Случайные стр.309-354 (Раздаточные материалы)

Глава 11

ИЗМЕРЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

11.1. Общие сведения

В радиотехнике большую роль играют случайные процессы: напряжение собственных шумов радиотехнической аппаратуры, сигналы других радиосистем, шумовые сигналы и т.д. Изучение радиотехнических случайных процессов требует применения ста­тистических методов анализа. При статистическом подходе нет не­обходимости определять точный результат отдельного измерения, а можно основываться на исследовании множества таких измерений. В этом случае удается найти закономерности и количественные со­отношения, характеризующие случайный процесс в среднем. Если повторять измерения в течение длительного времени, численные значения измеренной величины будут иные, т.е. они также явля­ются случайными величинами.

Случайным прогрессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = t₀ яв­ляется случайной величиной X(t₀). Конкретный вид процесса, по­лученный в результате опыта, называется реализацией. При про­ведении серии измерений можно получить группу или семейство реализаций случайной функции, называемую ансамблем реализа­ций (рис. 11.1). Ансамбль реализаций случайного процесса явля­ется основным экспериментальным материалом, на основе кото­рого можно получить его характеристики и параметры.

Конкретные реализации, наблюдаемые при исследованиях, представляют собой физические процессы и входят в ансамбль как его неотъемлемая часть. Например, ансамблем реализаций случайного процесса является группа сигналов, наблюдаемых одновременно на выходах идентичных генераторов шумового напряжения.

Вероятностные характеристики случайных процессов

Пусть случайный процесс описан некоторой обобщенной случайной функцией X(t). Конкретный вид x₁(t), x₂(t),..., xt(t\... этой функции процесса, полученной в результате проведенного эксперимента (например, измерения), позволяет определить все ее параметры. Поэтому каждая реализация является неслучайной функцией времени. При фиксированном значении аргумента t случайная функция X(t) превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминиро­ванной функцией. Выберем некоторый момент времени t₁. Со­вокупность отдельных мгновенных значений всех реализаций ансамбля в заданный момент времени t₁ также будет некоторой случайной величиной Х(t₁), называемой сечением случайного про­цесса. Эта случайная величина может иметь любые заранее неиз­вестные значения в возможном интервале ее изменения.

Наиболее полно случайные процессы описывают законами распределения: одномерным, двумерным и т.д. Однако опериро­вать с такими функциями очень сложно, поэтому стараются обойтись характеристиками и параметрами этих законов, кото­рые описывают случайные процессы не полностью, а частично.

Важной характеристикой случайной величины X(t₁) является интегральная функция распределения F(x). Эту функцию опреде­ляют как вероятность того, что все значения случайной величины X(t₁) не превышают некоторого заданного уровня переменной х:

F(x)=P[X(t₁)<x], (11.1)

где Р — символ, характеризующий вероятность события.

Интегральную функцию распределения определяют на интер­вале О <F(x) < 1.

Если случайная величина X(t₁) является непрерывной во времени, то удобнее пользоваться производной функции распре­деления — одномерной плотностью распределения вероятности

P(x,t₁) = dF/dx (11.2)

Зададим какой-либо интервал а, b изменения параметра х случайной величины X(t₁) (см. рис. 11.1). Тогда из формулы (11.2) следует, что значение

p(x,t₁)dx = F(b) – F(a) = P[a<X(t₁)<b] (11.3)

есть вероятность попадания случайной величины X(t₁) в заданный интервал а, b.

Пусть параметр а —> - оо, а параметр b принимает текущее значение переменной х. Тогда интегральная функция распределе­ния случайного процесса

Числовые характеристики случайных процессов

Случайные процессы наиболее полно описывают законами распределения плотности вероятности: одномерным, двумерным и т.д. Однако оперировать с такими функциями зачастую сложно, поэтому в практической метрологии стараются обойтись характе­ристиками и параметрами этих законов, которые описывают слу­чайные процессы не полностью, а частично. К важнейшим из них относятся математическое ожидание и дисперсия.

Измерение параметров и характеристик случайного процесса существенно упрощается при его стационарности и эргодичности.

Стационарными называют случайные процессы, статистиче­ские характеристики которых не изменяются во времени. Свой­ства стационарных процессов характеризуют следующими условиями: математическое ожидание стационарного случайного процесса постоянно, т.е. m_x(t) = т_х = const; для стационарного случайного процесса дисперсия по сечениям является постоян­ной величиной: D_x(t) = D_x = const.

Практически все реальные радиотехнические случайные процессы относятся к стационарным. Подавляющее большинство стационарных случайных процессов обладают свойством эрго­дичности, при котором усреднение по ансамблю реализаций можно заменить усреднением по времени одной реализации в пределах бесконечно длинного интервала Т_х. Конечно понятие «бесконечно длинного интервала» здесь достаточно условно.

