Глава 18 ЧАСТЬ II ТЕПЛОПЕРЕДАЧА -Теплопроводность (Головинцов А.Г., Юдаев Б.Н., Федотов Е.И. - Техническая термодинамика и теплопередача 1970), страница 2

223

Из уравнения (325) видно, что закон распределения темпера­тур в стенке следует закону прямой линии.

Для определения постоянных интегрирования С₁ и С₂ восполь­зуемся граничными условиями первого ряда, т. е. зададимся за­коном распределения температур на поверхности тела для любого момента времени:

где t_w1 —температура более нагретой поверхности стенки в ° С; t_w2 — температура более холодной поверхности стенки в ° С.

Тогда из уравнения (325) при х = О получим t_w1 = С₂; при х = 6 соответст­венно C₁ = (t_w2 - t_w1)/

Подставляя значения С₁ и С₂ в урав­нение (325), получим

Определим изменение температуры в каждом слое:

Уравнение (326) есть окончательное решение задачи, так как описываемое им распределение температур удовлетворяет как дифференциальному уравнению (324), так и использованным граничным усло­виям.

В результате интегрирования этого уравнения имеем

Для определения удельного теплового потока воспользуемся уравнением Фурье:

Отношение  называют термическим сопротивлением стенки, а  — проводимостью стенки.

Многослойная плоская стенка. Стенки, состоящий из несколь­ких разнородных слоев, назы­вают многослойными (рис. 142).

Пусть стенка состоит из п плотно прилегающих один к другому слоев. Коэффициенты теплопроводности для каждого слоя равны соответственно ₁ ₂, ..., _n, а толщины слоев ₁, ₂, ..., _n.

При стационарном режиме удель­ный тепловой поток постоянен и для всех слоев одинаков. Поэтому будем иметь

Постоянная интегрирования определяется из граничного усло­вия: при x = О t= t_w1, откуда С = t_w1. Так как при х =  t = t_w2, то

Следовательно, количество теплоты, переданной через 1 м² стенки в час, прямо пропорционально коэффициенту теплопровод­ности  и разности температур наружных поверхностей стенки и обратно пропорционально толщине стенки .

Произведя почленное сложение, найдем

225

При выводе формулы для многослойной стенки мы предпола­гали, что слои плотно прилегают один к другому и благодаря хорошему контакту соприкасающиеся поверхности разных слоев имеют одну и ту же температуру. В действительности же поверх­ности всегда шероховаты, вследствие чего возникает дополнитель­ное термическое контактное сопротивление, расчет которого при­водится в § 89.

Однослойная цилиндрическая стенка. Расчетное уравнение имеет вид

т. е. количество теплоты, переданной в час через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности , длине трубы l и температурному напору (t_w1 — t_w2) и обратно пропор­ционально натуральному логарифму отношения внешнего диа­метра d₂ трубы к внутреннему d₁. При  = const внутри однослой­ной цилиндрической стенки температура изменяется по логариф­мической кривой.

Многослойная цилиндрическая стенка. Для такой стенки урав­нение теплового потока получает вид

Для многослойной цилиндрической стенки в целом темпера­турная кривая представляет собой ломаную кривую.

Однослойная шаровая стенка. Уравнение для расчета тепло­вого потока шаровой стенки с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂ будет

§ 88. Основы нестационарной теплопроводности

Как было установлено выше, температурное иоле при ста­ционарном режиме не меняется во времени, т.е. dt/d = 0.

Именно таков нормальный рабочий режим большинства тепловых уст­ройств. Но вместе с тем в некоторых случаях температурные поля во времени меняются. В таком режиме работают нагревательные печи, регенеративные теплообменные и другие устройства. Одно­временно с изменением температурного поля изменяется и теп­лосодержание тел. Процесс нагревания или охлаждения можно разделить на три стадии. Первая стадия характеризуется посте­пенным проникновением теплового потока в глубь тела от слоя к слою, при этом ско­рость изменения темпе­ратуры в различных точках различна. На поле температур в ходе процесса оказывает зна­чительное влияние на­чальное состояние, ко­торое может быть совер­шенно произвольным. Первая стадия носит

Пример 1. Температура наружной поверхности котла t₁=473 K. Толщина стенки ₁=0,02м, коэффициент теплопроводности ₁=46,6 вт/м_*град. С внутренней стороны стенки котла покрыта слоем накипи толщиной ₂=0,001м; ₂=1,168 вт/м_*град. Температура внутренней поверхности t₂=413 K. Определить удельный тепловой поток и температуру на границе накипь-стенка t_нс

Кривая, выражающая закон изменения температур в шаровом слое, представляет собой гиперболу.

