09-1 Глава 5 Случайные сигналы (Лекционный курс), страница 4

Для стационарного эргодического случайного процесса спектр мощности определяется выражением:

(5.0)

При практических исследованиях для нахождения оценки спектра мощности по экспериментальным данным обычно приходится дополнительно проводить сглаживание в частотной области, с тем, чтобы сделать эту оценку статистически состоятельной.

Энергетический спектр (спектр мощности) случайного процесса является неслучайной функцией частоты.

Например, типичными являются случайные процессы в виде шума с постоянной спектральной плотностью мощности P()=P₀. Такой шум называют белым шумом. Дисперсия белого шума бесконечно велика, поэтому он не встречается в природе и является математической абстракцией, позволяющей во многих случаях упростить анализ.

Часто встречается шум со спектральной плотностью, возрастающей при убывании частоты по закону P()=P₀ ₀/, такой шум называют розовым или фликкер-шумом.

В частности, шум электронного усилителя можно в большинстве случаев представить в виде суммы двух подобных составляющих:

P()=P₀(1 + ₀/),

где ₀ - частота сопряжения белого и розового шумов.

В соответствии с определением эргодичности случайного процесса, параметры случайного процесса записываются в следующем виде (черта сверху здесь обозначает операцию усреднения по времени):

- среднее значение:

(5.0)

- корреляционная функция:

(5.0)

- ковариационная функция:

(5.0)

- дисперсия:

(5.0)

- среднеквадратическое отклонение:

Если x(t) представляет собой электрический сигнал (ток или напряжение), то - постоянная составляющая слу­чай­­ного сигнала, K_x(0)= ² - средняя флуктуации сигнала x(t) относительно постоянной составляющей.

Введен­ное выражение корреляционной функции случайного сигнала совпадает внешне с определением корреляционной функции детерминированного периодического сигнала.

Следует отметить, что в настоящее время в научно-технической литературе встречаются разногласия в определениях корреляционных и ковариационных функций. Однако определения (5.8) и (5.9) сегодня являются статистическими нормами и их следует придерживаться, определяя внимательно по контексту о каком виде функции идет речь. Далее будем рассматривать случайные сигналы с нулевым средним, если не указано иначе, для которых определения корреляционной и ковариационной функций совпадают.

Часто применяется нормированная корреляционная (ковариационная) функция:

(5.0)

Функции K_x(), R_x(), r_x() характеризуют связь (корреляцию) между значениями x(t), разделенными промежутком времени . Чем медленее, плавнее изменяется во времени x(t), тем больше промежуток , в пределах которого наблюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайной функции.

При экспериментальном исследовании случайных процессов используются временные корреляционные характеристики процесса поскольку экспериментатору как правило доступно наблюдение одной реализации сигнала, а не множества его реализаций. Естественно, интегрирование ведется в конечных пределах времени T, величина которого должна быть тем больше, чем выше требования к точности результатов обработки.

5.7Соотношение между энергетическим спектром и корреляционной функцией случайного процесса

Итак, степень изменчивости во времени случайного процесса обычно характеризуют функцией корреляции, которая для стационарного эргодического процесса определяется выражением:

(5.0)

Как видно из этой формулы, корреляция показывает усредненную взаимосвязь двух значений случайного процесса.

Случайный процесс может иметь постоянную составляющую:

(5.0)

Для того, чтобы определить изменчивость только переменной составляющей процесса, используют функцию ковариации, которая представляет собой корреляцию для этой составляющей:

(5.0)

Рассмотрим одну реализацию x(t) длительностью T случайного процесса. Для этой реализации найдем текущий спектр S_т(). Для смещенного во времени на  варианта этой реализации x(t+), очевидно, получим спектр S_т()e^j.

Используя свойства преобразования Фурье можно записать:

Поделив обе части на T и переходя к пределу при T, получим:

(5.0)

где P() называется энергетическим спектром, а точнее спектральной плотностью мощности стационарного случайного процесса.

Таким образом, корреляционная функция стационарного эргодического случайного процесса представляет собой обратное преобразование Фурье его энергетического спектра.

Соответственно этому, справедливо и прямое преобразование Фурье:

(5.0)

Последние две формулы представляют собой суть теоремы, доказанной в 1934 г. известным советским математиком А.Я.Хинчиным и независимо от него американским ученым Норбертом Винером. В теории случайных процессов эта теорема получила название теоремы Винера-Хинчина.

