PART_3_4 (Электронные лекции)

§2. Свойства преобразования Радона

Для определения свойств преобразования Радона используем формулу (1.5) как наиболее удобную.

1. Если даны две функции с константами , тогда преобразование Радона будет иметь следующий вид:

1. Пусть дана функция - сдвинутая, тогда

Отсюда видно, что преобразование Радона зависит от направления и величины сдвига.

1. Свойство однородности преобразование Радона

Преобразование f(p,) есть однородная функция со степенью однородности 1, т.е.

Нетрудно заметить, что при :

, т.е. преобразование Радона есть четная функция.

1. Связь между преобразованием Радона и преобразованием Фурье.

Одним из важнейших свойств преобразования Радона является его связь с преобразованием Фурье.

Ограничимся для двухмерного преобразования.

Из формулы следует, что фурье-образ проекции представляет собой спектр функции f(x,y) вдоль прямой , проходящий через начало координат в частотной плоскости под углом . Он является одновременно центральным сечением двумерного фурье-образа функции f(x,y).

§3. Представление функции через ее преобразование Радона

Решение задачи восстановления функции из ее интегралов по гиперплоскостям было впервые получено Радоном. При этом было показано, что формулы, выражающие функцию f(x), различны для пространств четной и нечетной размерности. Мы приведем различные представления указанных формул без доказательств.

Преобразование Радона имеет формулу обращения, которая для двумерной функции f(x,y)представляется в виде:

• э тот знак означает, что интеграл берется в смысле главного (регуляризованного) значения.

В смысле регуляризованного значения:

, где r,  — координаты в реконструированной области.

Это выражение представляет собой свертку всех проекций с некоторой функцией, а за ним интегрирование по углу. Т.е. варьируются все углы, таким образом, мы должны просуммировать все проекции, затем продифференцировать, для чего нужно знать значения в 2-х соседних точках.

В трехмерном случае интегрирование идет по плоскостям. В этом случае формула имеет вид:

, при этом единичный вектор и определяется выражением:

, где  — полярный, а  — азимутальный углы. - контур в виде окружности единичного радиуса.

Для трехмерного случая, для определения значения f в точке необходимо знать интегралы по плоскостям, проходящие через точку x, и по бесконечно близким плоскостям, а в двумерном случае — необходимо знать интегралы по всем прямым.

Раздел II. Методы восстановления двумерных томограмм по одномерным проекциям

Рассмотрим методы восстановления томограмм двумерных объектов, описываемых функцией f(x,y) по их одномерным параллельным проекциям.

В этом случае направление проецирования определяется одним параметром – углом между осями p и x.

В настоящем параграфе рассмотрим алгоритмы, основанные на
интегральных преобразованиях, и определим набор тех операций над проекциями, которые необходимы для восстановления томограмм. Реализация указанного класса алгоритмов в оптических системах наиболее перспективна, так как одно из основных достоинств оптических процессоров — простота выполнения интегральных преобразований.

Алгоритмы используемые в медицинской компьютерной томографии, достаточно специфичны для каждого типа томографа.

§1. Инверсное преобразование Радона

Формула обращения Радона может быть преобразована к виду:

Для ее вычисления необходима следующая последовательность
операций:

1. в одном канале каждая проекция «сглаживается», т. е. выполняется операция одномерной свертки с функцией . В другом канале проекции остаются без изменения. Далее все операции над проекциями одинаковы в обоих каналах;

2. каждая проекция поворачивается в плоскости ху на соответствующий
   угол ;

3. все повернутые проекции «растягиваются» в направлении, перпендикулярном оси р, т. е. реализуется переход от одномерной функции к двумерной . Эта операция носит название обратного проецирования;

4. в обоих каналах преобразованные проекции суммируются (интегрируются по );

5. вычисляется разность изображений, полученных в каждом из каналов.

Достоинством данного алгоритма можно назвать то, что на всех этапах вычисления томограммы преобразуемые функции положительные, и поэтому первые четыре операции могут быть выполнены как в когерентной, так и в некогерентной оптической системе. Недостатком данного алгоритма является двухканальность обработки проекций.

§2. Метод фурье-синтеза

Выполним одномерное преобразование Фурье над обеими частями уравнения (1.6): (2.1)

В полярной системе координат запишем спектр проекций (разбиваем на две части):

Тогда выражение (2.1) будет соответствовать теореме о центральном слое:

Отсюда следует, что искомая томограмма f(x,y) получается простым обратным преобразованием Фурье:

(2.2)

Имеем Фурье – образы всех проекций, это одномерные функции, их записываем в системе координат по двумерной плоскости и берем двумерное преобразование Фурье. Данный алгоритм почти не применяется в рентгеновских томографах.

§3. Метод суммирования фильтрованных обратных проекций

Подставим в (2.2) выражение (2.1) для фурье-образа проекции, поменяв порядок интегрирования по p и , получим:

Рассмотрим внутренний интеграл, для этого введем функцию:

представляем фурье-образ от , заменяя, получим:

(2.3)

где , где g – промежуточная переменная.

Операция свертки проекций с функцией h(p) называется фильтрацией и обозначается «волной».

Фильтрованная проекция - это суммарная по углу. Но была зависимость от p а стала зависимость от x и y.

Обратное проецирование – оператор одного переменного p – в функцию двух переменных (x,y).

На Рис.1.3 схематично изображена фильтрующая функция h(p) и ее частотный фильтр ||.

Таким образом, для восстановления томограмм необходимо выполнить следующие операции:

1. одномерная фильтрация каждой проекции фильтра h(p) – называется  - фильтрацией проекции;

2. поворот фильтрованной проекции в плоскости xy на соответствующий угол ;

3. замена координаты p на . Эта операция называется обратным проецированием, так как она в некотором смысле обратна операции получения проекций. Каждая одномерная проекция при этом как бы «растягивается» в направлении, перпендикулярном оси p.

4. Суммирование всех фильтрованных обратных проекций

§4. Метод фильтрации суммарного изображения

Окончательный результат:

нетрудно показать, что суммарное изображение S(x,y), представляет собой свертку искомой томограммы.

, где - значок двумерной свертки.

Таким образом, суммарное изображение S(x,y) представляет собой низкочастотный вариант томограммы, так как фильтр ослабляет ее высокие пространственные частоты. Это приводит к «размытию» мелких деталей на суммарном изображении.

Процесс восстановления томограмм является линейным. Этот факт можно использовать для анализа алгоритмов восстановления томограммы.

Предположим, что исследуемый объект описывается двумерной  - функцией, поэтому фильтрованная проекция совпадает с самим фильтром h(p).

Следовательно, томограммой такого объекта будет суммарное изображение (2.3) из обратных проекций фильтра:

Исходя из линейности процесса синтеза томограммы, можно сделать вывод, что томограмма объекта f_h(x,y), восстановленная с помощью фильтра h, связа с исходной функцией f(x,y), свертки функции q(x,y), т.е.

Таким образом, возможно получение линейного изображения.

Если взять , то

Таким образом, функцию q можно считать импульсным откликом процесса восстановления томограмм. По ее виду, полуширине и т.п. можно судить о качестве восстановления.