Лекция_2 (Лекции в электронном виде)

Лекция №2

Свободные колебания линейной консервативной системы

Поскольку в рассматриваемой системе отсутствуют диссипативные силы, то, очевидно, будут отсутствовать и потери энергии, то есть мы будем исследовать колебания консервативной механической системы.

В этом случае уравнение движения механической системы будет иметь вид:

.

Легко показать, что структура дифференциального уравнения не изменится при действии на систему какой-либо постоянной силы, например, силы тяжести.

Рассмотрим простейший пример: груз на пружинке в поле силы тяжести.

Б удем отсчитывать смещение тела от положения равновесия, то есть от положения покоя. Тогда можно записать на основе принципа Д’Аламбера:

, где

– удлинение пружины под действием силы тяжести, действующей на груз.

С учетом сказанного перепишем дифференциальное уравнение:

, или

.

Как видно, структура уравнения осталась неизменной, то есть, иными словами, постоянные силы не оказывают влияние на движение системы.

До этого, и на прошлой лекции, и на этой, мы записывали в дифференциальном уравнении коэффициент а, но подробно не рассматривали, что это. Коэффициент а – это коэффициент обобщенной массы системы, и, для разных механических систем он, как и коэффициент обобщенной жесткости, может определяться по-разному.

Рассмотрим уже известные нам примеры.

1. Колебания груза на пружине.

1. Колебания инерционного диска на упругом валу.

У равнение движения такой системы имеет вид:

, и .

1. Физический маятник.

.

Для других систем величина обобщенной массы может определяться еще сложнее.

Величина обобщенного коэффициента жесткости с определяется природой возникновения восстанавливающей силы. В зависимости от кинематической схемы системы она может определяться по-разному, что и было показано на предыдущей лекции при рассмотрении восстанавливающей силы.

Записанное в общем виде дифференциальное уравнение свободных колебаний консервативной системы удобнее решать, если преобразовать его к виду:

,

где .

Решение такого уравнения хорошо известно из курса математики и имеет вид:

, где

С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

Значения величин С₁ и С₂ можно легко определить из начальных условий системы.

Будем считать, что в начальный момент времени t=0 обобщенные координата и скорость системы имеют значения q₀ и . Подставим эти данные в исходное решение дифференциального уравнения:

, таким образом .

Найдем выражение, определяющее закон изменения скорости движения системы. Для этого продифференцируем найденное решение:

.

Теперь, подставив начальные условия, получаем:

, то есть .

Таким образом, окончательно можно записать:

.

Общее решение исходного дифференциального уравнения можно получить в более наглядном виде. Для этого представим постоянные интегрирования С₁ и С₂ следующим образом:

.

Подставим эти выражения в исходное решение:

.

Очевидно, справа от знака равенства представлено выражение для синуса суммы двух углов. Выражение можно свернуть, и после преобразования имеем следующее:

.

Обобщенная скорость тогда имеет вид:

.

Используя начальные условия, можно записать:

.

Несложно получить выражения для величин А и β.

Как видно из второго варианта решения дифференциального уравнения, в случае ненулевых начальных условия система будет совершать незатухающие гармонические колебания с амплитудой А и частотой k. Причем, как было показано, амплитуда колебаний определяется главным образом начальными условиями q₀ и , а частота колебаний зависит только от конструктивных параметров самой системы, то есть от обобщенной массы а и обобщенной жесткости с. Иными словами, для любой заданной системы k =const. Поэтому эту величину называют собственной частотой системы.

Собственная частота системы представляет собой число колебаний за 2π единиц времени. Таким образом, длительность одного цикла колебаний можно определить следующим образом:

.

Величину Т называют периодом свободных колебаний.

Часто используют другую величину – техническую частоту, под которой подразумевают число колебаний в единицу времени:

.

Очень удобным и наглядным является изображение закона движения механической системы на фазовой плоскости.

Фазовая плоскость представляет собой декартову плоскость, координатами которой являются обобщенная координата системы q и обобщенная скорость .

