Глава 19 -Конвективный теплообмен и основы теории подобия (Головинцов А.Г., Юдаев Б.Н., Федотов Е.И. - Техническая термодинамика и теплопередача 1970)

Глава XIX. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН И ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

§ 90. Общие понятия и основы теории подобия

Конвективным теплообменом или теплоотдачей называют про­цесс теплообмена, который осуществляется между какой-либо твердой поверхностью и омывающей ее жидкостью или газом.

Научают и рассчитывают конвективный теплообмен на основе

закона Ньютона:

где t_f — t_w — разность температур жидкости и стенки; α — коэффициент теплоотдачи.

Значение α зависит от термодинамического состояния и физи­ческих свойств среды, омывающей поверхность (от ее темпера­туры, вязкости, теплопроводности и т. д.); от скорости и режима движения среды (ламинарного или турбулентного); от формы и размеров поверхности теплообмена и др.

Исследовать опытным путем влияние каждого из этих факто­ров на значение коэффициента теплоотдачи α не представляется возможным, так как изменение одного из них неизбежно повлечет за собой изменение, других. Например, если изменить темпера­туру среды, неизбежно изменятся ее плотность, вязкость, тепло­проводность, при этом может также измениться режим движения жидкости. В силу этого полученное опытным путем значение коэффициента теплоотдачи α было бы справедливо только в тех условиях, в которых был проведен опыт. Для теоретического исследования зависимости коэффициента теплоотдачи от упомяну­тых выше факторов для каждого явления пришлось бы решать систему дифференциальных уравнений конвективного теплооб­мена (дифференциальные уравнения движения, энергии, сплош­ности, теплообмена) совместно с условиями однозначности. Однако решение такой системы дифференциальных уравнений связано с математическими трудностями.

Результаты же отдельных экспериментов не позволяют рас­пространять их на другие явления. На помощь приходит теория

235

подобия, которая дает возможность результаты единичного опыта распространить на целую группу «подобных» явлений.

Теория подобия состоит из трех основных теорем. Первая тео­рема подобия гласит: у подобных явлений значения одноименных критериев подобия одинаковы, индикаторы подобия равны еди­нице. Для получения критериев подобия дифференциальные уравнения, описывающие процесс, должны быть подвергнуты преобразованию подобия, которое заключается в следующем.

Если имеются две подобные системы, то для каждой из них можно написать

Возьмем отношения

Рассмотрим уравнение энергии конвективного теплообмена для стационарного одномерного случая

которые служат константами подобия.

Выразим переменные величины уравнения (335) через кон­станты подобия и переменные величины первой системы:

Из сравнения выражения (336) с уравнением (335) видно, что комплекс, составленный из констант подобия, должен быть равен единице.

Такие комплексы, составленные из констант подобия, назы­вают индикаторами подобия:

Заменим в уравнении (336) константы подобия переменными величинами, тогда

Полученный комплекс безразмерен и носит название критерия подобия Пекле. Аналогично с помощью других дифференциальных уравнений, описывающих данное явление, могут быть получены необходимые критерии подобия.

Критерии подобия могут быть составлены из величин, входя­щих в условия однозначности, тогда они носят название опреде­ляющих, или содержать искомую величину, тогда критерий яв­ляется определяемым.

Вторая теорема подобия говорит о том, что математическое описание изучаемого явления должно быть представлено в виде критериального уравнения, т. е. функциональной зависимости между определяемым критерием и определяющими константами. Значение второй теоремы подобия заключается в том, что она ука­зывает, как должны быть обработаны результаты исследований изучаемого явления. При обработке результатов эксперимента в виде критериального уравнения последним можно пользоваться для всех подобных явлений. Какие явления подобны? На этот вопрос отвечает третья теорема подобия: подобными следует считать такие явления, для которых математическое описание сов­падает и одноименные определяющие критерии подобия численно равны.

Значение третьей теоремы подобия заключается в том, что она дает возможность выделить группу явлений, на которую можно распространять данные единичных опытов, представленные в виде критериальных уравнений.

Наиболее часто мы будем встречаться со следующими крите­риями:

Критерий теплоотдачи (Нуссельта)

Критерий Нуссельта является определяемым критерием и ха­рактеризует интенсивность теплообмена на границе жидкость — стенка.

Критерий динамического подобия (Рейнольдса) Re=wl₀/v

характеризующий соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке жидкости.,

Критерий Грасгофа Gr=gl³₀t/v², характеризующий взаимо­действие подъемных сил и сил вязкости. Критерий Прандтля Рг= v/a, характеризующий физические свойства жидкости.

