Лекция1-биореология (Курс лекций по биомеханике)

Биореология

Реологические свойства - это свойства сопротивляться каким-либо воздействиям. Здесь имеются в виду механические воздействия. Иными словами это деформационные свойства материалов.

Для изучения этих свойств в основном используется континуальный подход, т.е. среда рассматривается как сплошная. Для того чтобы среду можно было бы рассматривать как сплошную, необходимо, чтобы для нее выполнялся ряд соотношений. Эти соотношения можно записать следующим образом:

Есть характерный размер L макро задачи (это может быть орган, клетка и т.д.). В этом объекте, который мы хотим изучать, есть какие-то микроструктурные элементы. Тогда x-размер этого структурного элемента. В том случае, если тело состоит из молекулярных единиц, х - размер молекул; для тел, имеющих надмолекулярную структуру, х - характерный размер этой структуры. Вводится идея осреднения свойств и уравнений на некотором характерном масштабе l – размер объема осреднения.

Для того чтобы континуальный подход применим, должно выполняться

Причем сами величины , , могут быть совершенно разными.

Примеры

Газ

В качестве микроструктурного элемента выбирается обычно длина свободного пробега . Если характерный размер задачи , то все уравнения массопереноса, теплообмена, трения (уравнения, справедливые для сплошной среды) хорошо работают. В том случае, если по каким-то причинам характерный размер задачи соизмерим с , то эти уравнения не работают. Типичный пример - термос. Между стенками термоса находится малое количество молекул, поэтому длина свободного пробега этих молекул сравнима с расстоянием между стенками. Поэтому уравнение теплопроводности в пространстве между стенками сосуда не работает.

Кровь

Характерный размер микроструктурного элемента - размер клетки ( 10мкм). Если мы возьмем характерный размер осреднения порядка 100 мкм, а характерный размер задачи порядка 1 мм, то в этих условиях кровь можно рассматривать как сплошную среду. 1 мм – это характерные размер маленьких артерий, вен, артериол. Если мы рассматриваем более мелкие сосуды (капилляры, прекапилляры, мелкие артериолы и венулы), то в них континуальный подход работает плохо. В этом случае нужно рассматривать движение форменных элементов в плазме крови.

Легкие

Характерный размер микроструктурного элемента для легких – размер легочной альвеолы ( 0,3 мм). Более крупные элементы (альвеолярные ходы, мелкие сосуды) имеют размер до 1мм. Поэтому если в качестве характерного размера осреднения взять 1 см (размер легочной дольки), а за характерный размер задачи взять 10 см (легочная доля, легкое в целом), то можно считать легкое сплошной средой.

Таким образом, во многих случаях биологические ткани можно считать континуальными, хотя характерный размер такой континуальности может быть разным (для крови-100мкм, для легких-1см).

Среды в биомеханике

В отличие от традиционной теории упругости, гидромеханики, где рассматриваются однофазные и однокомпонентные среды, в биомеханике среды, как правило, многофазные и многокомпонентные. Фазы бывают газообразными, жидкими и твердыми, но в некоторых случаях в качестве фазы вводятся совершенно специфические биофизические объекты. Например, если рассматривается ткань, в которой распределены сосуды или дыхательные пути (например, кань легких), то входы в сосуды и дыхательные пути можно рассматривать как специфическую поверхностную фазу, и на этой основе построить теорию механики легких как многофазной среды. Таким образом, для биологических тканей можно вводить не только обычные объемные, но и поверхностные фазы.

Среди однофазных сред обычно встречаются многокомпонентные среды. Например, кровь - жидкая фаза с включениями (твердая фаза), которые можно рассматривать как компоненту в однофазной среде.

Основные уравнения

Биологические среды исследуются с помощью следующих групп уравнений:

-законы сохранения (массы, импульса, энергии, момента импульса, 2ой закон термодинамики, уравнения Максвелла)

-определяющие соотношения (закон Фика, реологические соотношения)

Реологические соотношения – это соотношения между напряжением и деформацией.

Определяющие соотношения имеют разный вид для разных сплошных сред.

Тензоры напряжений и деформаций

Для того чтобы описывать механические напряжения и деформации в сплошной среде, используются тензоры.

Тензор напряжения характеризует силу, действующую в сплошной среде. Компонента тензора напряжения это сила, которая действует в направлении на единичную площадку, перпендикулярную оси . В трехмерном пространстве есть 3 направления, следовательно, имеем 9 компонент. Тензор напряжения – симметричный, то есть .

Компоненты тензора можно представить в виде матрицы

где , , – нормальные напряжения (напряжения, направленные перпендикулярно площадке).

В жидкости все нормальные напряжения одинаковы и равны величине давления с обратным знаком. Если жидкость покоится - то это гидростатическое давление.

Недиагональные компоненты матрицы – касательные (сдвиговые) напряжения, которые стремятся сдвинуть одни участки среды относительно других.

Деформация, изменение геометрии среды, описывается тензором деформации. Тензор деформации вводится следующим образом:

Пусть исходный координатный вектор какой либо точки среды есть . При деформации среды происходит перемещение, и точка, которая имела до деформации координаты , после деформации приобретет координаты . Тогда перемещение этой точки есть вектор деформации .

Тензор деформации определяется следующим образом

Рассматривается изменение расстояния между двумя соседними точками после деформации. Если до деформации расстояние между точками было , а после деформации стало , то справедливо равенство

где , - координаты вектора между точками до деформации.

Обычно в механике рассматриваются такие деформации, что компонента , также как и компонента , мала ( 0,1%). Поэтому величина имеет второй порядок малости, и ей можно пренебречь. Тогда формула для тензора деформации заметно упрощается

Тензор деформации – симметричный. Значения его компонент зависят от системы отсчета, но так как тензор – величина физическая, то и него есть комбинация компонент, которые называются инвариантами тензора, не зависящая от системы отсчета. В частности первый инвариант тензора деформации равен относительному изменению объема. Если есть некоторый объем , произошла деформация среды, и объем изменился на величину , то

Кроме первого инварианта тензора деформации существует также и второй инвариант и т.д.

Реологические определяющие соотношения - это соотношения между компонентами тензора деформации (и их производными) и тензора напряжения.

Для многих сред в биомеханике величина механических напряжений зависит от скорости деформации. Для описания таких срез полезно ввести еще один тензор- тензор скоростей деформации:

В этом случае реологическое соотношения – это соотношения между тензором напряжения и тензором скоростей деформации.

Примеры

1) деформация простого сжатия

Имеется куб, который претерпевает простую деформацию – растяжение вдоль всех осей, причем величины растяжения по всем трем осям являются различными. Пусть до деформации координаты были , тогда после деформации координаты стали:

где - величина растяжения вдоль -той оси.

В этом случае компонента вектора деформации равна

Тогда

Пусть величина деформации порядка 10 % (для большинства тканей это условие выполняется, хотя есть ткани, например, кожа, которые деформируются на 100%). Тогда и будут составлять 10%, а величиной в этом случае можно будет пренебречь. Тензор деформации в этом случае будет выглядеть следующим образом:

Такая деформация называется деформацией простого сжатия.

В этом случае относительное изменение объема равно

2) Деформация чистого сдвига

В данном случае деформация представляет собой смещение всей среды такое, что все точки вмещаются в направлении оси и величина смещения пропорциональна . То есть это сдвиг на некоторый угол . В этом случае компоненты вектора деформации определяются следующим образом:

Меняется только компонента , следовательно

Все остальные компоненты вектора деформации равны 0. Теперь определим вид тензора деформации.

Тогда