Рис. 4.12. Частотная характеристика нечетно-симметричного косинусного фильтра

Все рассмотренные фильтры в системах реального времени задерживают выходные сигналы на N тактов относительно входных. Кроме того, являясь линейно-фазовыми, т.е. обеспечивающими постоянство группового времени запаздывания, нечетные фильтры помимо задержки NT обладают дополнительным фазовым сдвигом /2 для всех частот.

Аналогично рассмотренному способу возможно построение цифровых фильтров других типов - высоких, низких частот, полосноподавляющих (заграждающих).

4. Гауссовская форма Г(f, 2f).

f_d=100, N=20, f₀=20, f=10

Гауссовский имульс c центром в f=0, единичной амплитуды и полушириной f, которая определяется по уровню 1/e от амплитуды импульса (0.606), описывается выражением:

Используя спектральную плотность для одиночного (непериодического) гауссовского импульса, получим:

После четного размещения импульсов на частотах f₀ получим для спектральной плотности:

S_четн() = 2 S() cos(f₀):

После нечетного размещения импульса на частотах f₀ получим для спектральной плотности:

S_четн() = -2j S() sin(f₀) :

Переходя к выборочным значениям спектральной плотности S() для частот =2n/f_d и учитывая множитель 1/f_d, получим искомые коэффициенты разложения C_n в ряд Фурье, по которым определяются коэффициенты четного цифрового фильтра:

Для построения графика частотной характеристики:

Рис. 4.13. Частотная характеристика четно-симметричного фильтра с гауссовской формой

Коэффициенты нечетного цифрового фильтра:

Для построения графика частотной характеристики:

Рис. 4.14. Частотная характеристика нечетно-симметричного фильтра с гауссовской формой

Конечно, проявление эффекта Гиббса при усечении ряда Фурье уменьшает эффективность синтезируемых фильтров. Поэтому находят применение разнообразные сглаживающие (весовые) окна, например, Хемминга, Ханна, Ланцоша и многие другие. Выбор наиболее подходящей сглаживающей функции является компромиссным, позволяя существенно снизить колебательность частотных характеристик цифровых фильтров за счет меньшей избирательности (или скорости перехода от полосы пропускания к полосе подавления) и производится с учетом условий и требований конкретных задач.

5.4 Медианная фильтрация

Из большого класса нелинейных алгоритмов цифровой фильтрации рассмотрим в качестве примера медианные фильтры, которые могут оказаться полезными для борьбы с импульсными помехами и шумами в медико-биологических сигналах и для реставрации изображений.

Алгоритм обработки напоминает фильтры скользящего среднего. Выбирают окно длиной N отсчетов (N обычно берут нечетным), которое перемещается («скользит») вдоль вектора входных данных {x(nT)}. В окне производится упорядочивание чисел (сортировка) в любом направлении – по возрастанию либо по убыванию. В качестве выходного значения фильтра передается медианный (срединный) элемент из упорядоченного текущего окна, т.е. тот, у которого порядковый номер в упорядоченном текущем окне соответствует половине длины окна.

Для получения всех отсчетов выходного сигнала окно последовательно сдвигают вдоль данных, постоянно вновь повторяя операцию сортировки. Иллюстрация хода процесса медианной фильтрации для 10^ти точек данных при окне размером N=3 показана ниже (первая строка – входные данные, вторая строка - выходные, т.е. результат медианной фильтрации):

5 7 3 9 9 6 3 2 3 2

5 7 9 9 6 3 3 2

Видно, что с помощью такого фильтра невозможно обработать (N-1)/2 первых (слева) и столько же последних (справа) данных.

Понятно, что медианные фильтры не используют арифметических операций типа сложения, умножения, деления, а выполняют обработку, используя только инструкции пересылки данных и операции сравнения при сортировке. Это существенно упрощает и ускоряет обработку, что определяет привлекательность медианной фильтрации для задач обработки (реставрации) изображений.

Следует помнить, что медианная фильтрация является нелинейной и для описания таких фильтров неприемлемы линейные методы.

Нелинейность медианных фильтров и их сглаживающие свойства по отношению к импульсным шумам лучше всего видны при совместном рассмотрении импульсной и переходной характеристик.

При анализе реакции медианного фильтра на цифровую δ-функцию обнаруживается, что импульсная характеристика тождественно равна нулю. Но при этом медианный фильтр реагирует на другие входные сигналы. Это указывает на нелинейный характер преобразований. Здесь также видно, почему и как медианный фильтр убирает импульсные помехи протяженностью до половины длины окна.

Подавая на вход медианного фильтра дискретизированную единичную функцию 1(nT), получим ее же на выходе без изменений. Следовательно, медианный фильтр передает ступенчатые сигналы (и фронты сигналов) без изменений, не затягивая их во времени (или в пространстве.

