ЛЕКЦИЯ 05 (Электронные лекции)

ЛЕКЦИЯ 5

ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ. МЕТОД ФОКСА И ЛИ

5.1. Резонатор и проблема дифракционных потерь.

Очевидно, что кроме создания положительной обратной связи, необходимой для выполнения условия самовозбуждения и перехода в автоколебательный режим, резонатор оказывает влияние на характеристики лазерного излучения. Для выяснения этого влияния геометрических соображений недостаточно.

Полагая (см. Л2), что между плоскопараллельными круглыми зеркалами распространяется плоская волна, мы записывали условие резонанса как условие стоячей волны и , соответственно, получали оценку добротности такого резонатора. Допустим теперь, что внутри симметричного резонатора длиной l, радиусом зеркала а и отражением от зеркал по интенсивности R могут распространяться волны, падающие на зеркала не нормально, а под небольшим углом. Если такая плоская волна успеет отразиться (1/1–R) раз, прежде чем выйдет за пределы отражающих дисков, то соответствующий резонанс будет обладать примерно вдвое меньшей добротностью, чем для нормально падающей волны (см. рисунок 5.1).

Следовательно, угол

 = 2a(1 – R)/l (5.1)

является предельным углом, ограничивающим направления распространения волн в резонаторе, соответствующих колебаниям с высокой добротностью.

Рассуждение допускает сильную нестрогость, поскольку игнорирует дифракционные потери на краях зеркал. Простейший учет этих потерь, приводящий к необходимости введения затухания резонатора, можно провести так. Введем некоторый эквивалентный коэффициент потерь  :

dI/dz = – I (5.2)

Удобно записать  = A/l, где А — коэффициент потерь энергии за один проход между зеркалами. Введем плотность энергии  = I/c и, аналогично Л2, учтем, что dz = cdt. Тогда получим уравнение для  :

d/dt = – (Ac/I) (5.3)

имеющее экспоненциальное решение:

 = ₀ exp(– t/_эфф) (5.4)

где обозначено:

_эфф = l/Ac = 1/c (5.5)

Время _эфф называют временем жизни фотона в моде. Можно связать _эфф с добротностью резонатора:

^(5.6)

где Т_ — период собственных колебаний рассматриваемой моды, причем для всех устойчивых мод резонатора Т_ << _эфф.

Конечно, вопрос о существовании устойчивых мод резонатора тесно связан с дифракционными потерями. При каждом акте прохождения излучения между зеркалами и отражения от зеркал дифракционные потери препятствуют возвращению в резонатор полной энергии излучения в соответствии с коэффициентом отражения R. Следовательно, резонатор типа Фабри-Перо с конечными размерами зеркал вообще не должен создавать устойчивых пространственных конфигураций поля, если оставаться в рамках геометрических представлений, т.е. трактовать поле в резонаторе в виде плоской волны с постоянной амплитудой.

Закономерен вопрос: можно ли при учете дифракционных потерь все-таки найти такое распределение поля в резонаторе (разумеется, отличающееся от канонической плоской волны), что при большом числе проходов оно будет воспроизводиться, то есть возможно ли стационарное состояние поля при учете дифракционных потерь? Ответ — положительный — на этот вопрос был впервые дан в 1961 г. Фоксом и Ли, проделавшими итерационный расчет с применением принципа Гюйгенса-Френеля.[1].

5
.2. Принцип Гюйгенса-Френеля. Интеграл Френеля-Кирхгофа.

Световую волну будем описывать комплексной амплитудой

v =А exp i(ωt+φ), (5.7)

где А – амплитуда световой волны, а экспонента описывает колебания с круговой частотой ω и фазой φ.

Предположим, что нам известно распределение по поверхности S (рисунок 5.2) комплексных амплитуд световой волны v(s), распространяющейся вправо, а комплексные амплитуды волны за пределами поверхности S равны 0. Тогда в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля комплексная амплитуда волны v(Q) в произвольной точке Q, отстоящей от поверхности на расстояние r в направлении под углом θ по отношению к нормали к поверхности S будет суперпозицией вторичных сферических волн, исходящих из поверхности S с соответствующими комплексными амплитудами.

В этом случае комплексная амплитуда световой волны в точке Q может быть рассчитана по формуле Френеля-Кирхгофа:

v(Q) = (ik/4π) v(s) (e^-ikr/r) (1 + cos θ) ds (5.8)

г
де k= 2π/λ — постоянная распространения световой волны(волновое число).

При рассмотрении резонаторов в качестве поверхности S естественно взять поверхность зеркала резонатора. В этом случае, если мы каким-либо образом узнаем распределение амплитуды поля волны на одном из зеркал резонатора, то мы сможем по формуле (5.8) рассчитать, каким будет распределение поля для волны, прошедшей через резонатор ко второму зеркалу.

В этом случае с учетом двумерности поверхности зеркала формула Френеля-Кирхгофа может быть записана в виде:

v₂(х₂,y₂) = (ik/4π) v(х₁,y₁) (e^-ikr/r) (1 + cos θ) dx₁dy₁, (5.9)

где х₁,y₁, х₂,y₂  линейные координаты в плоскости первого и второго зеркал, а r и θ зависят от всех четырех координат.