Состояние системы в любой момент времени определяется на фазовой плоскости изображающей точкой. В процессе движения величины q и непрерывно изменяются и, соответственно, меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для заданного движения называется фазовой траекторией. Очевидно, что разные движения будут иметь разные фазовые траектории:

Для построения фазовой траектории нужно путем дифференцирования найти зависимость , а затем, исключив из двух уравнений (уравнения изменения обобщенных координат и скорости) время, получить функцию .

Попробуем построить фазовую траекторию свободных колебаний консервативной системы, для которой можно записать:

.

Возведем оба этих уравнения в квадрат, и затем сложим:

.

Очевидно, это выражение описывает уравнение эллипса:

Так как собственная частота системы величина постоянная, а амплитуда колебаний определяется начальными условиями движения системы, то для их различных значений будем иметь семейство эллипсов:

Совокупность фазовых траекторий описывает все возможные движения системы и называется фазовым портретом.

Теперь попробуем решить несколько задач на определение собственной частоты механической системы при воздействии на нее различных по природе восстанавливающих сил.

Задача 1.

Определить собственную частоту системы, изображенной на рисунке. Считать, что перемещение рейки по барабану происходит без проскальзывания. Массой пружин пренебречь.

Решение

За обобщенную координату удобнее принять горизонтальное перемещение рейки x. В этом случае связь между перемещением рейки и углом поворота цилиндра имеет следующую зависимость:

.

Для составления дифференциального уравнения воспользуемся уравнением Лагранжа II-го рода.

Определим кинетическую энергию системы, которая в данном случае определяется энергией поступательного движения рейки массой m₁ и энергией вращения цилиндра массой m₂:

.

Для цилиндра момент инерции относительно продольной оси определяется как . Поэтому, учитывая, что , получим:

.

Потенциальная энергия системы определяется только деформацией пружин:

.

Теперь продифференцируем кинетическую и потенциальную энергии:

В итоге дифференциальное уравнение движения имеет вид:

.

Очевидно, что обобщенная масса системы , обобщенная жесткость системы .

Следовательно, собственная частота колебаний системы:

.

Задача 2.

Ц илиндр массой m и радиусом r лежит в желобе, имеющем радиус R. На верхней точке цилиндра закреплены две упругие растяжки жесткостью с_п каждая. Определить частоту свободных колебаний системы, считая, что проскальзывание цилиндра по поверхности отсутствует.

Решение

Для составления дифференциального уравнения движения такой системы опять воспользуемся уравнением Лагранжа II-го рода.

Кинетическая энергия системы складывается из двух составляющих: энергии вращательного движения цилиндра и энергии поступательного движения его центра масс:

, где

– момент инерции цилиндра,

φ – угол поворота цилиндра.

После несложного преобразования кинетическая энергия принимает вид:

.

Потенциальная энергия системы определяется энергией деформации растяжек и энергией изменения положения центра масс цилиндра. При повороте цилиндра на угол φ его верхняя точка перемещается на длину 2rφ. Причем, считая колебания малыми, будем считать, длину хорды и ее проекцию на горизонталь практически одинаковыми, тогда выражение для потенциальной энергии деформации растяжек принимает вид:

.

Д ля нахождения величины изменения потенциала силы тяжести сделаем дополнительный рисунок. Из него видно, что .

Синус угла ψ легко выражается из ΔO₁OA:

.

Таким образом, , а изменение потенциала силы тяжести:

.

Полная потенциальная энергия системы:

.

Дифференцируя кинетическую и потенциальную энергии, получаем:

.

Окончательно получаем дифференциальное уравнение:

.

В результате:

.

И собственная частота системы:

.

В этой задаче мы рассмотрели колебания механической системы в поле силы тяжести. Однако существует довольно широкий круг задач, в которых колебания осуществляются в других силовых полях. Например, в поле центробежных сил.

Задача 3

Д ля гашения крутильных колебаний на маховик устанавливают дополнительные массы, представляющие собой маятник в поле центробежных сил. Определить собственную частоту колебаний такого маятника, считая, что он обладает массой m и моментом инерции относительно точки подвеса J_B.