ГЛАВА МЕТОДЫ АНАЛИЗА СЛУЧАЙНЫХ МБС

5.5Основные параметры случайного процесса

Физические процессы могут быть пред­ставлены некоторой совокупностью сигналов. Каждый из сигналов отражает функциональную взаимосвязь определен­ных параметров процесса и является част­­ной характеристикой процесса в целом. Таким образом, сигналы являются носителями информации о некотором физическом процессе.

До получения сигнала его следует рассматривать как случайный, при этом случайный процесс представляет собой совокупность - ансамбль функций, например, времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после получения сигнала, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени.

Важной, но не исчерпывающей характеристикой случайного процесса является присущий ему одномерный закон распределения вероятностей.

Пусть имеется совокупность функций x₁(t), x₂(t), ... x_n(t) образующих случайный процесс X(t). Значения, которые могут принимать отдельные функции в момент времени t=t₁, образуют совокупность случайных величин x₁(t₁), x₂(t₁), ... x_n(t₁).

Вероятность того, что величина x_k(t₁) при измерении попадает в какой-либо определенный интервал (a; b), определяется выражением:

(5.0)

Функция p(x; t₁) представляет собой дифференциальный закон распределения случайной величины x(t₁) и называется одномерной плотностью вероятности, а Pt₁ - интегральной вероятностью.

Функция p(x; t₁) имеет смысл для случайных x непрерывного типа, но при любом характере x должно выполнятся равенство:

(5.0)

где x_min и x_max - границы возможных значений x(t₁). Если же x является случайной величиной дискретного типа, то интеграл вероятности заменяют суммой вероятностей p_i, соответствующих величинам x_i:

Задание одномерной плотности вероятности позволяет произвести статистическое усреднение как самой вели­чи­ны x, так и любой функции f(x). Под статистическим усреднением подразумевается усреднение x по множеству (по ансамблю) в каком-либо "сечении" процесса, т.е. в фиксированный момент времени.

Заметим, что в широком смысле большинство МБС - ЭКГ, ЭЭГ, ЭМГ, РПГ и др., являются случайными сигналами либо изначально, либо вследствие искажения их шумами и помехами, которые возникают в технических средствах измерительно-диагностической медицинской техники либо являются проявлением биологических артефактов.

Для практических приложений наибольшее значение имеют следующие основные параметры случайного процесса:

- математическое ожидание:

(5.0)

- дисперсия D_x:

(5.0)

- среднеквадратическое отклонение _x:

(5.0)

Одномерной плотности вероятности недостаточно для полного описания процесса, так как она дает вероятностное представление о случайном процессе X(t) только в фиксированные моменты времени.

Более полной характеристикой является двумерная плотность вероятности p(x₁,x₂; t₁,t₂), позволяющая учитывать связь значений x₁ и x₂, принимаемых случайной величиной в произвольно выбранные моменты времени t₁ и t₂.

Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является n-мерная плотность вероятности при достаточно больших n.

Однако большое число задач, связанных с описанием случайных сигналов, удается решать на основе двумерной плотности вероятности.

5.6Энергетический спектр случайного процесса

Возьмем, например, несколько одинаковых электронных усилителей, находящихся в одинаковых условиях, и будем наблюдать изменения шумовых напряжений на их выходах. Для любого момента времени t эти напряжения на выходах разных усилителей будут в общем случае различны и непредсказуемы.

К выходному напряжению каждого из усилителей мы можем применить преобразование Фурье и таким образом определить спектр шумового сигнала. Естественно попытаться далее усреднить спектры по всему множеству усилителей, т.е. найти некоторую среднюю спектральную характеристику шумовых свойств усилителей. Но если таких усилителей достаточно много, то вполне может оказаться, что средний спектр близок к нулю.

Дело в том, что если даже амплитуды частотных компонентов на выходах всех усилителей одинаковы, то их фазы наверняка различаются. И если фаза с одинаковой вероятностью может принимать любые значения в промежутке от 0 до 2, то тогда усреднение по всем усилителям и будет давать нулевой спектр.

Здесь уместно вспомнить, что энергетический спектр, как это было показано ранее, не зависит от фазовых соотношений гармоник. Поэтому именно энергетический спектр и применяется для характеристики интенсивности случайных, в частности, шумовых процессов.

Наиболее простой в смысле математического описания, но вместе с тем типичный для многих реальных процессов - это случайный процесс, обладающий свойствами стационарности и эргодичности.

Под стационарностью понимается что характеристики случайного процесса при прочих равных условиях не зависят от того, когда мы наблюдаем этот случайный процесс.

Эргодичность случайного процесса говорит о том, что усреднение по множеству (ансамблю) может быть заменено усреднением по времени. Иначе говоря, вместо того, чтобы усреднять характеристики шума по множеству усилителей, можно просто достаточно долго наблюдать шум одного усилителя и затем найти средние характеристики этого шума.

Замечание: условие эргодичности случайного процесса включают в себя и условие его стационарности.