19

Глава

1.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Успех вероятностных идей в науке непрерывно связан с тем, что они позволяют ввести в исследования соответствующих процессов математический образ мышления, опирающийся на развитый математический аппарат. Развитие вероятностных представлений демонстрирует прежде всего силу математики. И именно математическая природа вероятностей во многом определяет ее успех.

Теория вероятностей - одна из наиболее увлекательных и вместе с тем доходчивых отраслей математики. Истоки теории вероятностей, как и многих других наук, были очень скромными, и основатели этой дисциплины, по-видимому не подозревали все значение, которое новую науку ожидало в будущем. Поводом для установления основ теории вероятностей послужили для Паскаля и Ферма задачи, поставленные игроками в азартные игры, в частности, в играх в кости.

В данной главе приводятся необходимые справочные данные по теории вероятностей.

1.1 Случайные величины

Теория вероятностей является основой для статистических процедур. Основные понятия и характеристики теории вероятностей используются в дальнейшем при рассмотрении статистических методов анализа.

1.2 Статистический подход к описанию случайных величин

Опытом называется наблюдение какого-нибудь явления при выполнении некоторого комплекса условий и действий, который каждый раз должен строго выполняться при повторении данного опыта. Наблюдение того же явления при другом комплексе условий и действий будет уже другим опытом.

Количественная характеристика опыта состоит в регистрации какого-либо факта, т.е. в определении того, обладают результаты опыта каким-либо свойством или нет. Любой такой факт называется событием.

Количественная характеристика опыта состоит в определении значений некоторых величин, полученных в результате опыта. Такие величины, которые могут принимать в результате опыта различные значения, причем до опыта невозможно предвидеть, какими именно они будут, называются случайными величинами.

Частотой события называется отношение числа его появлений к числу всех произведенных опытов. Если при n опытах событие A появилось m раз, то его частота в данной серии опытов равна m/n.

Свойства частот:

1) частота достоверного события равна 1;

2) частота невозможного события равна 0;

3) Если события попарно несовместимы, то

Согласно Мизесу частота по мере увеличения числа опытов все меньше и меньше уклоняется от вероятности p и в пределе выполняется соотношение:

.

Это равенство Мизес предлагает считать определением понятия вероятности.

1.3 Аксиоматическое построение теории вероятностей

Аксиоматическое построение основ теории вероятностей отправляется от основных свойств вероятностей, определенных в классическом и статистическом подходе. Аксиоматическое определение вероятностей, таким образом, как частные случаи включает в себя классическое и статистическое определения и преодолевает недостатки каждого из них.

Отправным пунктом аксиоматики Колмогорова является множество , элементы которого называются элементарными событиями. Наряду с  рассматривается система множеств A - подмножеств элементарных событий. Множество подмножеств A называется алгеброй событий A, если выполнены следующие требования:

1) A  A где  - пустое множество;

2) AA A ;

3) AA  BA   ABA  ABA.

Под операциями над случайными событиями понимаются операции над соответствующими множествами. В результате имеется соответствие, приведенное в табл.1.

Таблица

1.1.

Терминологическое соответствие

Обозначение	Теория множеств	Теория вероятностей
	Множеств, пространство	Про-во элементарных событий
	Элемент множества	Элементарное событие
A, B	Подмножество A, B	Случайное событие A, B
A+B = AB	Объединение множеств	Сумма событий
AB	Пересечение множеств	Произведение событий
	Дополнение множества	Противоположное событие
A/B	Разность множеств	Разность событий
	Пустой множество	Невозможное событие
AB=	Множества не пересекаются	События несовместны
A=B	Множества равны	События равносильны
AB	A есть подмножество B	Событие A влечет событие B

Перечислим основные аксиомы:

Аксиома 1. Каждому случайному событию A поставлено в соответствие неотрицательное число P(A)>0, называемое вероятностью.

Аксиома 2. Условие нормировки.

Аксиома 3. (аксиома сложения). Если события A₁,A₂,...,A_n попарно несовместны, то

1. Непосредственно из аксиом вытекают следующие следствия:

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Для любого события A P(A) = 1-P( ).

4. Каково бы ни было случайное событие A 0P(A)1.

5. Если событие A влечет за собой событие B, то P(A) P(B).

6. Теорема сложения для произвольных событий P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

7. Неотрицательность P(AB) дает P(A+B) P(A)+P(B).

Определение. Действительная функция =(), определенная на пространстве элементарных событий (,A,P) называется случайной величиной, если т.е. является измеримой функцией.

1.4 Условная вероятность

Если никаких ограничений при вычислении вероятности P(A) события A, то такие вероятности называются безусловными. Если рассматривается вероятность события A при дополнительном условии, что произошло некоторое событие B, то такие вероятности называются условными и обозначаются P(A|B).

Определение. Условной вероятностью события B при условии A (P(A)>0) называется вероятность:

Для независимых событий имеет место соотношение:

P(AB)=P(A) P(B)

При P(A) P(B)>0 получим P(AB)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).

Предположим, что событие B может осуществиться с одним и только одним из n несовместных событий H₁,H₂, ... ,H_n , образующих полную группу событий. В результате получим .

События BH₁ также несовместимы. В результате по аксиоме сложения вероятностей получим:

.

Использую теорему умножения вероятностей, получим равенство:

,

которое называется формулой полной вероятности.

Использование условных вероятностей дает основу построения процедур классификации в виде формулы Байеса.

Назовем вероятности

P(H_i) - априорными вероятностями;

P(H_i|B) - апостериорными вероятностями.

Согласно теореме умножения вероятностей справедливо равенство:

P(H_iB)=P(B) P(H_i|B)=P(H_i) P(B|H_i),

которое устанавливает связь между априорными и апостериорными вероятностями:

Подставляя в последнее равенство выражение P(B) из формулы полной вероятности, получим:

.

Последнее выражение носит название формулы Байесса.

Общая схема применения этих формул к решению практических задач такова. Пусть событие B может протекать в различных условиях, относительно характера которых может быть сделано n гипотез: H₁, H₂, ... ,H_n. По тем или иным причинам известны вероятности P(H_i) (априорные) этих гипотез до испытаний. Известно также, что гипотеза H_i дает событию B вероятность P(B|H_i). Проведен опыт, в котором событие B наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез H_i. Формула Байеса решает этот вопрос количественно.

1.5 Функция распределения

Для задания случайной величины необходимо знать не только, какие значения она может принимать, но и как часто, т.е. с какой вероятностью она принимает эти значения.

Разнообразие случайных величин весьма велико. Число принимаемых значений может быть конечным, счетным или несчетным; значения могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы сплошь. Для того чтобы задавать вероятности значений случайных величин, столь различных по своей природе, и притом задавать их одним и тем же способом, в теории вероятностей вводится понятие функции распределения случайной величины.

Пусть =() - случайная величина и x - произвольное действительное число.

Определение. Вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньшее чем x, называется функцией распределения случайной величины