28

Глава

7.

МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ

Классический статистический анализ совокупности показателей сводится к рассмотрению каждой отдельной переменной и их попарной взаимосвязи. Такой подход обладает ограниченными возможностями, поскольку выводы относительно совокупности переменных, как правило, не могут быть получены из выводов каждой переменной в отдельности. Многомерный анализ дает возможность получать общие выводы относительно всей совокупности данных. Следует заметить, что большинство многомерных статистик вычисляются значительно более трудоемко, чем их одномерные аналоги. В связи с этим некоторые виды анализа просто невозможны без использования компьютеров.

При теоретическом обосновании в большинстве случае методы многомерного анализа предполагают, что случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение. Это объясняется следующим:

• многие наблюдаемые явления приблизительно описываются многомерным нормальным распределением;

• преобразования некоторых или всех компонент случайного вектора иногда приводит к многомерному нормальному распределению;

• центральная предельная теорема для одной случайной величины распространяется на многомерный случай, т.е. последовательность сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов сходится к многомерному нормальному распределению.

7.1 Математическая теория выбора

Под задачей в канонической форме понимается логическое высказывание вида:

"дано V, требуется W" или < V , W>,

где V - заданные условия, а W - цель.

При постановке задач главное внимание уделяется анализу и выделению множества V, а также определению его желаемых состояний.

Логическое высказывание вида:

"требуется W" < - , W>",

где явно не определены заданные условия называется проблемой. Проблема ставится при определенных условиях, хотя и не выраженных явно. Ее можно рассматривать как неполную постановку задачи и считать, что следующим этапом такой постановки будет опознавание (выявление, конструирование) условий V.

Этот этап выявления условий правомерно также рассматривать в качестве отдельной задачи вида:

"дано < - , W>, требуется < V , W>".

Логическое высказывание:

"дано V, < V , - >",

где явно не определена цель W, называется ситуацией. В обыденном смысле ситуацию характеризуют как "обстановку", совокупность условий, в которых приходится действовать. Однако формулировка ситуации так или иначе, пусть не в явном виде, предполагает цели, в соответствии с которыми выделяются элементы W.

Ситуацию также можно рассматривать как неполную постановку задачи и считать следующим этапом определение цели.

Для этого этапа можно сформулировать задачу вида:

"дано < V , - >, требуется < V , W >".

Проблема и ситуация связаны с задачей двояко (рис.1.). Во-первых, даже при их относительно обособленном рассмотрении мы предполагаем либо наличие каких-то неявных условий, гипотетической ситуации, в которых возникает данная проблема, либо наличия неявно поставленной проблемы или "ориентированной" цели, которая определяет выявление ситуации.

Во-вторых, ситуацию и проблему можно рассматривать как начальные этапы постановки задачи, в которой они взаимно связываются в качестве заданных условий и цели. Переходным этапом является проблемная ситуация. Здесь связь обеих частей задачи предстает в самом общем виде. На данном этапе фигурируют весьма расплывчатые намерения и не ясна указанная цель, размытые множества факторов, а не четко выделенные и согласованные условия. Это скорее гипотеза, в которой взаимно уточняются постановка ситуации и проблемы. От их последующей переформулировки зависит корректность постановки задачи.

Проблемная ситуация

Проблема < - , W>		Решение проблемы << - ,W>,<V, W>>
		
		Проблемная ситуация					Задача <V, W>
		
Ситуация <V, - >		Анализ ситуации <<V, - >,<V, W>>
			Рис.	7.1.

Теория выбора и принятия решений исследует математические модели процессов принятия решений и их свойства. Основой в ней является задача принятия решений, которая соответствует широкому кругу практических ситуаций. Можно рассмотреть множество различных примеров, но общее в них следующее: имеется множество вариантов, нужно выделить из него некоторое подмножество, а в частном случае - один вариант.

Выделение требуемых вариантов производится на основе представления лица принимающего решение (ЛПР) об их качестве. Представление о качестве вариантов характеризуется принципом оптимальности.

Множество вариантов и принцип оптимальности дает возможность классификации задач выбора. Задачей принятия решений называется пара

< V , W >,

где V - множество вариантов;

W - принцип оптимальности.

Решением задачи < V, W > называется множество V*V, полученное с помощью принципа оптимальности W.

Отсутствие хотя бы одного из указанных элементов лишает задачу смысла в целом. Если нет множества V, то выделять решение не из чего. Если нет принципа оптимальности W, то найти решение невозможно. Математическим выражением принципа оптимальности W служит функция выбора С_оп . Она сопоставляет любому подмножеству V*V его часть С_оп(V*). Решением V* исходной задачи < V, W > является множество С_оп(W).

Задачи принятия решений различают в зависимости от имеющейся информации о множестве V и принципе оптимальности W. В общей задаче как V, так и W могут быть неизвестными. Информацию, необходимую для выявления V, получают в процессе решения.

Задача с известным V – является задачей выбора.

Задача с известным V и W является общей задачей оптимизации.

Особенность решения задачи выбора состоит в том, что в общем случае не требуется полного восстановления принципа оптимальности. Ограничиваемся информацией, достаточной для выделения V* .

Общая задача оптимизации может предполагать максимизации одной или нескольких числовых функций. Ее смысл состоит в выделении множества лучших элементов, т.е. в вычислении значения С_оп (W) при заданных V и W. Если С_оп скалярная функция выбора на множестве, то получаем обычную задачу оптимизации.

В практических ситуациях альтернативы обладают многими свойствами, оказывающими влияние на решение. Пусть некоторое свойство альтернатив из к выражается числом, т.е. существует отображение

F: VR¹.

