Лекция_9 (Лекции в электронном виде)

Лекция 9

Собственные формы колебаний системы с конечным числом степеней свободы

Итак, мы с вами научились определять собственные частоты системы с конечным числом степеней свободы. Но у нас еще не решена одна задача, а именно не определены амплитуды колебаний обобщенных координат .

Нетрудно показать, что подстановка найденных значений собственных частот в систему алгебраических уравнений

не приведет к желаемому результату и не позволит определить амплитуды колебаний обобщенных координат.

Единственным способом определения этих величин является хорошо известный способ, основанный на знании начальных отклонений и скоростей всех обобщенных координат. Однако, как показывает опыт решения подобных задач, это весьма трудоемко, и, как правило, приводит к сложным системам алгебраических уравнений.

Однако, для анализа свойств системы совсем не обязательно определять абсолютные значения амплитуд колебаний обобщенных координат. Гораздо проще определяются относительные амплитуды колебаний и, кроме того, с этими величинами гораздо проще и удобнее работать при анализе свойств системы.

При определении относительных амплитуд колебаний обобщенных координат поступают следующим образом. Принимают, что амплитуды колебаний какой-либо обобщенной координаты для всех значений собственных частот являются единицами измерения амплитуд остальных обобщенных координат при соответствующих значениях собственных частот.

Так, для примера за единицу измерения амплитуд обобщенных координат примем амплитуды колебаний второй обобщенной координаты. Поэтому систему уравнений при j-ой собственной частоте можно преобразовать к виду:

где , кроме того, .

Для какой-либо другой собственной частоты системы, к примеру, некоторой , можно было бы получить аналогичные зависимости:

где , и, .

Внимательный анализ полученных зависимостей позволяет сделать вывод, что для каждого значения собственной частоты сравнительно просто найти значения относительных амплитуд колебаний системы. Кроме того, полученные системы показывают, что эти величины определяются конструктивными параметрами системы и не зависят от начальных условий движения.

В теории колебаний механических систем принято называть относительные амплитуды коэффициентами собственных форм. Совокупность коэффициентов собственных форм, определенных при какой-либо собственной частоте , называется собственной формой системы.

Таким образом, каждой собственной частоте колебаний системы соответствует собственная форма. Поэтому число собственных форм какой-либо механической системы равно числу степеней свободы этой системы. Обычно принято называть собственные формы по номеру собственной частоты колебаний, при которой она определена. Так, собственная форма колебаний, полученная для первой частоты , называется первой или основной формой. Для второй частоты – второй формой, и так далее.

Таким образом, совокупность коэффициентов собственных форм – есть j-ая собственная форма колебаний системы.

Используя понятие коэффициента собственных форм, общее решение системы дифференциальных уравнений можно записать в виде:

где .

Эта запись показывает, что амплитуды колебаний системы отнесены к амплитудам колебаний первой координаты, то есть за единицы измерения приняты амплитуды первой обобщенной координаты.

Так, для системы с тремя степенями свободы общее решение имеет вид:

Определим коэффициенты собственных форм, выбрав за единицы измерений амплитуды колебаний первой обобщенной координаты. Тогда:

Таким образом, соответствуют первой собственной форме, – второй и – третьей собственной форме.

И общее решение можно записать через коэффициенты собственных форм:

Физически формы колебаний системы можно получить следующим образом. Соответствующим подбором начальных условий можно добиться того, что все обобщенные координаты будут колебаться с одной из собственных частот.

В качестве примера определения собственных форм колебаний механической системы рассмотрим случай, для которого у нас уже составлены дифференциальные уравнения:

Для простоты дальнейших расчетов принимаем и . Полагая

получим:

Или, переходя к определителю:

,

откуда находим частотное уравнение:

Корни этого уравнения:

или .

Примем за единицы измерения амплитуд амплитуды колебаний первой обобщенной координаты. В этом случае . Подставим значение первой собственной частоты в любое из двух уравнений исходной алгебраической системы уравнений:

,

откуда:

Аналогично поступаем и для значения второй собственной частоты:

Обычно принято изображать собственные формы колебаний в форме диаграмм:

первая форма ;

вторая форма .

