Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э.Баумана

Принял:

" " 2002 г.

____________________________

(Кузовлев В.И.)

КУРСОВАЯ РАБОТА

"Исследование методов резервирования систем"

по разделу

"Модели и методы оценки надежности автоматизированных систем"

курса

"Модели оценки качества АСОиУ"

Вариант 17

Выполнил:

" " 2002 г.

____________________________

(Ткачев Ю.В. ИУ5-101)

Москва 2002

ЗАДАНИЕ 3

1. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМАЯ РЕЗЕРВИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ЦЕЛОЙ КРАТНОСТЬЮ 4

1.1. Система с нагруженным резервом 4

1.1.1. Расчетно-логическая схема системы 4

1.1.2. Граф состояний системы. 4

1.1.3. Расчет основных характеристик системы. 4

1.1.4. Выводы. 7

1.2. Система с частично нагруженным резервом 8

1.2.1. Расчетно-логическая схема системы 8

1.2.2. Граф состояний системы. 8

1.2.3. Расчет основных характеристик системы 8

1.2.4. Выводы. 12

1.3. Система с ненагруженным резервом 13

1.3.1. Расчетно-логическая схема системы 13

1.3.2. Граф состояний системы. 13

1.3.3. Расчет основных характеристик системы 13

1.3.4. Выводы. 16

1.4. Сравнение характеристик невосстанавливаемых резервированных систем с целой кратностью 17

2. Восстанавливаемая резервируемая система с ДРОБНОЙ кратностью при ограниченном ремонте 19

2.1. Система с нагруженным резервом 19

2.1.1. Расчетно-логическая схема 19

2.1.2. Граф состояний системы 19

2.1.3. Расчет основных характеристик системы 19

2.1.4. Выводы 34

2.2. Система с частично нагруженным резервом 36

2.2.1. Расчетно-логическая схема 36

2.2.2. Граф состояний системы 36

2.2.3. Расчет основных характеристик системы 36

2.2.4. Выводы 54

2.3. Система с ненагруженным резервом 56

2.3.1. Расчетно-логическая схема 56

2.3.2. Граф состояний системы 56

2.3.3. Расчет основных характеристик системы 56

2.3.4 Выводы 71

2.4. Сравнение характеристик восстанавливаемых резервированных систем с дробной кратностью при ограниченном ремонте 73

Список литературы 74

ЗАДАНИЕ

Для заданных расчетно-логических схем систем:

1. Получить методами интегральных, дифференциальных уравнений и методом графов (не менее чем двумя методами) для указанных в задании типов систем общие соотношения и расчетные формулы для критериев надежности систем: вероятности безотказной работы P(t), среднего времени безотказной работы m_t, коэффициента готовности К_г, наработки на отказ , среднего времени восстановления , вероятности успешного использования системы R(t) = К_г*P(t).

2. Рассчитать для указанных в задании параметров по полученным соотношениям критерии надежности систем.

3. Исследовать влияние на надежность систем:

   1. интенсивности отказов - P( ), m_t( ), К_г( ), , R( );

   2. интенсивности отказов при облегченном режиме работы системы - P( ), m_t( ), Кг( ), , R( );

   3. интенсивности восстановления - P( ), m_t( ), К_г( ), R( );

   4. числа резервных блоков для различных типов резерва - P_г,т,х(s), m_{t г,т,х} (s), Кг_г,т,х (s), m_tBг,т,х, R_г,т,х (s).

4. Провести сравнение по вероятности безотказной работы, среднему времени безотказной работы, коэффициенту готовности

   1. резервированной и нерезервированной систем - P_р,нр, m_{t р,нр}, Кг_р,нр, _р,нр;

   2. различных типов резерва - P_г,т,х, m_{t г,т,х}, Кг_г,т,х, _г,т,х;

   3. восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем - P_в,нв, m_{t в,нв}, Кг_в,нв, _в,нв.

Типы систем:

1. Невосстанавливаемая резервированная система с целой кратностью:

   1. с нагруженным резервом;

   2. с ненагруженным резервом;

   3. с частично нагруженным резервом.

2. Восстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью при ограниченном ремонте:

1. с нагруженным резервом;

2. с ненагруженным резервом.

Исходные данные (для схем 2 а,б,в, 8 а,б,в):

t [ч]	[1/ч]	[1/ч]	[1/ч]	W	S
4	0,8	0,05	0,4	5	3

1. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМАЯ РЕЗЕРВИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ЦЕЛОЙ КРАТНОСТЬЮ

1.1. Система с нагруженным резервом

1.1.1. Расчетно-логическая схема системы

Считается, что для работы системы достаточно наличие хотя бы одного работающего элемента.

1.1.2. Граф состояний системы

В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Граф состояний системы имеет вид:

3λ

λ

2λ

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.1.3. Расчет основных характеристик системы

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Из этой системы получим Р_i(t):

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Вероятность безотказной работы системы

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

Для заданных значений t = 4 ч и = 0.8 1/ч .

Зависимость вероятности безотказной работы от времени работы представлена на графике:

Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов λ предоставлена на графике:

Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданного значения λ = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 2.292ч.

Зависимость среднего времени безотказной работы от интенсивности отказов приведена на графике:

1.1.4. Выводы

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.

2. При увеличении интенсивности отказов λ вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.

3. При увеличении интенсивности отказов λ время безотказной работы уменьшается.

4. Для заданных значений интенсивности отказов = 0.8 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы .

5. Для заданного значения = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы m_t составляет 2.292 ч, что меньше заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью лишь 0.117 к заданному времени система будет находиться в работоспособном состоянии.

Система с частично нагруженным резервом

1.2.1. Расчетно-логическая схема системы

Считается, что для работы системы необходим один работающий элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в теплом резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1.2.2. Граф состояний системы

λ+2λ₀

λ

λ+λ₀

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.2.3. Расчет основных характеристик системы

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Из этой системы получим Р_i(t):

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Вероятность безотказной работы системы

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t) = 1-P₃(t)

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и ₀ = 0.4 1/ч P_сист = 0.184.

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа резервных элементов λ₀ представлена на графике:

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа нагруженных элементов λ представлена на графике:

Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданного значения λ=0.8 1/ч и λ₀=0.4 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 2.708ч.

Зависимость среднего времени безотказной работы P(t) от интенсивности отказов резервных элементов λ₀ приведена на графике:

Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов нагруженных элементов λ приведена на графике:

1.2.4. Выводы

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.

2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.

3. При увеличении интенсивности отказов нагруженных элементов  вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.

4. При увеличении интенсивности отказов частично нагруженных элементов ₀ вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.

5. При увеличении интенсивности отказов нагруженных элементов  среднее время безотказной работы уменьшается.

6. При увеличении интенсивности отказов частично нагруженных элементов ₀ среднее время безотказной работы уменьшается.

7. Для заданных значений интенсивностей отказов λ = 0.8 1/ч, λ₀ = 0.4 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 0.184.

8. Для заданных значений интенсивностей отказов λ = 0.8 1/ч и λ₀ = 0.4 1/ч среднее время безотказной работы m_t составляет 2.708 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 0.184 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.

Система с ненагруженным резервом

1.2.1. Расчетно-логическая схема системы

Считается, что для работы системы необходим один работающий элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в холодном резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1.2.2. Граф состояний системы

λ