PART_2 (Электронные лекции)

§5. Борьба с помехами при реконструкции изображения

1. Эвристический метод

Поняли, что при реконструкции изображения идет увеличения шума. Следовательно, появляются ложные пространственные частоты. Их нужно подавить.

В первую очередь были разработаны эвристические методы решения задачи реконструкции изображения. Для рассмотрения процесса реконструкции изображения в присутствии шумов представим процесс формирования изображения и его последующей реконструкции в виде последнего воздействия двух линейных систем на входной сигнал. Пусть имеется входной сигнал f(x), он входит в систему формирования изображения с импульсным откликом h, следовательно, на выходе q(x), который будет сверткой линейных систем

h(x)

h_ВОССТ(x)

h (x) – реконструирующая система

После реконструкции получаем:

Чтобы реконструкция была идеальной, необходимо, чтобы h (х)=(х), тогда

Точная реконструкция изображения, когда (x) (x) будет, если L (х)=(х). Или если мы применим преобразование Фурье: Н () получаем идеальную передаточную функцию (идеальное изображение).

В
частотной области или получаем идеальную передаточную функцию (идеальное изображение).

при

Следовательно, возможно бесконечное увеличение шума. Для его ограничения вводится граничная частота и некоторая частота среза с (- ; ) эквивалентно ограничению пределов интегрирования при обратном преобразовании Фурье. Поэтому вводят индикаторную

, Следовательно

Ограничение полосы частот промежутком (- ; ) эквивалентно ограничению пределов интегрирования при обратном преобразовании Фурье.

Увеличение ведет к увеличение шума, а уменьшение ведет к невозможности восстановления высоких частот, т.е. изменяя значения можно изменять соотношение между качеством восстановления и величиной шума. ( шум  качество), поэтому изменим функцию

На отрезке (- ; )  , а на углах она закругляется и на , как показано на рисунке. Введение функции К() является компромиссом между уменьшением шума и увеличением качества на высоких частотах.

функция К() – сглаживает любые точки выброса и имеет разные виды.

Таким образом можно бороться и с неоднозначностью и с единственностью решения. Функция К() получила название “окна” (окна Чебышева, окна Хейминга, окна Гаусса).

Эвристика: каждый ученый подбирал фильтр для своей задачи. Это определялось видом передаточной функции, спектральными характеристиками сигнала, шумами.

У К() всегда есть параметр, например, у фильтра Гаусса ; изменяя уравнение и параметр, можно найти свой фильтр. Умножение передаточной функции инверсного фильтра на К() соответствует отысканию сглаженного решения f(x). При выборе формы весовых функций (окон) часто требуется не только хорошая аппроксимация функции , но и такое сгибание этой функции (наклон), при котором передаточная функция стремится к нулю при _с. Это необходимо, чтобы не получить большого усиления помехи.

У эвристического метода 2 недостатка:

1. Чтобы найти оптимальный фильтр нужно перебрать много фильтров и параметров

2. Неизвестно, когда остановиться, т.е. нет критерия качественности изображения.

Для того, чтобы исключить недостатки эвристического метода, и формализовать метод решения таких задач, Тихонов предложил метод регуляризации (метод регуляризации Тихонова).

2. Метод регуляризации Тихонова

Стремление избавиться от произвольных факторов и определить общие методы решения некорректно поставленных задач привело к разработке метода регуляризации решения и понятия регулирующего оператора. Регуляризация решения состоит в построении семейства обратных операторов, зависящих от некоторого числового параметра  (параметр регуляризации).Каждый оператор семейства дает решение корректной задачи, причем при  ошибка в измерениях данных  одновременно, реконструируемое изображение стремится к истинному решению (к объекту).

1. Регуляризация решения уравнения типа свертки

Запишем уравнение типа свертки

Решение:

Тихонов ввел функцию:

‑ некий оператор, воздействующий на q(x),эквивалентно введению К().

Чтобы найти точное решение, нужно найти условия, которым должна удовлетворять функция R(,).