Теперь решим еще одну задачу, но выделим ее особо, так как в дальнейшем мы будем очень часто ссылаться на нее.

Три маховика с моментами инерции J, 2J и 3J соединены валами, каждый из которых имеет крутильную жесткость c. Определить собственные формы системы.

Решение

Для составления системы дифференциальных уравнений воспользуемся, как и прежде, основным способом. Примем в качестве обобщенных координат углы поворота маховиков . В этом случае кинетическая и потенциальная энергии выражаются достаточно просто:

После всех преобразований получим следующую систему уравнений:

Принимая частное решение системы в виде , преобразуем систему:

Для получения нетривиального решения необходимо, чтобы определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, был равен нулю:

,

откуда несложно получить частотное уравнение:

Решение этого уравнения имеет три корня:

Для определения собственных форм системы примем за единицы измерения амплитуды первой обобщенной координаты.

При или .

При .

При .

Ортогональность собственных форм колебаний

Пусть двум собственным частотам колебаний и соответствуют собственные формы и , где . Можно доказать, что при эти формы связаны соотношением ортогональности:

или .

В случае выбора обобщенных координат таким образом, что кинетическая энергия системы имеет каноническую форму записи и при , первое выражение ортогональности несколько упрощается:

.

Если каноническую форму записи имеет потенциальная энергия, то при и .

Так, например, для системы, имеющей три степени свободы, для первой и третьей форм собственных колебаний, то есть для и , свойство ортогональности запишется следующим образом:

Теперь пусть некоторая механическая система имеет четыре степени свободы и выражение, определяющее ее кинетическую энергию, имеет каноническую форму записи. Запишем свойство ортогональности для первой и третьей собственных форм:

Для первой и четвертой форм собственных колебаний:

Аналогичные зависимости можно составить и для других попарных сочетаний собственных форм.

В качестве примера произведем проверку решения в примере, обозначенном нами кляксочкой. Если проанализировать выражение, определяющее кинетическую и потенциальную энергии системы, то можно сказать, что кинетическая энергия имеет каноническую форму записи. Это позволяет для проверки полученного решения воспользоваться упрощенной зависимостью. Итак, мы имеем:

Запишем условие ортогональности форм для первой и второй частот собственных колебаний системы:

Для первой и третьей форм:

Для второй и третьей форм:

Используя свойство ортогональности, можно доказать, что выбранные обобщенные координаты связаны с главными через коэффициенты собственных форм зависимостью:

,

или, если раскрыть это выражение:

Запишем выражение, определяющее кинетическую энергию системы:

Подставим сюда зависимости, связывающие обобщенные скорости и с главными координатами:

.

Теперь изменим порядок суммирования:

В соответствии со свойством ортогональности собственных форм:

при ,

поэтому

Величину принято называть приведенной или обобщенной массой системы при n-ой форме собственных колебаний и обозначают . В этом случае:

то есть, что и требовалось доказать. Нетрудно заметить, что, в случае принятия обобщенных координат таким образом, что кинетическая энергия имеет каноническую форму записи, выражение для приведенной массы системы упрощается:

Аналогичным образом доказывается, что и потенциальная энергия системы будет иметь каноническую форму записи:

,

подставляя сюда зависимости и делая такие же преобразования, что и в предыдущем случае, получим:

где – потенциальная энергия деформации системы при n-ой собственной форме.

Для случая, когда выбранные обобщенные координаты приводят к канонической форме записи потенциальной энергии, выражение для определения потенциальной энергии деформации системы упрощается:

Таким образом, и кинетическая, и потенциальная энергии системы имеют каноническую форму записи, следовательно, координаты являются главными.

Для перехода от выбранных координат к главным можно воспользоваться зависимостью, которую приведем без доказательства:

В случае, если обобщенные координаты дают каноническую форму записи кинетической энергии, эта зависимость несколько упрощается: