3_Регрес (Алексахин С.В., Балдин А.В., Николаев А.Б., Строганов В.Ю. - Прикладной статистический анализ), страница 4

Дисперсия этого условного распределения задается величиной

,

где - множественный коэффициент корреляции.

Квадрат множественного коэффициента корреляции равен доле дисперсии Y "объясненной" регрессионной зависимостью с X₁, ... X_m

.

Итак, множественный коэффициент корреляции определяет меру связности всех независимых переменных с исследуемой характеристикой. Однако, можно при оценке адекватности модели можно исходить и из ошибки прогноза. Т.е. для каждого набора численных значений независимых переменных регрессия дает оценку характеристики. В реальной ситуации поучается разброс, который характеризуется дисперсией. В классической линейной модели, когда дисперсия ошибки неизвестна стоит задача оценивания ее по экспериментальным данным.

Теорема (Оценивание дисперсии). Несмещенной оценкой для ² в невырожденной модели (Y, F, ²I_N) является статистика

,

где - МНК-оценка.

Доказательство:

Действительно, положим . В результате преобразования вектора ошибки в оценку вектора ошибки, как линейное преобразование случайных величин получим

где - матрица линейного преобразования, причем она является идемпотентной матрицей, т.е. для нее выполняются соотношения G=G^T и G²=G, которые показываются элементарными преобразованиями. В результате получаем, что

= .

Для произвольных согласованных матриц справедливо соотношение для следа произведения

A,B: ABBA  trAB=trBA.

Пусть A=I^T и B=G, тогда

.

В результате расчет ооценки дисперсии сводится к вычислению следа матрицы G, или .

Пусть A=F и B=(F^TF)^-1F^T, тогда , что и доказывает утверждение об оценке дисперсии.

Полученная оценка необходима при реализации процедур проверки гипотез.

Проверка гипотезы на равенство параметра регрессии числу a (H₀:=a) имеет альтернативную (H₀:a). В случае a=0 гипотеза H₀ называется гипотезой значимости параметра. Если значение ² известно, то при справедливости гипотезы H₀ статистика

имеет нормальное распределение N(0,1) и может быть выбрана в качестве тестовой статистики для проверки указанной гипотезы.

Если величина ² неизвестна, то она может быть оценена статистикой s². В этом случае при справедливости гипотезы H₀ аналогом предыдущей статистики является

,

которая имеет стандартное распределение Стьюдента с N-m степенями свободы.

Statistica. Для модели прогноза фактических объемов перевозок от всех остальных показателей за предыдущий месяц получим оценки параметров регрессии, приведенные в таблице 5. Кроме оценок, таблица содержит значения t-статистик, которые используются при построении доверительных интервалов с заданным уровнем значимости.

Таблица оценок параметров регрессии

Из таблицы видно, что наиболее точная оценка полученая для коэффициента при KACS (количество автомобилей, работающих по временному тарифу). Коэффициент корреляции при этом получается равным R=0,94. Это достаточно большая величина, что позволяет судить о хорошем прогнозе. Заметим, что прогноз по модели простой регрессии фактических объемов от плановых составлял всего 0,21.

В таблице 6. приведены средние квадраты отклонений и значение F-отношения.

Дисперсионный анализ регрессии одной выделенной колонны

Полученный уровень значимости (p=0,00001) также говорит о наличии существенной зависимости и возможности использования модели прогноза.

На рис.10.а приведены графики прогнозируемых и фактических объемов. На рис.10.б график нормальной вероятности для ошибки прогноза.

График прогноза

Сравнивая с графиком на рис.4. видим существенное повышение точности и равномерности ошибки на всем прогнозируемом интервале. График нормальной вероятности также говорит равномерности распределения ошибки и близости его к нормальному, так как все точки (кроме одной) расположены практически на прямой.

Объяснение полученному прогнозу дает и корреляционная таблица 7., приведенная

Коэффициенты корреляций показателей на объем перевозок

Как видно из таблице, в данном случае максимальный коэффициент корреляции прогнозируемых объемов (TF_N) достигается для KACS (количества автомобилей, работающих по временному тарифу), а не от суммарной грузоподъемности, как этого следовало бы ожидать. Заметим, что для этого параметра в таблице 5. значение t-статистики было также максимальным (3,77).

3.9 Линейные оценки

Наиболее простыми оценками параметров линейной регрессии являются линейные оценки. Свойства таких оценок хорошо изучены и существует множество конструктивных алгоритмов оценивания.