МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э.БАУМАНА

Кафедра ИУ5

Отчёт

по лабораторной работе №4

по курсу «Анализ временных рядов»

«Адаптивные модели экспоненциального сглаживания нестационарных временных рядов»

Выполнил:

студент группы ИУ5-114

Шевченко Р.В.

Дата:_______________

Подпись:___________

Проверил: Лабунец Л. В.

____________________

Москва 2013

Цель работы

Изучить модели линейного темпа изменения сезонных составляющих на основе процедур экспоненциального сглаживания.

Задачи работы

1. Изучить модель простой экспоненциальной срежней и ее параметров для формирования тренда и краткосрочного прогноза НВР;

2. Изучить модель линейного темпа изменения Хольта для формирования тренда НВР;

3. Изучить модели экспоненциального сглаживания Тейла-Вейджа и Винтерса для моделирования сезонных составляющих НВР.

Теоретическая часть

Экспоненциальное сглаживание – простой и эффективный метод усреднения по времени ФВР для оценки его основных статистик. Модель экспоненциальной скользящей средней(EMA-Exponential Moving Average) имеет вид линейного разностного уравнения первого порядка.

Свойства EMA

1. Спектральные:

Реализуется регуляризационный принцип Тихонова-Филлипса. При формировании моделей всегда нужно ориентироваться на реально существующее количество степеней свободы модели, которые описывают скрытую закономерность. Тихонов в классе моделей заданной тоности предлагает выбирать самую простую. Должны присутствовать два штрафа: за ошибку и за сложность. Они взвешиваются, мы можем влиять на модель весами. Линейный дифференциальный оператор – критерий сложности.

1. Целевая функция

Смысл формулы - в каждом классе с заданным квадратом ошибки выбрать наиболее гладкую. Первая разность характеризует гладкость модели. Максимально гладкая модель – уникальная возможность выбрать тренд.

1. Оценка запаздывания. Способ Эйлера.

1. Моделирование тренда

,

Долговременная память:

Модель обладает длинной памятью. Сглаживание происходит по большому промежутку. Модель достаточно гладкая.

1. Краткосрочный прогноз

,

Модель обладает очень короткой памятью.

1. Незапаздывающая модель тренда Эйлера

,

- форма, которая компенсирует запаздывание.

Модель линейного темпа изменения рынка Хольта-Брауна

Модели, адекватно описывающие нестационарное сглаживание должны быть по определению адаптивными (параметры модели должны пересчитываться при изменении исходных данных)

1. Прогноз рынка на 1 шаг времени (локально-линейный тренд)

1. Алгоритм Хольта адаптации параметров локально-линейного тренда

Модель адаптации Хольта реализует процесс простого экспоненциального сглаживания.

x(n) – зашумлённая оценка рынка. Подавление шума основано на экспоненциальном сглаживании. При этом предыдущие значения рынка определяются локально-линейным прогнозом.

α₁ и α₂ – параметры сглаживания.

a₁ – медленный процесс.

a₂ – быстрый процесс

1. Алгоритм Хольта в терминах ошибки прогноза рынка на 1 шаг времени

Алгоритм Хольта рационально делать на 1 шаг прогноза, т.к. сложность вычислений значительно уменьшается.

Для инициализации модели Хольта нужны a₁(0) и a₂(0).

Основной недостаток: требуется рассчитать 2 параметра.

Сезонные модели экспоненциального сглаживания.

1. Аддитивно-сезонный цикл Тейла-Вейджа:

1. Прогноз рынка на 1 шаг времени

Сезонный цикл – квазипериодичный сезонный ряд, т.е.

1. Алгоритм Тейла-Вейджа адаптации параметров сезонного цикла

1. – с параметром сглаживания , ошумлённая, обновление значения а_1.

Шумы возникают из-за того, что мы точно не знаем значение c(n), а брали c(n-T), то есть приближённое значение.

- сам моделируемый процесс – средняя цена рынка

1. – сезонный цикл, самые короткие периоды

1. Алгоритм Тейла-Вейджа в терминах ошибки прогноза рынка на 1 шаг времени

Шаг 0:

Инициализация. Выбрать параметры сглаживания , , и начальные значения: n=T, , , , c(k), k=0;(T-1)

Шаг 1:

Вычислить прогноз рынка на 1 шаг времени

Шаг 2:

Вычислить ошибку прогноза рынка на 1 шаг времени

Шаг 3:

Корректировать среднее значение рынка за 1 шаг времени

Шаг 4:

Корректировать темп изменения рынка за 1 шаг времени

Шаг 5:

Корректировать средний цикл за 1 шаг времени

Шаг 6:

Цикл по времени n=n+1.