название неупорядоченного процесса. Далее наступает упорядоченный режим, который характеризуется тем, что с некоторого момен­та начальное распределение температур в теле теряет свое значе­ние, и дальнейшее протекание процесса управляется лишь усло­виями на границе тела. При этом температура во всех точках тела находится в зависимости от формы тела, его физических параметров и условий теплообмена на границе. Г. М. Кондратье­вым такой упорядоченный ход процесса нагревания или охла­ждения тела был назван регулярным режимом, для которого им была создана соответствующая теория и предложен ряд способов для решения практических задач.

С течением времени — теоретически по прошествии бесконечно большого периода — изменение температуры в отдельных точках тела прекращается, т. е. наступает стационарное_состояние.

На рис. 143, а показано изменение температуры тела за время прогрева (где t_w — температура на поверхности, a t₀ — темпе­ратура внутри тела), а на рис. 143, б представлена кривая коли­чества передаваемой теплоты во времени. По мере прогрева тела количество воспринимаемой теплоты сначала резко увеличи-

227

кается, достигает некоторого максимума, затем уменьшается и в пределе становится равной нулю.

Площадь, заключенная между осью абсцисс и кривой, опре­деляет собой полное количество теплоты, переданной за время т. Эта теплота аккумулируется телом и идет на повышение его энтальпии. Аналогичным образом протекает и процесс охлажде­ния тела, при этом его энтальпия уменьшается, а выделенная теплота передается в окружающую среду.

Решить задачу нестационарной теплопроводности — это значит найти зависимость изменения температуры и количества передан­ной теплоты во времени для любой точки тела. Однако такие решения могут быть получены при целом ряде упрощений и только для твердых тел простой формы — пластины, цилиндра и шара. Для практического использования эти решения обычно представ­ляют в виде графиков.

при заданных краевых условиях в общем виде оно имеет впд

Из анализа решений следует, что безразмерную температуру

можно представить как функцию некоторых безразмерных комплексов, которые носят название критериев подобия (подробнее о критериях подобия см. § 90):

Решение дифференциального уравнения теплопроводности:

Критерии Вио и Фурье являются критериями теплового подобия. Кри­терий Био представляет собой один из самых важных параметров теории теплопроводности, им определяется интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой:

Bi является количественной мерой интенсивности теплообмена α, оцениваемой по сравнению с проводимостью / l стенки,

Решение любой задачи теории теплопроводности следует начинать с анализа величины критерия Bi. В зависимости от того, какое конкретное значение имеет критерий Bi, в решения могут быть внесены те или иные упрощения. Различают три случая.

Первый случай. Малое Bi может быть получено вследствие малых зна­чений а или больших значений / l. В этом случае температурным перепа­дом внутри тела можно пренебречь но сравнению с температурным напором (t_f — t_w), т. е. можно рассматривать температуру тела не зависимой от координат (рис. 144).

Второй случай. Критерий Bi имеет средние значения Bi ~ 1.

Этот случай представляет наибольшие трудности для теории и рас­сматривается в специальной литературе.

Третий случай. Bi >> 1.

В этом случае температуру поверхности тела вследствие большой отно­сительной интенсивности теплообмена можно считать равной температуре окружающей среды и рассматривать задачу как внутреннюю. Графически все три случая представлены на рис. 144.

Рассматривая физический смысл критерия Фурье, представим его в виде

Как видно, критерий Фурье представляет собой отношение / l l² -

229

масштаба количества теплоты, притекающей вследствие теплопроводности, к масштабу изменения теплосодержания тела сρl³, т. е. является мерой скорости изменения температуры тела при неустановившемся тепловом состоянии. На рис. 145—146 представлено графическое решение задачи о нагреве плоской неограниченной стенки, т. е. зависимости

По графикам рис. 145, 146 определяем значения

Прежде чем воспользоваться графиками для определения температур пластины, необходимо вычислить значения критериев Био и Фурье.

Аналогичные графики имеются для цилиндров и шаров.

В последнее время для точных решений некоторых задач нестационар-ной теплопроводности, разработаны приближенные методы решения, а также

ряд экспериментальных методов, как, например, метод гидротепловой анало­гии В. С. Лукьянова, метод гидротепловой аналогии Л. И. Гутенмахера и др. Пример 2. Определить температуру t₀ в середине и на поверхности t_w резиновой пластины толщиной 2δ = 0,01 м после нагревания при темпе-

ратуре 300° С в течение 1 мин. Коэффициент теплоотдачи от среды к поверх­ности пластины α= 116 Вт/(м*град). Начальная температура пластины t_нач = 20° С. Теплофизические характеристики резины: = 0,233 Вт/(м*град);

a = 5 * 10^-4 / 3600 м²/сек

Найдем величины критериев Bi и Fо: