Изгиб и кручение тонкостенных стержней, страница 10

Таблица 19.5. Формулы для вычисления координат центра изгиба и секториальных

моментов инерции некоторых металлических профилей

 Примечания:  - центр изгиба профиля;  ,  ,  - центры изгиба отдельных элементов профиля; 1, 2, 3 – номера элементов, составляющих профиль;  ,   - осевые моменты инерции всего сечения относительно указанных на чертеже осей;  ,  ,  ,  ,  ,  - осевые моменты инерции отдельных элементов профиля относительно указанных на чертеже осей: первый индекс – номер элемента, второй – ось;  ,  ,   - секториальные моменты инерции отдельных элементов относительно собственных центров изгиба. 

Общий случай нагружения тонкостенного стержня. Бимомент

В общем случае нагружения осевые перемещения сечения тон­костенного бруса можно представить в виде следующего выраже­ния:

,                                                                                                        (19.8)

где  ,   и   характеризуют: смещение по продольной оси z; поворот сечения как жесткого целого относительно координатных осей x и y;    удельный угол закручивания относительно продоль­ной оси z,    эпюра главной секториальной площади.

Нормальные напряжения в сечении, согласно закону Гука, в данном случае определяются согласно выражения:

.                                                            (19.9)

С учетом последнего выражения, формулы по определению внутренних силовых факторов от нормальных напряжений  , при­мут вид:

                                                  (19.10)

Здесь через   обозначена новая силовая характеристика, назы­ваемая бимоментом, размерность которой будет кНм².

В результате совместного рассмотрения (19.9) и (19.10) выражение нормальных напряжений можно представить в следующем виде:

.                                                              (19.11)

Первые три слагаемых уже известные нам величины нормаль­ных напряжений из курса «Сопротивления материалов», являются результатом действия продольной силы и изгибающих моментов. Что же касается четвертого слагаемого, то оно характеризует изме­нения, вносимые в линейные законы распределения напряжений, депланацией сечения, силовой мерой которой является бимомент.

Заметим, что бимомент является самоуравновешенным фак­тором и по методу сечений не может быть определен. Следова­тельно, задача в общем случае нагружения тонкостенного стержня является статически неопре­делимой. Например, если на­грузить стержень двутаврово­го сечения четырьмя равны­ми силами Р (рис.19.5), бимо­мент в торцевом сечении бу­дет равен:

,                                                                                                       (19.12)

где    значение секториаль­ной площади для точки при­ложения силы P_i, т.е.:

.

                                         Рис. 19.5

В этом случае, очевидно, что и продольная сила N, и изгиба­ющие моменты M_x , M_y  равны нулю.

Касательные напряжения в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения слагаются из касательных напряжений поперечного изгиба, простого (свободного) кручения, и наконец, из вторичных касательных напряжений, возникающих за счет стесненного кручения:

.                                                                                                           (19.13)

Следовательно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях тонкостенного стержня возникают следующие внутренние усилия: Q_x, Q_y поперечные силы, от касательных напряжений  ,  ; M_x, M_y изгибающие моменты, от нормальных напряжений  ; M_z  кру­тящий момент свободного кручения от касательных напряжений  ;    бимомент от действующих нормальных напряжений  , вследствии изгиба элементов тонкостенного стержня;    изгиб­но крутящий момент от дополнительных касательных напря­жений  .

Формулы для вычисления перечисленных факторов даны в таблице 19.6, где приняты следующие обозначения: u, v  перемещения линий центров изгиба сечений в направлении координатных осей x и y;   соответственно, статические моменты относитель­но координатных осей и секториально статический момент отсе­ченной части сечения, расположенной по одну сторону от расчет­ной точки.