Как было показано, амплитудный спектр реального сигнала представляет собой четную функцию частоты. В соответствии с этим, энергетический спектр реального случайного процесса также функция четная:

P()=P(-).

Четной является также и корреляционная функция стационарного случайного процесса:

R()=R(-).

Вследствие этого, теорема Винера-Хинчина может быть записана по-другому:

(5.0)

(5.0)

Случайные шумовые сигналы, с которыми приходится иметь дело в измерительных устройствах, обычно имеют нулевое математическое ожидание. Корреляционная функция, взятая при нулевом значении аргумента - это дисперсия сигнала:

R(0)=D.

Соответственно этому, для подобных сигналов из последних равенств получим:

(5.0)

Следует отметить различие между энергетическим спектром детерминированного сигнала конечной длительности, размерность которого есть мера энергии, приходящаяся на единичную полосу частот и энергетическим спектром случайного процесса, который характеризует удельную меру мощности.

Поскольку энергетический спектр является всегда вещественной функцией частоты, то по нему принципиально невозможно восстановить какую-либо реализацию случайного процесса.

5.8Случайный сигнал с нормальным законом распределения плотности вероятности (гауссовский процесс)

Нормальный (гауссовский) закон распределения чаще других встречается в природе, нормальный процесс особенно характерен для помех канала связи и он очень удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличается от нормального, часто заменяют гауссовским процессом.

Одномерная плотность вероятности нормального процесса определяется выражением:

(5.0)

и поскольку рассматривается стационарный эргодический гауссовский процесс, то под m_x и _x можно понимать постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной, достаточно длинной реализации случай­ного процесса.

Функция p(x) симметрична относительно среднего значения. Чем больше _x, тем меньше максимум, а кривая становится более пологой, при этом площадь под кривой p(x) равна единице при любых значениях _x.

Рис. 5.15. Нормальное распределение

Широкое распространение нормального закона распределения в природе объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых. Это положение, сформулированное в 1901 г. А.М.Ляпуновым, получило название центральной предельной теоремы.

Вероятность пребывания значения x(t) в интервале от a до b определяется в соответствии с (5.1). Подставляя (5.20) при m_x=0 получаем:

(5.0)

где функция Ф(u) называется интегралом вероятности, ее значения протабулированы и приведены в математических справочниках:

(5.0)

Подставив в (5.21) b/_x=1,2,3 и соответственно a/_x=-1,-2,-3, нетрудно найти вероятность пребывания x(t) в полосах шириной 2_x, 4_x, 6_x, симметричных относительно оси t (0.6826, 0.9544, 0.9973 соответственно).

Следует отметить, что по значениям математического ожидания m_x и СКО _x нельзя судить о поведении во времени функции x(t). Для описания временных характеристик функции x(t) необходимо привлечь двумерную плотность вероятности, позволяющую найти корреляционную функцию. Другой способ - нахождение спектральной плотности мощности случайного процесса.

5.9Взаимная корреляционная функция и взаимная спектральная плотность двух случайных процессов

В этом разделе будем рассматривать стационарные процессы с нулевым средним, поэтому связь между процессами x(t) и y(t) оценивается с помощью взаимной корреляционной функции, определяемой выражением:

R_xy() = M[x(t) y(t+)]

R_yx() = M[y(t) x(t+)] (5.0)

причем подразумевается, что не только сами процессы x(t) и y(t), но и связи между ними стационарны.

Кроме того, имеются ввиду эргодические процессы, поэтому вместо (5.23) можно применить временное усреднение:

(5.0)

(5.0)

Как и для детерминированных сигналов, взаимная корреляционная функция не изменится, если сдвиг на  одной функции заменить сдвигом в обратном направлении другой функции. Поэтому справедливы следующие равенства:

(5.0)

(5.0)

Из последних выражений вытекают следующие соотношения:

R_xy()=R_yx(-)

R_yx()=R_xy(-) (5.0)

Эти равенства не следует смешивать с условиями четности функций. Каждая их взаимных корреляционных функций R_xy() и R_yx() не обязательно четна относительно .

В итоге, корреляция между значениями функций x(t) и y(t) в два различных момента времени, разделенных интервалом , задается корреляционной матрицей:

(5.0)

Пусть, например, рассматривается сумма двух эргодических процессов x(t) и y(t) с нулевыми средними (m_x=0; m_y=0) и требуется определить корреляционную функцию суммарного случайного процесса: s(t) = x(t) + y(t)
при условии что взаимные корреляционные функции стационарны.