Будем рассматривать резонатор с одинаковым зеркалами. B этом случае формула (5.9) будет справедлива как для прямого, так и для обратного прохода. Символически эту формулу можно записать в виде:

v_р+1(х₂,y₂)= Ŵv_р(х₁,y₁), (5.10)

где v_р(х₁,y₁) — распределение поля на зеркале 1 после p проходов;

v_р+1(х₂,y₂) — распределение поля на зеркале 2 после p+1 прохода;

Ŵ — оператор (функционал) формулы Френеля-Кирхгофа, описывающий исследуемый резонатор.

Из (5.9) следует, что оператор Ŵ ― линейный, то есть для любых двух функций v_i и v_k справедлива формула:

Ŵ(α_iv_i + α_kv_k ) = α_iŴv_i + α_kŴv_k , (5.11)

где α_i и α_k ― произвольные константы.

Двойной интеграл в (5.9 — 5.11) можно представить в качестве произведения двух одномерных интегралов, каждый из которых зависит только от одной координаты. Поэтому далее будем рассматривать одномерные интегралы.

5.3 Собственные функции и собственные типы колебаний.

Прямое использование формулы (5.9) бессмысленно: первоначальное распределение поля в волне определяется спонтанными фотонами и поэтому произвольно, а световая волна проходит расстояние между зеркалами гораздо быстрее, чем мы можем рассчитать происходящие с при этом с ее распределением изменения. Нас же интересуют установившиеся распределения поля световой волны u_m на зеркалах резонатора, которые не меняют своей формы от прохода к проходу. Математически это означает, что действие оператора Ŵ на функцию u_m, описывающую такое распределение, может быть заменено умножением этой функции на комплексную постоянную γ_m:

Ŵ u_m = γ_m u_m. (5.12)

В этом случае функция u_m называется, как известно, собственной функцией оператора, а γ_m ― собственным значением для данной собственной функции. Типы колебаний, описываемые собственными функциями, называются собственными типами колебаний (модами). Индекс m поставлен потому, что число собственных функций оператора Ŵ бесконечно. Нумерацию установим по мере убывания модуля собственного значения |γ_m|.

Поскольку полное двумерное распределение факторизуется, т.е. описывается произведением двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

u_mn (x,y) = u_m(x) u_n(y),

соответственно и собственное значение будет равно произведению двух собственных значений:

γ_mn = γ_m γ_n.

Условие (5.10) можно рассматривать как интегральное уравнение для собственных функций.

Заметим, что собственные функции могут быть вырожденными, то есть иметь равные собственные значения.

Можно показать, что система собственных функций оператора Ŵ полна, т. е. любую произвольную функцию v, описывающую возможное распределение поля в резонаторе можно представить в виде линейной комбинации собственных функций:

v = k₁ u₁ + k₂ u₂ + k₃ u₃ +… = (5.13)

Для зеркал круглой формы проще вести рассмотрение в цилиндрических координатах. При этом будет получена другая система собственных функций, также являющаяся полной.

В соответствии с (5.12) можно записать однократное и многократное действие оператора Ŵ на произвольную функцию:

Ŵv = Ŵ Σ k_i u_i = ΣŴ k_i u_i= Σ k_i γ_i u_i . (5.14)

(Ŵ)^pv = (Ŵ) ^p Σ k_i u_i = Σ(Ŵ)^p k_i u_i= Σ k_i γ_i^p u_i (5.15)

Из (5.15) видно, что по мере увеличения числа воздействий p оператора на функцию (в нашем случае эти воздействия эквивалентны однократному проходу излучения в резонаторе) основную роль начинают играть не первоначальные коэффициенты разложения k_i, а собственные значения γ_i^p, возводимые в степень числа воздействий. При достаточно большом числе проходов, независимо от первоначального вклада, основную роль будет играть первая собственная функция, характеризующаяся максимальной добротностью:

Σ k_i γ_i^p u_i → k₁ γ₁^p u₁ при p → ∞

Физический смысл этого утверждения понятен ― из порождаемой спонтанными фотонами первоначальной световой волны с произвольным распределением комплексной амплитуды после достаточно большого числа проходов остается собственное колебание, обладающее наименьшими потерями, то есть самое добротное.

Таким образом, задавая произвольное первоначальное распределение и осуществляя численное интегрирование (5.9) можно найти наиболее добротную собственную функцию u₁, соответствующую установившемуся в резонаторе распределению. Кроме этого, определяется и соответствующее собственное значение γ₁.

Мнимая часть собственного значения определяет набег фазы, который испытывает описываемая комплексной амплитудой волна за проход резонатора:

Im(Ln γ_mn) = α_mn + kL. (5.16)

Здесь выделен «геометрический» набег фазы, соответствующий расстоянию между зеркалами.

Для собственных колебаний набег фазы за обход резонатора должен быть равен целому числу π :