ЛЕКЦИЯ 09 (Электронные лекции)

Лекция 9

ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ

И ВОЛОКОННЫЕ ЛАЗЕРЫ

Полупроводниковый лазер отличается тем, что в полупроводниковой среде нет смысла говорить о переходах между энергетическими уровнями отдельных частиц (атомов, молекул, ионов), как это имеет место в других активных средах. Инверсия здесь создается на переходах между состояниями в энергетических зонах полупроводникового кристалла. Эти зоны возникают из-за расщепления уровней энергии валентных электронов атомов, составляющих кристаллическую решетку, в сильном периодическом по пространству поле собственных атомов кристалла.

Поскольку на фоне движения электронов перемещение ядер атомов, составляющих кристаллическую решетку, является малым параметром, уравнение Шредингера для электронов в решетке можно решать в приближении Борна-Оппенгеймера, которое допускает факторизацию волновой функции:

(9.1)

Здесь волновая функция ядер Φ_z определяется усредненным движением электронов, а волновая функция электронов Ψ_e зависит от мгновенного положения ядер. Точность, с которой определяется энергия электрона в приближении Борна-Оппенгеймера, не хуже , где m и M ― масса электрона и ядра соответственно. Легко видеть, что для ядер тех элементов, которые чаще всего составляют кристаллическую решетку полупроводника (галлий, германий, алюминий, мышьяк) это отношение достаточно мало, чтобы не принимать во внимание поправки к значениям энергии, вызываемые отклон
ениями от приближения Борна-Оппенгеймера.

Д
вижение электрона в кристалле зависит, вообще говоря, от состояния движения всех остальных электронов, но, поскольку оно само влияет на это состояние, можно заменить заведомо не решаемое уравнение Шредингера для системы взаимодействующих электронов системой уравнений для одного электрона, движущегося в самосогласованном поле (приближение Хартри-Фока).

Т
акое рассмотрение позволяет представить себе электроны в кристалле как идеальный газ. Но импульс такого «квазисвободного электрона» не совпадает с импульсом электрона, движущегося в вакууме, поскольку потенциальная энергия в кристалле является периодической функцией координат, или обладает трансляционной симметрией. Решение уравнения Шредингера в одноэлектронном приближении для такого случая представляет собой волну Блоха:

(9.2)

где k ― волновой вектор, φ_k(r) ― периодическая функция координат:

, (9.3)

― постоянный вектор трансляции.

При наличии трансляционной симметрии нельзя говорить о сохранении импульса электрона. Приходится вводить отличную от импульса физическую величину (квазиимпульс ), сохранение которой означает коммутацию ее оператора с гамильтонианом . Это, кроме всего прочего, значит, что энергия, являющаяся функцией волнового вектора, является также и функцией квазиимпульса, поскольку собственные функции коммутирующих операторов совпадают:

(9.4)

Согласно принципу соответствия, импульс и квазиимпульс должны быть тождественны при U→const. Оператор квазиимпульса можно записать в виде [ 1 ]:

,

где φ_k(r) ― амплитуда волны Блоха (9.3).

Поскольку энергия является функцией квазиимпульса и волнового вектора, уравнение

Е( )=const

определяет в пространстве квазиимпульсов поверхность, экстремумы которой определяются трансляционной симметрией решетки.

Поскольку нет смысла говорить о принадлежности электронов отдельному ядру (узлу решетки), движение их возможно только в пределах разрешенных энергетических зон.

В наивысшей разрешенной зоне (зоне проводимости) движение электронов можно рассматривать как поступательное, а всю совокупность электронов, энергия которых соответствует зоне проводимости — как электронный газ. Полупроводник, как известно, характеризуется тем, что в зоне проводимости электронов сравнительно мало, из-за наличия промежутка между зоной проводимости и нижележащей валентной зоной, называемого запрещенной зоной (E_g). Если в металлах при нормальных (комнатных ) температурах Eg << k_бT, то каждый атом решетки потерял не менее одного электрона, и концентрация электронов слабо зависит от температуры (второй электрон вырывать из атома можно только при высоких температурах). В полупроводниках же наличие запрещенной зоны Eg  k_бT приводит, во-первых, к тому, что далеко не каждый атом теряет электрон, а во-вторых, к сильной зависимости концентрации электронов проводимости от температуры.

