Московский Государственный Технический Университет им. Н. Э. Баумана

Кафедра ИУ5, Системы обработки информации и управления

Принял:

" " 2013 г.

____________________________

(Кузовлев В.И.)

КУРСОВАЯ РАБОТА

"Исследование методов резервирования систем"

по разделу

"Модели и методы оценки надежности автоматизированных систем"

курса

"Надёжность и достоверность"

Вариант 26

Выполнил:

студент группы ИУ5-104

Шевченко Р.В.

Москва, 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 3

1 Невосстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью 4

1.1 С нагруженным резервом. 4

1.1.1 Расчетно-логическая схема системы. 4

1.1.2 Граф состояний системы. 4

1.1.3 Расчет основных характеристик системы. 4

1.1.4 Выводы. 8

1.2 Система с частично нагруженным резервом. 9

1.2.1 Расчетно-логическая схема системы. 9

1.2.2 Граф состояний системы. 9

1.2.3 Расчет основных характеристик системы. 9

1.2.4 Выводы. 13

1.3 Система с ненагруженным резервом 14

1.3.1 Расчетно-логическая схема системы. 14

1.3.2 Граф состояний системы. 14

1.3.3 Расчет основных характеристик системы. 14

1.3.4 Выводы. 17

1.4 Сравнение характеристик невосстанавливаемых резервированных систем с дробной кратностью. 18

2 Восстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью при ограниченном ремонте 21

2.1 Система с нагруженным резервом. 21

2.1.1 Расчетно-логическая схема системы. 21

2.1.2 Граф состояний системы. 21

2.1.3 Расчет основных характеристик системы. 21

2.1.4 Выводы. 34

2.2 Система с частично нагруженным резервом 35

2.2.1 Расчетно-логическая схема системы. 35

2.2.2 Граф состояний системы. 35

2.2.3 Расчет основных характеристик системы. 35

2.2.4 Выводы. 49

2.3 Система с ненагруженным резервом 51

2.3.1 Расчетно-логическая схема системы. 51

2.3.2 Граф состояний системы. 51

2.3.3 Расчет основных характеристик системы. 51

2.3.4 Выводы. 63

2.4 Сравнение характеристик восстанавливаемых резервированных систем с дробной кратностью при ограниченном ремонте 65

3 Заключение 66

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 67

ЗАДАНИЕ

Для заданных расчетно-логических схем систем:

1. Получить методами интегральных, дифференциальных уравнений и методом графов (не менее чем двумя методами) для указанных в задании типов систем общие соотношения и расчетные формулы для критериев надежности систем: вероятности безотказной работы P(t), среднего времени безотказной работы m_t, коэффициента готовности К_г, наработки на отказ , среднего времени восстановления , вероятности успешного использования системы R(t) = К_г*P(t).

2. Рассчитать для указанных в задании параметров по полученным соотношениям критерии надежности систем.

3. Исследовать влияние на надежность систем:

а) интенсивности отказов – P(), m_t(), k_г(), m _tв(), R();

б) интенсивности отказов при облегченном режиме работы системы – P(₀), m _t(₀); m _tв(₀), k _г(₀), R(₀);

в) интенсивности восстановления – P(), m _t(), k _г(), R();

г) числа резервных блоков для различных типов резерва – P_г(S), P_т(S), P_х(S), m _tг(S), m _tт (S), m _tx(S), k _г(S), R(S), P_г,т,х(S), mt_г,т,х (S), mtв_г,т,х , kг_г,т,х(S), R_г,т,х(S)

1. Провести сравнение по вероятности безотказной работы, среднему времени безотказной работы, коэффициенту готовности:

а) резервированной и не резервированной систем – P_нр(t), P_p(t), m_t,нр, m _{t, р}, K _гнр, K _гр, m _{t в},_нр, m_tв,р;

б) различных типов резерва – kг_г,т,х , mtв_г,т,х , P_г,т,х(t), m_t,г,т,х

в) целой и дробной кратности – Р_ц(t), P_g(t), m _tц, m _tg, k _г,ц, k_г,g

г) восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем – P_в(t), P_нв(t), m _tв, m _tнв.

Исходные данные.

Вариант	Типы систем	t[час]	[1/час]	[1/час]	0[1/час]	W	S
26	3абв, 8абв	8760	5*10-2	1*10-2	1*10-2	3	2

Типы систем.

1. Невосстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью (схема 3):

а) с нагруженным резервом;

б) с частично нагруженным резервом;

в) с ненагруженным резервом.

1. Восстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью при граниченном ремонте (схема 8):

а) с нагруженным резервом;

б) с частично нагруженным резервом;

б) с ненагруженным резервом.

1. Невосстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью

   1. С нагруженным резервом.

      1. Расчетно-логическая схема системы.

Рис. 1.1.1. Схема надежности невосстанавливаемой резервированной системы с дробной кратностью и нагруженным резервом.

Основными являются элементы 1 – 3, резервными – 4, 5.

Считается, что для работы системы необходимо три работающих элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в горячем резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1. Граф состояний системы.

За состояния системы примем количество неисправных элементов системы, тогда граф состояний системы примет следующий вид:

Состояния 0~2 – рабочие;

Состояние 3 – состояние отказа.

1. Расчет основных характеристик системы.

Для определения вероятности безотказной работы составим систему дифференциальных уравнений, соответствующих состояниям системы:

Нормировочное условие:

В начальный момент времени все элементы системы находятся в работоспособном состоянии: , , , .

Применим преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнений полученной системы:

Преобразуем систему:

Воспользуемся программой Mathcad для применения обратного преобразования Лапласа. Система примет вид:

1. Вероятность безотказной работы системы.

P(t) = 1 – P₃(t).

Подставив заданные значения , , получим:

На самом деле вероятность не будет равна нулю, просто Mathcad не может обрабатывать числа с абсолютной величиной меньше 10^-307. Для получения какого-либо значения изменим значение с на , получим:

Далее везде будем использовать в расчётах только значение . Зависимость вероятности безотказной работы от времени работы системы представлена на рисунке 1.1.2.

Рис. 1.1.2. Зависимость вероятности безотказной работы от времени работы системы.

1. Среднее время безотказной работы.

Подставив заданные значения λ=0.0005, получим:

Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов представлена на рисунке 1.1.3.

Рис. 1.1.3. Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов.

Зависимость среднего времени безотказной работы от интенсивности отказов представлена на рисунке 1.1.4.

Рис. 1.1.4. Зависимость среднего времени безотказной работы от интенсивности отказов.

1. Выводы.

Из полученных графиков следует, с увеличением интенсивности отказов элементов также уменьшается вероятность безотказной работы системы.

С увеличением интенсивности отказов уменьшается также среднее время безотказной работы.

Для заданных значений и были получены следующие значения критериев надежности системы:

ч.

Среднее время безотказной работы получилось примерно в 5,59 раз меньше заданного времени работы. Вероятность того, что система будет работоспособна к заданному времени равна практически 0,000019.

1. Система с частично нагруженным резервом.

   1. Расчетно-логическая схема системы.

Рис. 1.2.1. Схема надежности невосстанавливаемой резервированной системы с дробной кратностью и частично нагруженным резервом.

Основными являются элементы 1 – 3, резервными – 4, 5.

Считается, что для работы системы необходимо три работающих элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в теплом резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1. Граф состояний системы.

За состояния системы примем количество неисправных элементов системы, тогда граф состояний системы примет следующий вид:

Состояния 0~2 – рабочие;

Состояние 3 – состояние отказа.

1. Расчет основных характеристик системы.

Составим по графу состояний систему дифференциальных уравнений:

Нормировочное условие:

Начальные условия: , , , .

Применим преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнений полученной системы:

Преобразуем систему:

Опять воспользуемся программой Mathcad для применения обратного преобразования Лапласа для последнего уравнения системы:

Вероятность безотказной работы системы: P(t)=1 – P₃(t)

Подставив заданное значение λ=0.0005, t=8760. λ₀=0.01 заменим на λ₀=0.0001 т.к. до этого изменили λ чтоб у нас бы частично нагруженные элементы не ломались чаще нагруженных. Получим:

Зависимость вероятности безотказной работы от времени работы системы представлена на рисунке 1.2.2.

Рис.1.2.2. Зависимость вероятности безотказной работы от времени работы системы.

Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов основных элементов () и частично нагружаемых (λ0) представлены на рисунке 1.2.3 и рисунке 1.2.4 соответственно.

Рис.1.2.3. Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов основных элементов.

Рис.1.2.4. Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов частично нагружаемых элементов.

1. Среднее время безотказной работы:

При заданных значениях λ=0.0005, λ0=0.001 получим:

Зависимость среднего времени безотказной работы от интенсивности отказов основных элементов () и частично нагружаемых элементов(λ0) представлены на рисунке 1.2.5 и рисунке 1.2.6 соответственно: