяющих узлы;

C_o – число опорных связей.

Пример 8.1.

Определить степень кинематической неопределимости рам, показанных на рисунке 8.5.

Рис. 8.5,а: n_θ = 5, так как рама имеет пять жестких узлов (А, B, C, D, E); n_Δ = W = 2Y − C − C_o = 2 · 6 − 7 − 2 = 3 (узлы шарнирной схемы 1 – 6; стержни, соединяющие эти узлы: 12, 23, 45, 56, 14, 25, 36; опорные связи 44′, 66′);  n_kin = n_θ +n_Δ = 5 + 3 = 8.

Рис. 8.5,б: n_θ = 2 (узлы А и В); n_Δ = W = 2 · 2 − 1 − 3 = 0 (узлы шарнирной схемы 1 и 2; стержень, соединяющий эти узлы 12, опорные связи 11′, 22′, 22′′); n_kin = 2 + 0 = 2.

Рис. 8.5,в: n_θ = 3 (узлы А, В, С); n_Δ = W = 2 · 7 − 6 − 6 = 2 (узлы шарнирной схемы 1 – 7; стержни, соединяющие эти узлы 12, 23, 34, 45, 56, 67; опорные связи 11′, 22′, 33′, 55′, 66′, 77′); n_kin = = 3 + 2 = 5.

Рис. 8.5

8.2. Основная система метода перемещений

Основная система метода перемещений (ОСМП) образуется наложением на узлы сооружения связей, препятствующим их угловым и линейным перемещениям (рис.8.6). Если число наложенных на узлы угловых и линейных связей совпадает со степенью кинематической неопределимости сооружения, то в основной системе метода перемещений все узлы будут неподвижными.

Рис.8.6

Получаемая в результате система, называется основной сис­темой метода перемещений. Например, для расчета задан­ной системы, изображенной на рис.8.6, a по методу перемещений основная система будет иметь вид, представлен­ный на рис.8.6, б. При этом n_kin = n_θ + n_Δ  = 6 + 2 = 8.

Наложение связей повышает степень статической неопределимости сооружения, т.е. с позиций метода сил усложняет его расчет. Однако такой способ выбора основной системы позволяет представить любую, в частности плоскую стержневую систему, в виде набора стандартных стержней трех типов (рис. 8.7). На любое воздействие (силовое, температурное, кинематическое) каждый из этих произвольно ориентированных на плоскости стержней может быть рассчитан, например, методом сил.

Далее будет показано, что используя результаты расчета стержней, т.е. имея набор стандартных задач и используя основную систему метода перемещений, мы сможем определить угловые и линейные перемещения узлов сооружения от заданного воздействия (см. п.п. 8.3–8.6 настоящей лекции).

При выборе основной системы метода перемещений угловые связи накладываются на узлы сооружения и препятствуют только их поворотам. Такие связи называются «плавающими» заделками. Линейные связи, число которых определяется по формуле 8.2, на узлы накладываются так, чтобы шарнирная схема заданного сооружения была геометрически неизменяемой.

Пример 8.2. Для рам, показанных на рис. 8.5, выбрать основные системы метода перемещений.

Рис. 8.8

Рис. 8.5,а (n_θ = 5, n_Δ = 3). Угловые связи 1–5 накладываются на жесткие узлы A, B, C, D, E (рис. 8.8). Наложение линейных связей 6–8 на узлы может быть произведено различными способами. На рис. 8.8 показано два варианта размещения линейных связей 6–8. Предлагается выполнить кинематический анализ шарнирной схемы рамы, для каждого из вариантов основной системы метода перемещений и убедиться в правильности размещения линейных связей, т.е. в геометрической неизменяемости шарнирной схемы рамы.

Рис. 8.5,б (n_θ = 2, n_Δ = 0). Так как для этой рамы n_Δ = 0 (см. пример 8.1), при выборе основной системы метода перемещений накладываются только угловые связи 1 и 2, препятствующие поворотам узлов А и В (рис. 8.9). Шарнирная схема этой рамы геометрически неизменяема, т.е. не требует наложения дополнительных линейных связей на узлы.

Рис. 8.5,в (n_θ = 3, n_Δ = 2). Угловые связи 1 и 2 накладываются на жесткие узлы А, В, С.

На рис. 8.10 показаны два варианта наложений на узлы рамы линейных связей 4 и 5. С учетом симметрии рамы предпочтение следует отдать симметричному варианту размещения линейных связей. В двадцать первой лекции будет показано, что использование симметричных основных систем метода перемещений так же, как и метода сил, существенно упрощает расчет сооружений.

Рис. 8.10

8.3. Система канонических уравнений метода перемещений

Плоская стержневая система с известной топологией и геометрическими размерами испытывает произвольное силовое воздействие (рис. 8.11,а). Изгибную жесткость поперечного сечения стержней, расположенных между узлами сооружения, будем считать постоянной (EJ_k = const).

Поскольку в задан­ной системе имеют мес­то и повороты, и линей­ные смещения узлов, то основной системе надо придать такие же повороты и смещения, при этом добиваясь ра­венства нулю реакций во всех введенных связях, сопротивляющих­ся этим поворотам и смещениям. Тогда можно утверждать, что заданная и основная система в нагруженном состоянии являются эквивалентными.