Но проводимоcть полупроводников определяется не только электронами в зоне проводимоcти, а еще и дырками в валентной зоне. Каждый переход электрона через запрещенную зону Eg сопровождается появлением дырки. В состоянии термодинамического равновесия, тем самым, полупроводник не проявляет особо интересных свойств, если не считать сильной зависимости проводимости от температуры. Если же с помощью некоторого внешнего фактора (накачки) создать избыточные по отношению к равновесным носители заряда (электроны или дырки или те и другие вместе), то возвращение к равновесию, то есть рекомбинация носителей, может происходить излучательным путем: энергия, затраченная ранее на генерацию пары дырка-электрон, излучается в виде фотона (см. рис. 9.1):

Рис. 9.1

Зонная структура прямозонного полупроводника (типа GaAs)

Наиболее благоприятны условия для излучательных переходов зона-зона в прямозонных полупроводниках, т.е. таких, которые характеризуются совпадением максимума потенциальной кривой Е( ) для дырок и минимума Е( ) для электронов, т.е. экстремумы энергии в разрешенных зонах достигаются при одном и том же значении квазиимпульса.

Большая вероятность излучательных переходов в прямозонных полупроводниках наряду с обычной для твердотельных активных сред высокой концентрацией активных частиц (в данном случае центров рекомбинации) позволяет получать исключительно высокие коэффициенты усиления — до 10⁴ см^-1. Для сравнения: в газовых лазерах на смеси неона с гелием большим считается усиление 20 см^-1, достигаемое при определенных условиях на переходе 3s₂ – 3p₄ Ne ( = 3,3913 мкм).

Рассмотрим несколько подробнее основной механизм излучательной рекомбинации. В условиях термодинамического равновесия концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне описывается распределением Ферми:

f(E) = ( exp [(E - F) / k_бT + 1] ) ^–1 (9.5)

Здесь F — энергия Ферми, имеющая смысл границы между в основном заполненными и в основном пустыми электронными состояниями. Уровень Ферми F в равновесном состоянии и при отсутствии примесей располагается посредине запрещенной зоны (см. рис. 9.1).

При излучательной рекомбинации полное число актов излучения пропорционально произведению концентраций электронов n и дырок p. При небольших концентрациях этот канал рекомбинации не играет заметной роли. Однако при больших концентрациях (более 10¹⁷ см^-3) он начинает преобладать.

Выделим в спектре электронных состояний два уровня с энергией Е₂ в зоне проводимости и Е₁ в валентной зоне. Скорость излучательной рекомбинации на переходе Е₂  Е₁, имеющая смысл коэффициента Эйнштейна для спонтанного излучения, может быть представлена в виде:

A = A₀ f(E₂)[1 – f(E₁)] (9.6)

где A₀ — коэффициент пропорциональности. Соответственно, коэффициент Эйнштейна для вынужденного излучения представим в виде:

В = В₂ f(E₂)[1 – f(E₁)] – В₁ f(E₁)[1 – f(E₂)] (9.7)

Сообразно смыслу А и В равновесное число фотонов в некоторой излучательной моде подчиняется соотношению:

– = A/B (9.8)

Знак минус означает, что рождение фотона соответствует гибели электронно-дырочной пары. Но фотоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна:

= 2(exp [h / k_бТ] – 1)^-1 (9.9)

Подставляя (9.9) в (9.8) с учетом (9.6) и (9.7) , получим:

exp [h/k_бТ] – 1 = 2 [В₂/ A₀]( [B₁/ B₂] exp [E₂ – E₁/k_бT] – 1 ) (9.10)

Поскольку мы считаем, что фотоны с энергией h являются результатом прямозонной излучательной рекомбинации с уровня Е₂ на уровень Е₁, можно положить h = E₂ – E₁ . Тогда (9.10) превращается в тождество, если только В₂=В₁ – А₀ /2. Это значит, что:

В = А₀ /2 [f(E₂) – f(E₁)] (9.11)

Из (9.11) видно, что для создания инверсии (В>0) необходимо, чтобы f(E₂) > f(E₁), что возможно только при нарушении термодинамического равновесия.

Но что это означает? Это означает, что появление носителей в зонах должно быть обусловлено обязательно отличным от теплового способом, то есть носители должны быть принципиально неравновесными (избыточными). Акт, приводящий к появлению избыточных носителей в разрешенных зонах, называется инжекцией. Время жизни инжектированных носителей, или время установления термодинамического равновесия после акта инжекции, составляет 10^-8 – 10^-9 с. Это время иначе называют временем межзонной термализации. В течение времени, малого по сравнению со временем межзонной термализации, можно рассматривать электронный и дырочный газы по отдельности в квазиравновесных состояниях и вводить для каждого из них свой уровень Ферми (квазиуровни Ферми F_n и F_p). Правомерность такого рассмотрения оправдана тем, что инжектированные носители в зонах очень быстро (за время порядка 10^-13 сек) приходят в квазиравновесное состояние (внутризонная термализация) с распределением типа Ферми.

Используя обозначения квазиуровней Ферми F_n и F_p, можно записать (9.11) в виде (см. рис. 9.1):