Изгиб и кручение тонкостенных стержней, страница 14

              Рис. 19.13

В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль является составным (рис. 19.13) и не может быть развернут в вытянутый пря­моугольник, воспользовавшись почленной аналогией, легко опре­делить выражения напряжений наiом произвольном участке:

,                                                                                     (19.27)

где M_к(i)  доля крутящего момента, соответствующего iму участку:

,

где   угловое перемещение, единое для всех участков:

.                                                                                           (19.28)

Изложенный подход к определению напряжений является при­ближенным, так как он не позволяет определить напряжения в зонах сопряжения элементов поперечного сечения профиля, кото­рые являются зонами концентрации напряжений.

Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля

Наиболее целесообразными при кручении являются тонкостенные стержни замкнутого профиля. Геометрическое место точек, равноотстоящих от внешнего и внутреннего контуров поперечного сечения, называется средней линией сечения (рис.19.14).

Наибольшее касательное напряжение в поперечном сечении стержня определяется по формуле

где А_ср – площадь сплошного сечения, ограниченного средней линией сечения; t_min – минимальная толщина стенки в сечении; Т – внутренний крутящий момент в сечении.

Формула

позволяет вычислить угол закручивания   стержня длиной l. Интегрирование производится по длине s контура сечения.

Если тонкостенный стержень имеет постоянную толщину стенки t, тогда формула   принимает вид

где S – длина контура сечения, отсчитываемая вдоль средней линии сечения.

Пример 1.

Определить наибольшее касательное напряжение и угол закручивания стержня с трубчатым прямоугольным поперечным сечением, если внешний крутящий момент М = 2 кНм, длина стержня l = 1 м (рис.19.15, а), а модуль сдвига материала стержня G = 8  МПа.

Решение.

По рис. 19.15, б находим А_ср = 4  = 24 см², t_min = 1 см. Формула   дает

Угол закручивания   в сечении, где приложен внешний крутящий момент М, определяем по формуле  :

Пример 2.

Определить наибольшее касательное напряжение и угол закручивания   трубчатого сечения (рис. 19.16), если внешний крутящий момент М = 2 кНм действует на участке длиной l = 1 м, а модуль сдвига материала трубчатого стержня G = 8  МПа.

Решение.

По рис. 19.14 находим t_min = 0,5 см,  А_ср = 6 = 21 см², тогда формула   дает

 Максимальное касательное напряжение будет в середине длинной стороны (точка С) поперечного сечения, имеющей минимальную толщину  t_min = 0,5 см.

По формуле   определяем угол закручивания сечения на длине стержня в 1 м:

Пример 3.

Определить наибольшее касательное напряжение и угол закручивания участка стержня кольцевого трубчатого сечения, показанного на рис.19.17, если внутренний крутящий момент Т = 0,2 кНм действует на участке стержня длиной l = 1 м, модуль сдвига материала стержня G = 8  МПа, а d = 2 см, D =3 см.

Задачу решить двумя способами:

1) поперечное сечение рассматривать как тонкостенный замкнутый профиль и определить максимальное касательное напряжение  и угол закручивания   в пределах участка длиной 1 м;

2) поперечное сечение рассматривать как кольцевое поперечное сечение и определить угол закручивания   и касательное напряжение   в точке С сечения, используя формулы   и  .

Ответ:  = 0,041 рад;      = 40,76 МПа;  

                 = 0,039 рад;    = 39,2 МПа

Пример 4.

Пусть задан тонкостенный стержень (рис. 19.18, а) при действии самоуравновешивающих крутящих моментов на двух противопо­ложных концах.

Требуется:

1. Определить выражения максимальных напряжений и углов закручивания в случаях, когда стержень имеет открытый (рис. 19.18, б) и замкнутый (рис. 19.18, в) профиль;

2. Сопоставить вычисленные значения напряжений и углов за­кручивания для двух различных профилей тонкостенного стержня.

                                                   Рис. 19.18

Решение.

1. Определение выражения максимальных напряже­ний и углов закручивания в случаях, когда стержень имеет открытый и замкнутый профиль. Для стержня с открытым профилем (рис.19.18, б), согласно (19.26), получим:

;      .

Для стержня замкнутого профиля (рис.19.18, в), имеем:

;     .

2. Сопоставить вычисленные значения напряжений и углов за­кручивания для двух различных профилей тонкостенного стержня. Для наглядности составим отношения выражений напряжений и углов закручивания, т.е.:

;        .

Откуда следует, что отношение напряжений имеет величину порядка  , а отношение углов закручивания  порядка  . Так как для тонкостенных стержней  , следовательно, стер­жень с замкнутым профилем является существенно более прочным и жестким, нежели стержень с открытым профилем при идентич­ных исходных данных.

Заметим, что этот вывод является общим для тонкостенных стержней независимо от формы сечений.