3.10.Примеры определения спектров простейших непериодических сигналов

3.10.1.Прямоугольный импульс

(3.69)

Рис. 3.1. Прямоугольный импульс

Рис. 3.2. Спектральная плотность

Применяя формулу Error: Reference source not found, находим спектральную плотность:

(3.70)

Заметим, что произведение A_u равно площади импульса и определяет значение спектральной плотности для =0, т.е. . Отсюда Error: Reference source not found по-другому:

(3.71)

Здесь через sinc(_u/2) обозначена функция sin(x)/x, причем известно, что

(3.72)

При расширении импульса П(t,_u) по времени расстояние между нулями функции S₁() сокращается, что равносильно сужению спектра.

Значение S₁(0) при этом возрастает. При уменьшении длительности импульса спектр расширяется, а его амплитуда (масштаб) S₁(0) уменьшается.

В пределе, при _u0 (и при A=const) точки ₁=2/_и, соответствующие двум первым нулям функции , удаляются в бесконечность, а спектральная плотность, беско­нечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот [-; ].

Покажем на рисунках отдельно модуль S₁(), отнесенный к величине S₁(0) (Рис. 3 .3), и аргумент () (Рис. 3 .4) спектральной плотности импульса для _и=1. Первый график можно рассматривать как АЧХ, второй - как ФЧХ спектра прямоугольного импульса.

Рис. 3.3. Модуль спектра

Р

ис. 3.4. Фазовая характеристика

Каждая перемена знака S₁() учитывает­ся на ФЧХ приращением фазы на .

При отсчете времени не от середины импульса, а от его фронта, ФЧХ спектра должна быть дополнена слагаемым _u/2, которое учитывает сдвиг фаз на время _u/2 в сторону запаздывания.

3.10.2.Треугольный импульс

Треугольный импульс в виде четной функции s₂(t) определим как:

(3.73)

Рис. 3.5. Треугольный импульс

Прямое вычисление спектра по формуле Error: Reference source not found хотя и не сложно, но все же несколько громоздко. Для иллюстрации применения теорем о спектрах, приведенных ранее, найдем сначала спектраль­ную плотность для функции, явля­ющейся производной от заданного сигнала s₂(t):

Рис. 3.6. Производная сигнала

Спектральная плотность положительного прямоугольного импульса c длительностью _u/2 и амплитудой 2A/_и, по аналогии с формулой Error: Reference source not found и с учетом сдвига середины импульса на время _u/4 отно­сительно t=0:

Спектральная плотность отрицательного импульса, соответственно:

Суммарная спектральная плотность двух импульсов:

(3.74)

Спектральная плотность треугольного импульса, являющегося интегралом от функции s'₂(t) получается делением преды­дущего выражения на j по Error: Reference source not found:

(3.75)

Амплитуда A_и/2=S₂(0) является площадью прямоугольного импульса.

Р

ис. 3.7. АЧХ треугольного импульса

Полезно отметить, что уровень боковых лепестков спектра треугольного импульса убывает пропорционально 1/², а не 1/, как это было для прямоугольного импульса.

Большая скорость убывания спектра объясняется отсутствием разрывов в рассматриваемой функции.

Аналогичная картина была отмечена при рассмотрении линейчатого спектра периодической последовательности треугольных импульсов. Обобщение этого вопро­са основывается на использовании аппарата дельта-функций.

3.10.3.Колоколообразный - гауссовский импульс

Представленный на импульс определяется выражением:

(3.76)

Рис. 3.8. Гауссовский импульс

Этот импульс по форме совпадает с графиком нормального (гауссовского) закона распределение вероятностей.

Постоянная a имеет смысл половины длительности импульса, определяемой на уровне e^-1/2 от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса равна 2a.

Подставляя Error: Reference source not found, получим:

(3.77)

Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы:

где величина d определяется из условия:

, откуда (3.78)

Таким образом, выражение Error: Reference source not found можно привести к виду:

Переходя к новой переменной , получаем:

Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен , окончательно получим:

(3.79)

где .

Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гаусcовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симмет­рии: для получения одной из них по задан­ной другой достаточно заменить t на  или наоборот. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне e^-1/2 от максимального значения равна:

Гауссовскому спектру:

(3.80)

соответствует Гауссовский импульс:

(3.81)

c длительностью 2/b и амплитудой .

Очевидно, что чем меньше дли­тель­ность импульса _u, тем шире спектральная полоса 2b.

3.10.4.Импульс вида sinc(_m t)

Этот сигнал определяется выражением:

(3.82)

Вместо вычисления спектральной плот­ности воспользуемся свойством взаимо­заменя­е­мости  и t в преобразованиях Фурье для четных функций времени.

Рис. 3.9. Прямоугольный импульс П(t,_и)

Рис. 3.10. Спектральная плотность П(t,_и)

Очевидно, что после замены  на t и t на , заданной функции s₄(t) будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Останется лишь найти площадь этого спектра и его уровень.

Рис. 3.11. Импульс вида sinc(_mt)

Рис. 3.12. Спектр импульса вида sinc(_mt)

Уровень спектра, равномерный в полосе ||_m, проще всего определить по его значению в точке =0, для которой значение S₄(0) равно площади импульса:

3.83

Очевидно (см. Рис. 3 .3), при замене t на  (или наоборот) в данном примере надо сопоставить абсциссу _и=/_m с аналогичной абсциссой _m=2/_и, т.е. _u соответствует 2_m, откуда следует, что 2_m и есть искомая ширина спектра S₄().

Итак, окончательно,

3.84

3.10.5.Группа одинаковых и равноотстоящих импульсов

Рис. 3.13. Группа равноотстоящих импульсов

Спектральную плотность первого импульса в пачке обозначим . Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно первого на время Т в сторону запаздывания, спектральную плотность (на основании (3.59)) можно предста­вить выражением:

для третьего импульса:

и так далее.

Для группы из N импульсов, в соответствии с принципом линейного суммирования спектров, при сложении сигналов спектральная плотность:

(3.85)

На частотах =2k/T, где k -целое число, каждое из слагаемых равно единице и, следовательно,

(3.86)

- для четных k равно единице.

Таким образом, при частотах =k2/T модуль спектральной плотности пачки в N раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что спектраль­ные составляющие различных импульсов с указанными выше частотами складываются с фазовыми сдвигами, кратными 2.

При частотах же , а также при некоторых других частотах, для которых сумма векторов e^-jkT обращается в нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю.

При промежуточных значениях частоты спектр S() определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов.

В качестве примера (Рис. 3 .14) изобразим модуль спектра пачки из трех прямоугольных импульсов при интервале между соседними импульсами T=3_u.

Рис. 3.14. Спектр группы импульсов

Штриховыми линиями показан спектр одиночного импульса. С увеличением числа импульсов в пачке, спектральная плотность все более расщепляется, и в пределе, при N принимает линей­чатую структуру спектра периодической функции.

Примечание: спектральная плотность сигнала является результатом интерференции спектров одиночных импульсов.