Произведение критериев Re*Рг = Ре носит название крите-рия Пекле.

Критерии Re, Gr, Рг, Ре являются определяющими. В этих формулах: w — скорость;

α — коэффициент теплоотдачи; v — кинематическая вязкость; а — коэффициент температуропроводности;

237

 = 1/T коэффициент объемного расширения;

l₀ — размер, которым определяется развитие

процесса.

При обтекании трубы, например, за определяющий размер берут диаметр трубы, при обтекании плиты — ее длину в направ­лении движения.

В общем случае конвективного теплообмена критериальное уравнение имеет вид

При обработке опытных данных по теплообмену очень важным является усреднение зависящих от температуры физических пара­метров или выбор так называемой определяющей температуры, по которой находят их значения. Определяющую температуру можно выбирать различно в зависимости от условий поставленной задачи. В некоторых случаях определяющей температурой служит сред­няя температура жидкости t_f, которую находят по зависимости

' _и " — рассматриваемые сечения потока. В некоторых случаях в качестве определяющей температуры принимают среднюю температуру стенки t_w или среднеарифметическую температуру t_m = (t_w + t_f) / 2

Обычно в критериальных уравнениях указывается, какая тем­пература была принята определяющей, для этого используются подстрочные индексы.

Например, Nu_m означает, что при определении величин, вхо­дящих в критерий Нуссельта, за определяющую температуру была принята средняя температура t_m. Критериям Nu_f и Nu_w соответствуют определяющие температуры t_t и t_w.

§ 91. Теплоотдача при свободном движении жидкости

Движение среды, омывающей твердую поверхность, если оно вызвано разностью плотностей нагретых и холодных частиц, называют свободным.

239

Таким образом, для возникновения - свободного движения жид­кости необходима разность температур.

Различают процессы теплообмена протекающие в большом по сравнению с размерами тела «неограниченном» пространстве, и процессы теплообмена, протекающие в ограниченном простран­стве.

Теплоотдача в неограниченном пространстве. Исследование уравнений, описывающих свободную конвекцию на основе теории подобия, показывает, что определяющими критериями являются в этом случае Gr и Рг. Определяемым критерием служит критерий

Нуссельта Nu.

Акад. М. А. Михеевым для теплоотдачи в неограниченном про­странстве получено критериальное уравнение Nu_m = С (Рг • Gr)ⁿ_m Значения коэффициента С и показателя п зависят от численного значения комплекса Gr*Рr (табл. 3) и не зависят от формы тела.

На рис. 149 показано изменение коэффициента теплоотдачи при сво­бодном движении воздуха по высоте трубы. По направлению движения жидкости толщина ламинарного по­граничного слоя растет. Процесс теплообмена в пограничном слое осу­ществляется главным образом вслед­ствие явления теплопроводности, поэтому значение коэффициента теплоотдачи а уменьшается с увели­чением толщины слоя. Минимальное значение а соответствует точке перехода ламинарного (струйчатого) ре­жима в турбулентный (вихреобразный), после чего теплоотдача растет. В развитии свободного движения форма тела не имеет особого значе­ния. Большое значение имеют протяженность

Рис. 149. Изменение коэффициента тепло­отдачи по высоте трубы при свободном движении воздуха

поверхности, вдоль которой движение, и ее положение.

Около нагретых горизонтальных плоских плит движение жидко­сти имеет иной характер и в сильной мере зависит от положения

плиты и ее размеров (рис. 150). Если нагретая поверхность обра­щена кверху, то движение протекает по схеме рис. 150, а. При этом если плита имеет большие размеры, то вследствие наличия с краев сплошного потока нагретой жидкости центральная часть плиты оказывается изолированной и движение внутри происходит лишь в результате опускания холодной жидкости сверху по схеме рис. 150, б. Если же нагретая поверхность обращена вниз (рис. 150, в), то движение происходит лишь в тонком слое под

поверхностью, остальная же масса жидкости ниже этого слоя остается неподвижной.

Теплоотдача в ограниченном пространстве. В этом случае ха­рактер свободного движения в значительной мере зависит от формы замкнутого пространства и от взаимного расположения теплоот-дающей и тепловоспринимающей поверхностей (рис 151). Для вертикальных щелей характер свободного движения определяется шириной  щели, для горизонтальных щелей — расположением теплоотдающей поверхности с температурой t_w. Как видно из рис. 151, г при расположении теплоотдающей поверхности сверху конвективные токи отсутствуют.