22

Лекция 3.

4. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГРУПП. КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА

В предыдущем разделе мы познакомились с дисперсионным анализом, который позволяет проверить значимость различий нескольких групп. Однако на практике часто необходимо сравнивать только две группы. В этом случае можно применить критерий Стьюдента, который является частным случаем дисперсионного анализа.

Критерий Стьюдента очень популярен, однако необходимо помнить, что он предназначен для сравнения именно двух групп, а не нескольких групп попарно. Ошибочное применение этого критерия увеличивает вероятность выявить несуществующие различия.

Рассмотрим принцип метода.

4.1. Критерий Стьюдента для выборок одинакового объема

Как известно, точность выборочной оценки среднего характеризуется стандартной ошибкой среднего , где n – объем выборки, σ – стандартное отклонение совокупности, из которой извлечена выборка.

С увеличением объема выборки стандартная ошибка среднего уменьшается, следовательно уменьшается и неопределенность в оценке выборочных средних. Поэтому уменьшается и неопределенность в оценке их разности.

Рассмотрим отношение:

Для двух случайных выборок, извлеченных из одной нормально распределенной совокупности, это отношение, как правило, будет близко к нулю. Чем меньше (по абсолютной величине) t, тем больше вероятность нулевой гипотезы. Чем больше t, тем больше оснований отвергнуть нулевую гипотезу и считать, что различия статистически значимы.

Для нахождения величины t нужно знать разность выборочных средних и ее ошибку. Вычислить разность выборочных средних нетрудно — просто вычтем из одного среднего другое. Сложнее найти ошибку разности. Для этого обратимся к более общей задаче нахождения стандартного отклонения разности двух чисел, случайным образом извлеченных из одной совокупности.

Можно доказать, что дисперсия разности двух случайно извлеченных значений равна сумме дисперсий совокупностей, из которых они извлечены (дисперсия суммы двух случайно извлеченных значений также равна сумме дисперсий совокупностей, из которых они извлечены).

В частности, если извлекать значения из одной совокупности, то дисперсия их разности будет равна удвоенной дисперсий этой совокупности. Говоря формально, если значение х извле­чено из совокупности, имеющей дисперсию σ_х², а значение y из совокупности, имеющей дисперсию σ_y², то распределение всех возможных значений x - y имеет дисперсию:

σ_х-y² = σ_х²+ σ_y².

Чтобы оценить дисперсию разности членов двух совокупностей по выборочным данным, нужно в приведенной выше формуле заменить дисперсии их выборочными оценками:

s_х-y² = s_х²+ s_y².

Этой формулой можно воспользоваться и для оценки стандартной ошибки разности выборочных средних. В самом деле, стандартная ошибка выборочного среднего — это стандартное отклонение совокупности средних значений всех выборок объемом п. Поэтому

Тем самым, искомая стандартная ошибка разности средних

Теперь мы можем вычислить отношение t.

(12)

Если ошибку среднего выразить через выборочное стандартное отклонение, получим другую запись этой формулы:

(13)

где n – объем выборки.

Если обе выборки извлечены из одной совокупности, то выборочные дисперсии s₁² и s₂² – это оценки одной и той же дисперсии σ². Поэтому их можно заменить на объединенную оценку дисперсии. Для выборок равного объема объединенная оценка дисперсии вычисляется как

Значение t, полученное на основе объединенной оценки

Если объем выборок одинаков, то оба способа вычисления дадут одинаковый результат. Если объем выборок разный, то это не так.

Критические значения t зависят не только от уровня значимости, но и от числа степеней свободы ν. Если объем обеих выборок n, то число степеней свободы для критерия Стьюдента равно ν=2(n-1).Чем больше объем выборок, тем меньше критическое значение t. Так как чем больше выборка, тем меньше выборочные оценки зависят от случайных отклонений и тем точнее представляют исходную совокупность.

4.2. Критерий Стьюдента для выборок различного объема

Критерий Стьюдента легко обобщить и на случай, когда выборки различного объема. Воспользовавшись исходной формулой (12) и зная, что

где n₁ и n₂ соответственно объемы 1-й и 2-й выборок, s₁ и s₂ – стандартные отклонения выборок. Тогда формула для t выглядит следующим образом:

(14)

Объединенная оценка дисперсии для выборок объема n₁ и n₂ равна

Тогда

(15)

Это определение t для выборок произвольного объема. Число степеней свободы в этом случае .

ЗАДАЧИ

4.1. В одной из работ исследователи определили среднее артериальное давление и общее периферическое сосудистое сопротивление при операциях на открытом сердце с галотановой (9 больных) и морфиновой (16 больных) анестезией. Результаты приведены в табл. Можно ли утверждать, что в группах галотановой и морфиновой анестезии эти гемодинамические показатели раз­личаются статистически значимо?

Показатели гемодинамики при галотановой и морфиновой анестезии

4.2. Кокаин чрезвычайно вреден для сердца, он может вызвать инфаркт миокарда даже у молодых людей без атеросклероза. Кокаин сужает коронарные сосуды, что приводит к уменьшению притока крови к миокарду, кроме того, он ухудшает насосную функцию сердца. Нифедипин (препарат из группы антагонистов кальция) обладает способностью расширять сосуды, его применяют при ишемической болезни сердца. Исследователи предположили, что нифедипин можно использовать и при поражении сердца, вызванном кокаином. Собакам вводили кокаин, а затем нифедипин либо физиологический раствор. Показателем насосной функции сердца служило среднее артериальное давление. Были получены следующие данные.

Среднее артериальное давление после приема кокаина, мм от. ст.

Влияет ли нифедипин на среднее артериальное давление по­сле приема кокаина?

4.3. В процессе исследования измеряли также диаметр коронарных артерий после приема нифедипина и плацебо. Позволяют ли приводимые ниже данные утверждать, что нифедипин влияет на диаметр коронарных артерий?

Диаметр коронарной артерии, мм

РЕШЕНИЯ

4.1. Для среднего артериального давления t = -1,97, для общего периферического сосудистого сопротивления t = -1,29. Число степеней свободы в обоих случаях ν = 23, при а = 0,05 ему соответствует критическое значение t=2,069. Следовательно, раз­личия обоих гемодинамических показателей статистически не значимо.

4.2. t = 3,14; ν = 20; Р < 0,01. Различия статистически значимы, однако, вопреки первоначальным предположениям, нифедипин не повышает, а снижает артериальное давление.

4.3. Нет. t = 1,33; ν = 20; Р > 0,05. Нифедипин не влияет на диаметр коронарных артерий