Ray Browell - The Power of Nonlinear Materials Capabilities (перевод Рубцова ) p.1 (Ray Browell - The Power of Nonlinear Materials Capabilities (перевод Рубцова )), страница 2

С
традиционной точки зрения мультилинейная упругость не является реологической моделью. В действительности она представляет собой расширение закона Гука и предполагает кусочно-линейное, абсолютно упругое поведение материала. В силу кусочной линейности модель описывает нелинейный отклик материала. В настоящее время наличие большого числа разнообразных уравнений состояния ограничивает применимость модели мультилинейной упругости.

Вязкоупругость

Вязкоупругий материал рассматривается первым в ряду материалов, классифицируемых как чувствительные к скорости деформации. По определению материал, чувствительный к скорости деформации, имеет отклик, хоть в малой степени зависящий от времени. Деформация вязкоупругого материала состоит из двух обратимых частей: мгновенно исчезающей и зависящей от времени. Мгновенно исчезающая часть соответствует обычной линейно-упругой модели. Часть деформации, зависящая от времени, характерна для среды, механическим аналогом которой является параллельное соединение пружины и демпфера (амортизатора). Реализованная в программе модель вязкоупругой среды обычно используется для описания деформированного

Рис. 2

состояния материалов типа стекла. Такие материалы превращаются в вязкие жидкости при высоких температурах, а при обычных ведут себя как твердые тела.

Нелинейные, неупругие,

нечувствительные к скорости деформации материалы

Основная часть материалов, относящихся к этой классификации, проявляет свойства пластичности, которые не зависят от всестороннего, гидростатического давления. В данную категорию попадают многие металлы при обычных температурах (т.е. температурах, не превышающих половины от температуры плавления). Чтобы понять конкретные уравнения состояния, следует сначала рассмотреть общее в пластическом поведении среды.

Пластические деформации не исчезают после снятия нагрузки и, таким образом, являются остаточными. Характерно, что после появления пластических деформаций достаточно небольшого увеличения напряжений для существенного роста деформаций. Это явление называется текучестью, а соответствующее напряжение называется напряжением текучести (рис. 3).

Рис. 3

Рис. 4

Существуют так называемые инженерные напряжения и соответствующие им инженерные деформации, а также истинные напряжения и деформации. Инженерные деформации иногда рассматриваются как «малые» деформации. В одноосном случае (рис. 4) инженерные напряжения и деформации определяются следующим образом:

_engineering = P/A, _engineering = L/L,

где _engineering - инженерные напряжения,

P - приложенная нагрузка,

A - площадь поперечного

сечения,

_engineering - инженерные деформации,

L - изменение длины,

L - начальная длина.

При работе с программой ANSYS, начиная с версии 5.0, требуется вводить значения напряжений и деформаций в виде истинных напряжений и деформаций. Для одномерного случая истинные деформации подсчитываются по формуле

_true = ln(L/L_o),

где _true - истинные деформации,

L - текущее значение длины

(обратите внимание!),

L_o - начальная длина.

Из этого соотношения видно, почему истинные деформации иногда называются логарифмическими. Такие деформации еще называют естественными. Истинная деформация представляет собой среднюю величину деформации при изменении длины стержня от исходного значения до текущего. Чтобы перейти от инженерных напряжений и деформаций к истинным, можно использовать следующие соотношения:

_true = _engineering(1 + _engineering),

_true = ln(1 + _engineering),

где _true­ - истинные напряжения.

Эти соотношения применимы только для несжимаемого материала (другими словами, для случая, когда всестороннее давление не вызывает пластического отклика материала).

При малых деформациях значения инженерных и истинных параметров почти идентичны (табл. 1). Однако по мере возрастания деформаций эти значения расходятся. При этом угловой коэффициент диаграммы в области истинных пластических деформаций положителен, а для инженерных деформаций - отрицателен (рис. 5). Кроме того, протяженность диаграммы истинных напряжений существенно меньше. Условимся все упоминаемые далее в статье напряжения и деформации рассматривать как истинные.

После общего определения феномена пластичности и способов исчисления деформаций можно перейти к рассмотрению различий в пластическом поведении среды.

Таблица 1. Сравнение значений инженерных

и истинных деформаций и напряжений

Пластичность материала проявляется как его «текучесть». В одномерном случае текучесть возникает при достижении напряжениями величины предела текучести. Для более сложных напряженных состояний требуется некий метод, чтобы на основе различных компонент напряжений получить критерий, который можно было бы сопоставить с напряжениями текучести для одноосного случая. Широко используется энергетический критерий формоизменения, часто называемый критерием Мизеса. Независимо от того, какой конкретный метод используется, предел текучести материала при простом растяжении преобразуется в кривую текучести для двумерного напряженного состояния и в поверхность текучести - для трехмерного. После достижения начала пластичности напряжения должны возрастать, чтобы процесс пластического деформирования развивался (рис. 3). Такое возрастание напряжений называется упрочнением.