Определим основные числовые характеристики стационар­ного эргодического случайного процесса.

Математическое ожидание (среднее значение) случайного процесса вычисляют путем усреднения (эта операция обозначена чертой над функцией) значений заданной реализации (жирная ли­ния, представлена как т на рис. 11.1)

Дисперсия случайного процесса

определяет мощность его флюктуации.

Параметр называют средним квадратическим от­клонением (СКО).

На практике вместо среднего значения, дисперсии и СКО ре­зультата измерений случайного процесса находят их оценки, обо­значая соответственно как

Различают две группы статистических характеристик, содер­жащих информацию о случайном процессе: распределение его значений во времени (математическое ожидание, дисперсия, функ­ция распределения, функция корреляции); распределение энергии процесса по частоте (спектральная плотность).

11.2. Измерение математического ожидания и дисперсии

Оценка математического ожидания. Усредняющее устрой­ство, выполняющее функции согласно формуле (11.5), является идеальным интегратором. Если функция X(t) представляет ток или напряжение, то в роли аналогового интегратора могут выступать ин­тегрирующие RС-цепочки или ин­тегрирующее устройство, постро­енное на основе операционного усилителя ОУ, охваченного глубо­кой отрицательной обратной свя­зью (рис. 11.2).

С помощью ключа Кл задают время интегрирования (опроса) входного сигнала T_оп = Т_х. При t = 0 ключ размыкается и находится в этом положении до мо­мента t = T_оп, после чего замыкается. За время Т_оп осуществ­ляют усреднение входного сигнала u_вх (t). Через замкнутый ключ и ОУ конденсатор разряжается практически мгновенно. Для получения оценки среднего значения исследуемого на­пряжения u(t) необходимо измерить выходное напряжение U_вых(T_оп) на интервале времени Т_оп. Среднее значение входного напряжения (формула приведена без вывода)

где К— коэффициент усиления усилителя, входящего в схему.

Оценка дисперсии. Для оценки дисперсии в соответствии с (11.6) можно использовать вольтметр, имеющий квадратичный преобразователь, т.е. определять среднее квадратическое значе­ние. Вольтметр должен иметь «закрытый вход», т.е. не пропус­кать постоянную составляющую для получения центрированной величины.

Цифровые измерители математического ожидания и дисперсии

При измерении оценок математического ожидания и диспер­сии цифровыми приборами интегралы в формулах (11.5) и (11.6) заменяют суммами:

Здесь T_изм — заданный интервал времени измерения; п = T_изм/T_on — общее количество выборок за время измерения.

Структурная схема цифрового измерителя математического ожидания и временные диаграммы, поясняющие его работу, пред­ставлены на рис. 11.3.

Режим функционирования прибора задается тактовым гене­ратором ТГ, который управляет работой генератора линейно-изменяющегося напряжения ГЛИН (рис. 11.3, а). Генератор вхо­дит в состав схемы время импульсного АЦП. На временных диаграммах (рис. 11.3, б) показаны сигналы, действующие в схеме из­мерителя. Отметим, что здесь и далее в качестве исследуемой ве­личины х(t) рассматривается напряжение U(t). Управление схемой осуществляет генератор счетных импульсов ГСИ. Напряжение U_гси (импульсы, следуют с частотой f= 1/T₀) одновременно поступает на один из входов схемы И и делитель частоты ДЧ. Коэффициент деления k_д выбирают кратным десяти: k_д = 10^β, где β — целое чис­ло. Полученный в результате интервал опроса T_оп = k_д*T₀ = 10^βT₀.

Импульсы управления U_TГ (опорные импульсы), поступаю­щие с периодом повторения T_оп с тактового генератора, командой Пуск запускают генератор линейно изменяющегося напряжения, сигнал u_л(t) которого сравнивают с исследуемым входным сигна­лом u(t) в компараторе К1. Одновременно с началом работы ГЛИН другой компаратор К2 подает разрешающий сигнал на вход триггера Т, и на обоих входах схемы И появляются сигналы, в результате чего от начала команды Пуск импульсы ГСИ попа­дают на счетчик С. Процесс подсчета импульсов ГСИ прекратит­ся, когда с компаратора К1 поступит сигнал, опрокидывающий триггер Т. Это произойдет в момент сравнения напряжения u_л(t), вырабатываемого ГЛИН, с входным напряжением u_i. После окон­чания времени цикла T_оп, с приходом следующего опорного им­пульса u_тг, снова произойдет запуск ГЛИН и в счетчик будут за­писываться данные следующего цикла и т.д.

Если количество циклов измерений n, то с учетом, что q_i = С*u_i (q_i — число импульсов за время опроса, С — константа, коэффи­циент пропорциональности; u_i — значение входного напряжения в момент сравнения), общее количество импульсов, записанное счетчиком за время измерения T_изм, будет

Среднее значение (оценка) исследуемого напряжения