Свойства, которым должна отвечать функция R(,):

Оператор является регуляризирующим, если функция R удовлетворяет следующим условиям:

1. R(,) должна быть определена на всей частотной оси для в области , (на всей вещественной оси)

2. Для любого и ;

3. Для любых : R(,)-четная по ,

4. Для любых : R(,) при  

5. При : R(,)1 не убывая (не может быть колебаний и осцилляций и функция должна возрастать)

6. Для любых : (иначе не посчитаем обратное преобразование Фурье)

7. Для любых 0: R(,)0 при .

Все свойства интуитивно понятны. Если “окно” не будет удовлетворять этим условиям, то не будет решения, т.е. ограничен класс выбора функций. Функция R(,), удовлетворяющая этим условиям, называется стабилизирующим множителем.

R(,) можно представить в виде:

Удобно изменять , как отдельную функцию.  ‑ просто число, которое изменяется от 0 до .

Такому R(,) соответствует передаточная функция восстанавливающего фильтра:

.

Q()- неотрицательная четная функция, которая отвечает свойствам:

1. Q()0, при 0

Q(0)0

1. Q(0)с0 при   :

Если мы используем такую функцию Q(), то можем получить некий стабилизатор R(,). Простейший вид Q():

Вид функции r0

Тихонов доказал теорему, что решение

то перебирая  от 0 до , обязательно найдется решение, минимизирующее разницу между ƒ и q:

,

А- стабилизирующий функционал, который зависит от  и Q.

Нужно, чтобы изображение от объекта отличалось на конечную величину. Тихонов доказал, что при выборе  перебором, можно добиться наличия устойчивого решения.

Реально процедура реконструкции объекта с использованием регуляризации Тихонова строится следующим образом:

1. Выбирается некий стабилизатор Q; как правило 0, строится по этому алгоритму решение.

2. После выбора Q, значение параметра регуляризации находится по невязке, если мы оцениваем отклонение правой части уравнения в метрике , то невязка определяется следующей формулой:

.

А – оператор формирования изображения, − реконструированное изображение, q – зарегистрированное изображение.

Сейчас при помощи невязки рассчитывается среднеквадратичное отклонение между изображением, измеренным в процессе наблюдения, и изображением, полученном в системе в предположении, что объектом является функция .

Нужно, чтобы невязка была min.

Тихонов доказал, что если следовать его процедуре, то всегда существует , при которой невязка min. Как правило: =0,52.

Если все подобрано правильно, то невязка равна среднеквадратичному отклонению функции G().

‑ среднеквадратичная погрешность измерения изображения.

Есть один частный случай метода регуляризации Тихонова: винеровская оптимальная фильтрация.

1. Винеровская оптимальная фильтрация

Определим вид стабилизирующего множителя R в случае, когда при решении задачи реконструкции изображения используется дополнительная априорная информация о статистических характеристиках изображения и шума.

Точные решения и изображения: .

Но на самом деле измеряем: .

И есть априорная информация о спектральных плоскостях изображения и шума: .

Оказалось, что из этих априорных информаций можно найти:

.

Если сравнить эту формулу с предыдущей (решение Тихонова), увидим, что здесь:

,

не зависит от  и .

К сожалению, спектр плотности объекта изображения в медицине почти не известен (Винер выводил свое уравнение для радиосигнала).

Достоинства винеровской фильтрации:

1. нет зависимости от ,

2. Четко задано Q()

Оптимальный фильтр Винера позволяет получить изображение, близкое к истинному, в смысле минимального среднеквадратичного отклонения при условии, что спектр плотности мощности изображения и шума априорно известны.

1. Выводы к I-ой части

Методы реконструкции изображений, представляющие собой некорректную задачу, решаются только при привлечении априорной информации о классе исследуемых объектов и характере искажения. Поэтому и называется реконструкцией при присутствии априорной информации.

Наименование метода	Передаточная функция	Стабилизирующий множитель	Вид частотной характеристики
Инверсная фильтрация без ограничения		1
Инверсная фильтрация с ограничением полосы		1,  0, 
Регуляризация решения методом Тихонова
Фильтрация “окном”	К(,)	К(,)
Оптимальная фильтрация (Винера)