Упрочнение соответствует такому изменению поверхности текучести в процессе нагружения, при котором выполняются условия существования дальнейших пластических деформаций. Имеют место два основных типа упрочнения: изотропное и кинематическое. В случае изотропного упрочнения поверхность текучести расширяется равномерно во всех направлениях и сохраняет исходное положение своего центра. Предполагается, что механизм упрочнения действует одинаково как при растяжении, так и при сжатии (рис. 6). При изотропном упрочнении абсолютные величины предела текучести при сжатии и растяжении всегда равны. Увеличение напряжений сверх предела текучести приводит к росту предела пропорциональности при разгрузке, при этом размах упругих напряжений в два раза превосходит величину наибольших достигнутых напряжений (рис. 7).

В случае кинематического упрочнения поверхность текучести смещается, не меняя размеров (рис. 8). Если образец сначала растянуть, затем снять нагрузку, а потом к образцу приложить сжимающую нагрузку, то предел текучести при сжатии будет меньше, чем при растяжении. Уменьшение предела текучести при сжатии в точности равно превышению исходного предела текучести при растяжении. Это явление называется эффектом Баушингера, который имеет место в металлах при смене знака нагружения (рис. 9). Учет эффекта Баушингера важен при расчетах циклических нагрузок, сопровождающихся пластическими деформациями, как в случае моделирования малоцикловой усталости при относительно низких напряжениях или деформациях, а также в случае непропорционального нагружения. Вообще говоря, изотропное упрочнение рекомендуется использовать при учете конечных деформаций (больших истинных деформаций, превосходящих в металлах 5-10 процентов) в случае пропорционального, непериодического нагружения. Кинематическое упрочнение следует использовать в случае непропорционального или циклического нагружения, когда истинные деформации относительно малы (менее 5-10 процентов для металлов).

Существуют еще два варианта нагружения, важных с точки зрения циклического пластического деформирования: нарастание деформаций с каждым циклом по типу храповика (ratcheting) и так называемая «приспособляемость» (shakedown). При кинематическом упрочнении размах упругих напряжений, сопровождающих разгрузку, равен удвоенной величине предела текучести. Если образец при растяжении нагружается выше напряжений текучести, возникает пластическое состояние. Поверхность текучести перемещается, чтобы могли реализоваться упругие напряжения разгрузки, и это приводит к снижению уровня напряжений текучести при сжатии. Если теперь образец сжать той же нагрузкой, что и при растяжении, то поверхность текучести сместится вновь - для выполнения условий разгрузки. При уменьшении нагрузки до нуля завершается один полный цикл нагружения. Поверхность текучести смещается в область сжатия. Если вновь растянуть образец первоначальным усилием, то напряжения текучести снова будут превышены, что приведет к дополнительным пластическим деформациям. Эти деформации называются циклическим приращением деформаций. Они обусловлены сочетанием нагрузки, при которой превышаются начальные напряжения текучести, циклическим приложением нагрузки и наличием эффекта Баушингера. Следует заметить, что при учете анизотропии материала размах напряжений разгрузки мог бы оказаться равным удвоенной величине максимума достигнутых напряжений, и никакой пластичности после снятия растягивающей нагрузки не возникло бы.

Когда нагрузка не является знакопеременной в чистом виде, а приращения деформаций за цикл контролируемого нагружения остаются примерно постоянными в каждом последующем цикле, то говорят, что рост дефор-

Р
ис. 5

м аций происходит по типу храповика (рис.10). Если же нагрузка по-прежнему не является знакопеременной в чистом виде, но приращения деформаций за цикл нагружения уменьшаются в каждом последующем цикле, то имеет место «приспособляемость».

Изотропное упрочнение

П ри изотропном упрочнении поверхность текучести расширяется равномерно во всех направлениях и сохраняет исходное положение своего центра. Это показывает, что механизм упрочнения действует одинаково при растяжении и сжатии.

В случае билинейного изотропного упрочнения пластический участок диаграммы деформирования имеет постоянный наклон.

Как следует из названия, мультилинейное изотропное упрочнение характеризуется кусочно-линейным описанием пластической части диаграммы деформирования.

Форма задания нелинейного изотропного упрочнения основана на уравнении состояния материала, предложенного Voce. Это вариант мультилинейного изотропного упрочнения, в котором к линейному слагаемому добавлен экспоненциальный член, описывающий упрочнение. Преимуществом модели является то, что поведение материала задается гладкой функцией, зависящей от четырех констант. Эти постоянные можно получить с помощью диаграммы растяжения для материала. Такая модель применима только для материалов, диаграммы которых имеют плавный переход от прямой, соответствующей модулю упругости, к участку постоянного упрочнения (рис. 11).

Анизотропное упрочнение используется для материалов, поведение которых различно в направлениях осей x, y, z, а также при растяжении, сжатии и сдвиге. Применимо для металлов, подвергнутых некоторым предварительным деформациям (например, при прокатке).

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11