Такое свойство называют критерием, а число f(V) оценкой альтернативы.

Одновременный учет отдельных свойств может быть затруднительным. При этом выделяют группы свойств, которые агрегируют в виде аспектов. Аспект представляет собой сложное свойство альтернатив, которое одновременно учитывает все свойства, входящие в соответствующую группу. В частном случае аспект может являться критерием. Для проведение сравнительного анализа необходимо единообразное представление данных по всем анализируемым объектам, что сводится к введению шкалы. Существует много различных видов шкал, которые можно сгруппировать в три типа: номинальные, порядковые и количественные.

Номинальные шкалы позволяют опознавать, идентифицировать объект. Они исходят из аксиом идентификации:

• A есть B либо A не есть B.

• Если A есть B, то B есть A.

• Если A есть B и B есть С, то A есть С.

Номинальную шкалу также называют идентификационной. Каждый объект попадает в определенный класс. Допустима лишь замена обозначений класса.

Порядковые шкалы позволяют установить порядковые соотношения между объектами, показать, что один объект по какому-то признаку лучше другого либо равноценен ему. Но в этих шкалах нельзя определить меру доминирования. Помимо перечисленных аксиом предполагаются:

• Если A предшествует B, то B не предшествует A.

• Если A предшествует B и B предшествует С, то A предшествует С.

Количественные шкалы позволяют установить количественные соотношения между объектами. В этом случае признак содержит единицу измерения.

7.2 Графические формы представления многомерных данных

При анализе многомерных данных возникает проблема визуализации, так как невозможно простое отображение в пространстве двух измерений (плоскость) пространств большего количества измерений. При этом большое внимание уделяется форме представления. В пакете Statistica существует множество форм, для получения которых формируется экран параметров графика приведенный на рис.2.

Экран определения параметров графика

Рис.

7.2.

Звездный график служит для графического представления многомерных данных, благодаря которому визуально сравниваются различные наблюдения. Каждая звезда отвечает одному из наблюдений из исследуемого набора данных.

Звезда состоит из ряда лучей, проведенных из центральной точки, каждый луч соответствует одной переменной, начиная с положения "3 часа", и двигаясь против часовой стрелки. Самое маленькое значение каждой переменной соответствует самому короткому лучу, а самые большие значения - самым длинным лучам. Поскольку эта процедура строит звезду для каждого наблюдения, ее использование для небольших наборов данных или для подмножеств данных дает самые хорошие результаты.

Statistica. Построение звездного графика выполняется в пункте "Graph>Stat Icons Graph". В качестве исходных данных указываются значения показателей и количество сравниваемых объектов. Так на рис.3. приведен график содержащий показатели объема, коэффициента выпуска, коэффициента технической готовности и других, приведенных на рисунке для выбранной группы автоколонн.

Звездный график объектов

Рис.

7.3.

Из рисунка видно, явное отличие колонн K41, K122, V156 в сторону увеличения практически всех показателей и колонн V153, V154 и K31 в сторону уменьшения практически всех показателей. При сравнении стратегии функционирования автоколонн это дает возможность вводить похожие методы управления для автоколонн с близкими показателями.

График лучей очень похож на звездный график, за исключением того, что на графике лучей положение сторон многоугольника, а не лучи, представляют значения каждой из переменных. Масштаб каждого луча выбирается так, что сторона многоугольника пересекает его в середине значения признака и в точности равно выборочному среднему. Точки пересечения каждого луча отвечают заданному числу стандартных отклонений.

Statistica. Процедуры построения графика выполняется в пункте "Graph>Stat Icons Graph". В качестве параметров указываются те же, что и для звездного графика. На рис.4. приведен график лучей для тех же объектов, что и в звездном графике.

График лучей

Рис.

7.4.

Как и звездные графики, графики лучей позволяют визуально сравнивать показатели эффективности функционирования автоколонн. Результат в данном случае такой же, однако меняется некоторым образом форма визуализации данных.

В пакете Statistica имеется многообразие форм отображения многомерных данных. Эти формы предполагают вариацию цветами, геометрическими образами и другими компонентами. Так, на рис.5. приведены графики полигона и линий.

а)		б)
	Рис.	7.5.

Полученные графики полигона также блики к звездному. Однако график линий дает некоторое другое различие между показателями колонн. При формировании графических образов весьма существенно определить порядок переменных, что даст более информативный образ. Различные формы представления полезны для решения задач классификации и кластеризации (группирования).

7.3 Факторный анализ

Корреляционный анализ определяет структуру зависимости между всевозможными парами показателей. Таким образом, в случае 18 показателей функционирования автоколонн получается 18²=324 коэффициента корреляции. Определяя отдельные взаимозависимости, он не дает структуры общей взаимозависимости всех параметров между собой. Целью факторного анализа является общее представление взаимозависимости. Рассматривается метод построения главных компонент, который определяет прямое преобразование исходной системы показателей в абстрактную, упорядоченную по информативности. Факторный анализ определяет обратное преобразование, т.е. преобразование абстрактных показателей, в исходную систему показателей.

7.4 Главные компоненты

Пусть имеется p случайных многомерных переменных {}^p_i=1. с вектором средних m=(m₁,...,m_p) и ковариационной матрицей D=(_ij). Метод определяет взаимосвязь между переменными {}^p_i=1. Эта взаимосвязь называется структурой зависимости и может быть измерена ковариациями или корреляциями между {}^p_i=1. В некоторых случаях можно найти линейные комбинации {}^p_i=1 переменных {}^p_i=1 , по которым можно получить структуру зависимости, в результате получается сжатое описание структуры зависимости.