Занятие 2. Интегрирование систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (Семинарские занятия)

Занятие 2. Интегрирование систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Общее решение. Фундаментальная система решений. Интегрирование систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений методом вариации постоянных.

Линейные однородные системы. Нормальная линейная однородная система n-го поря да имеет вид

(1)

Или в матричной форме

(2)

В области непрерывности коэффициентов a_ij(t), i, j = 1, .... n, система (1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Фундаментальной системой решений системы (1) называется со­вокупность произвольных n линейно независимых решений , k = 1, 2, ..., n.

Если , k = 1, 2, ..., n, − фундаментальная система решений системы (1), то общее решение имеет вид , где C₁, C₂, ..., C_n − произвольные постоянные.

В частном случае систем с постоянными коэффициентами, когда матрица А(t) в правой части (2) не зависит от t, для отыскания фундаментальной системы решений , k = 1, 2, ..., n, могут быть использованы методы линейной алгебры.

Из характеристического уравнения

(3)

находятся различные корни λ₁, λ₂, ..., λ_n, и для всякого корня λ (с учетом его кратности) определяется соответствующее ему частное решение .

При этом возможны следующие случаи:

а) λ − действительный корень кратности 1. Тогда , где − собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению λ.

б) λ − комплексный корень кратности 1. Тогда корнем характеристического уравнения (3) является также сопряженное с λ число Вместо комплексных частных решений и следует взять действительные частые решения и .

в) λ − корень кратности r ≥2. Соответствующее этому корню решение системы (1) ищется в виде вектора

(4)

коэффициенты которого , i = l, ..., n; j = 1, ..., r, определяются из системы линейных уравнений, получающейся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях t в результате подстановки вектора (4) в исходную систему (1).

Линейные неоднородные системы. Нормальная линейная неоднородная система дифференциальных уравнений имеет вид

(5)

где по крайней мере одна из функций f_k(t) не равна тождественно нулю. В матричной форме система (5) имеет вид

(6)

Если известна фундаментальней система Х_k(t), k = 1, 2, ..., n, решений однородной системы (2), то общее решение X(t) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Именно, полагая , приходим к системе уравнении относительно :

Из этой системы находим и, интегрируя, получаем функции C_k(t) с точностью до произвольных постоянных. Подставляя их в , получаем искомое общее решение неоднородной системы.

Ее an коэффициенты a_ij(t) системы (5) постоянны, а функции f_i(t) имеют вид произведений

(Р(t) cos βt + Q(t) sin βt)e^αt (7)

где Р(t) и Q(t) − многочлены, то частное решение X_ч(t) можно найти методом неопределенных коэффициентов, записав X_ч(t) в виде, аналогичном (7), с учетом совпадения или несовпадения чисел α ± βi с корнями характеристического уравнения.

Следует иметь в виду, что если k − наибольшая степень многочленов Р(t) и Q(t) в (7) и λ = α + βi − корень кратности r характеристического уравнения, то частное решение X_ч(t) ищется в виде

Физический смысл нормальной системы. Для простоты ограничимся рассмотрением системы двух дифференциальных уравнений, причем будем считать, что независимая переменная t есть время:

(8)

Решение х = φ(t), y = ψ(t) этой системы есть некоторая кривая в плоскости Оху с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат. Плоскость Оху называется фазовой плоскостью, а кривая х = φ(t), y = ψ(t) − фазовой траекторией системы (8).

Сама система (8) называется динамической системой. Динамическая система называется автономной (стационарной), если в правые части уравнений этой системы время t не входит явным образом.

Динамическая система определяет поле скоростей движущейся в плоскости точки ъ любой момент времени t. Решение динамической системы x = x(t), у = у(t) − это уравнения движения точки: они определяют положение движущейся точки в любой момент времени t. Начальные условия задают положение точки в начальный момент: x(t₀) = x₀, у(t₀) = y₀. Уравнения движения определяют также и траекторию движения, будучи уравнениями этой кривой в параметрической форме.

Устойчивость. Рассмотрим систему уравнений

, i = 1, ..., n (9)

или, в векторной записи

, (10)

Пусть все f_i и непрерывны при t₀ ≤t < ∞.

Решение х = φ(t) системы (11) называется устойчивым по Ляпунову, если дли любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всякого решения x(t) той же системы, начальное значение которого удовлетворяет неравенству

|x(t₀) − φ(t₀)| < δ (11)

при всех t ≥ t₀ выполняется неравенство

|x(t) − φ(t)| < ε

Если же для некоторого ε > 0 такого δ не существует, то решение φ(t) называется неустойчивым.

Решение φ(t) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения с достаточно близкими начальными условиями неограниченно приближаются к φ(t) при , т.е. если из неравенстве (11) следует .

Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора t₀.

Вопрос об устойчивости данного решения х = φ(t) системы (10) сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения y(t) = 0 другой системы, получаемой из (2) заменой искомой функции х − φ(t) = y.

Исследовать на устойчивость решения следующих уравнений и систем уравнений:

Справедливо следующее утверждение: если все корни характе­ристического уравнения системы (6) имеют отрицательные действи­тельные части, то точка покоя системы (6), а также исходной' системы (5) асимптотически устойчива; если хотя бы о тип из корней характеристического уравнения системы (6) имеет положительную действительную часть, то точка покоя системы (6) (и системы (5)) неустойчива.

Говорят, что в этих случаях возможно исследование системы (5) на устойчивость по первому приближению. В остальных случаях такое исследование, вообще говоря, невозможно, так как начинает сказываться влияние членов 2-го порядка малости.