Идти к шагу 1.

1. Мультипликативный сезонный цикл Винтерса

1. Прогноз рынка на 1 шаг времени

1. Алгоритм Винтерса адаптации параметров сезонного цикла

Практическая часть

Исходные данные:

Модель простой экспоненциальной средней

График нашего НВР выглядит так:

Добавляем наш ряд в окно экспоненциального сглаживания:

Additive – аддитивная сезонная компонента Тейла-Вейджа.

Multiplicetive – мультипликативная сезонная компонента модель Винтерса.

Первая строчка – локально-постоянная модель тренда.

Вторая строка – локально-линейная модель тренда.

Третья строка - локально-экспоненциальная модель тренда.

Смысл адаптации экспоненциального сглаживания – параметры (средняя цена рынка, темп измененпия цены рынка за олин шаг времени) модели обновляются по мере поступления новых данных.

При малых значениях альфа моделируется тренд. Альфа большое – вес ошибки маленький, вектор гладкости маленький. Получаем краткосрочный прогноз. Исходя из принципа регуляризации.

Получаем простую скользящую среднюю и за основу берем локально-постоянную модель тренда. Средняя цена рынка будет изменяться. Эффективный временной интервал сглаживания равен: α=2/(K+1) => K=2/альфа-1

1. Возьмем α=0,050

Модель неадекватно оценивает поведение рынка

Произведём линейную аппроксимацию данных на ранних этапах

Модель неплохо описывает первые 2 года, но дальше прогноз становится далёким от реальности.

121 – средняя цена рынка на предприятии

0,97 – темп изменения рынка за один мес

Устанавливаем начальные значения в окне экспоненциального сглаживания

Среднняя цена рынка -121:

Оценка получается правдоподобной:

Lag = (1-α)/α = ~(K-1)/2

Любая скользящая средняя – цифровой фильтр. Она запаздывает. В данном случае на 19 шагов. Сдвинем полученный график на 19 шагов назад:

Получили следующий результат:

График удалили. На рабочей панели появилась еще одна запись (третья). Построили все 3 графика на одном поле:

1. α=0,5 – краткосрочный прогноз

Исправили запаздывание на 1 шаг времени:

Модель Хольта

В окне сглаживания вбираем локально-линейную модель тренда:

Получаем следующий результат:

Немного поправив масштабы осей, получаем:

Сохраняем модели обоих трендов:

Теперь суммируем:

Вычисляем остаток:

Строим все 3 графика

Модель Винтерса

Дельта – параметр сглаживания сезонного компонента

Получили следующий результат:

Прогноз явно занижен. С этим надо побороться. Надо прологарифмировать исходный ряд:

Строим график и модель на нём по аналогии с прошлым построением

.

Модель Тейла-Вейджа

Результат:

Сохраняем таблицу и добавляем переменную. Потом экспоненту от неё:

И в итоге строим график для v2, v5, v6, v9:

Выводы

В результате проделанной работы были изучены модели линейного темпа изменения сезонных составляющих на основе процедур экспоненциального сглаживания.

В теории были рассмотрены Свойства EMA, модель линейного темпа изменения рынка Хольта-Брауна и сезонные модели экспоненциального сглаживания в числе которых аддитивно-сезонный цикл Тейла-Вейджа и мультипликативный сезонный цикл Винтерса.

В ходе работы была изучена модель простой экспоненциальной средней и ее параметров и далее сформирован тренд и краткосрочный прогноза НВР. Далее в ходе работы была построена модель линейного темпа изменения Хольта для формирования тренда НВР и собственно по ней построен тренд. В заключении построены модели экспоненциального сглаживания Тейла-Вейджа и Винтерса моделирующие сезонные составляющие НВР.

Список литературы

1. Лабунец Л.В. Конспект лекций по курсу «Анализ временных рядов», 2012.

2. Боровиков В. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов. – СПб.: Питер, 2003. – 688 с., ил.

3. Э.Е. Тихонов. Методы прогнозирования в условиях рынка: учебное пособие. – Невинномысск, 2006. – 221 с.

22