lr4 (Лабораторная работа №4)

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Кафедра ИУ5, Системы обработки информации и управления

Лабораторная работа №4

по предмету «Анализ временных рядов»

Адаптивные модели экспоненциального сглаживания нестационарных временных рядов

Выполнил:

студент группы ИУ5-114(9)

Сидякин А.А.

Проверил:

Лабунец Л.В.

Москва, 2013

Лабораторная работа №4

Адаптивные модели экспоненциального сглаживания нестационарных временных рядов.

Цель работы: изучить модели линеного темпа изменения Хольта и сезонных составляющих на основе процедур экспоненциального сглаживания.

Задачи работы:

1. изучить модель просто экспоненциально средней, её параметры для формирования тренда и краткосрочного прогноза НВР;

2. изучить модель линейного темпа изменения Хольта для формирования тренда НВР;

3. изучить модели экспоненционального сглаживания Телора-Венжа и Винконса для моделирования сезонных составляющих НВР.

Экспоненциальное сглаживание – простой и эффективный метод усреднения по времени ФВР для оценки его основных статистик. Модель экспоненциальной скользящей средней(EMA-Exponential Moving Average) имеет вид линейного разностного уравнения первого порядка.

Свойства EMA

1. Спектральные:

Реализуется регуляризационный принцип Тихонова-Филлипса. При формировании моделей всегда нужно ориентироваться на реально существующее количество степеней свободы модели, которые описывают скрытую закономерность. Тихонов в классе моделей заданной тоности предлагает выбирать самую простую. Должны присутствовать два штрафа: за ошибку и за сложность. Они взвешиваются, мы можем влиять на модель весами. Линейный дифференциальный оператор – критерий сложности.

1. Целевая функция

Смысл формулы - в каждом классе с заданным квадратом ошибки выбрать наиболее гладкую. Первая разность характеризует гладкость модели. Максимально гладкая модель – уникальная возможность выбрать тренд.

1. Оценка запаздывания. Способ Эйлера.

1. Моделирование тренда

,

Долговременная память:

Модель обладает длинной памятью. Сглаживание происходит по большому промежутку. Модель достаточно гладкая.

1. Краткосрочный прогноз

,

Модель обладает очень короткой памятью.

1. Незапаздывающая модель тренда Эйлера

,

- форма, которая компенсирует запаздывание.

Модель линейного темпа изменения рынка Хольта-Брауна

Модели, адекватно описывающие нестационарное сглаживание должны быть по определению адаптивными (параметры модели должны пересчитываться при изменении исходных данных)

1. Прогноз рынка на 1 шаг времени (локально-линейный тренд)

1. Алгоритм Хольта адаптации параметров локально-линейного тренда

Модель адаптации Хольта реализует процесс простого экспоненциального сглаживания.

x(n) – зашумлённая оценка рынка. Подавление шума основано на экспоненциальном сглаживании. При этом предыдущие значения рынка определяются локально-линейным прогнозом.

α₁ и α₂ – параметры сглаживания.

a₁ – медленный процесс.

a₂ – быстрый процесс

1. Алгоритм Хольта в терминах ошибки прогноза рынка на 1 шаг времени

Алгоритм Хольта рационально делать на 1 шаг прогноза, т.к. сложность вычислений значительно уменьшается.

Для инициализации модели Хольта нужны a₁(0) и a₂(0).

Основной недостаток: требуется рассчитать 2 параметра.

Сезонные модели экспоненциального сглаживания.

1. Аддитивно-сезонный цикл Тейла-Вейджа:

1. Прогноз рынка на 1 шаг времени

Сезонный цикл – квазипериодичный сезонный ряд, т.е.

1. Алгоритм Тейла-Вейджа адаптации параметров сезонного цикла

1. – с параметром сглаживания , ошумлённая, обновление значения а_1.

Шумы возникают из-за того, что мы точно не знаем значение c(n), а брали c(n-T), то есть приближённое значение.

- сам моделируемый процесс – средняя цена рынка

1. – сезонный цикл, самые короткие периоды

1. Алгоритм Тейла-Вейджа в терминах ошибки прогноза рынка на 1 шаг времени

Шаг 0:

Инициализация. Выбрать параметры сглаживания , , и начальные значения: n=T, , , , c(k), k=0;(T-1)

Шаг 1:

Вычислить прогноз рынка на 1 шаг времени

Шаг 2:

Вычислить ошибку прогноза рынка на 1 шаг времени

Шаг 3:

Корректировать среднее значение рынка за 1 шаг времени

Шаг 4:

Корректировать темп изменения рынка за 1 шаг времени

Шаг 5:

Корректировать средний цикл за 1 шаг времени

Шаг 6:

Цикл по времени n=n+1.

Идти к шагу 1.

1. Мультипликативный сезонный цикл Винтерса

1. Прогноз рынка на 1 шаг времени

1. Алгоритм Винтерса адаптации параметров сезонного цикла

Познакомимся с обычной моделью экспоненциальной скользящей средней:

И строим график:

Теперь в Advanced. Столбики отвечают за наличие сезонных компонент(нету – аддитивная(Тел-Ведж) – мультипликативная(Винтерс)). Строчки отвечают за тренд (локально-постоянная – локально-линейная – локально-затухающая).

Параметр Alpha реглирует штрафы за квадрат ошибки и за сложность (гладкость) модели. Если она маленькая, то мы пилюём на квадрат ошибки, то есть моделирется тренд. Если же она большая, то штраф за квадрат ошибки будет большой, тогда пилюём на гладкость, то есть моделируется краткосрочный прогноз.

Короче, берём первый столбец и первую строку, то есть простая экспоненциальная средняя, у которой локальная модель тренда является постоянной.

Короче, строим:

Получилась фигня, потому что ЕМА строится рекурентно, нужно правильно задать начальное значение.

Добавляем переменную:

Получилась линейная регрессия:

Цифры вверух означают:

- 121 – средняя цена на начальном этапе;

- 0,97 – угловой коэффициент, темп изменения рынка за единицу времени.

Вносим эти цифры в график ранее:

И получилось:

Любая скользящая средняя – это цифровой фильтр, он всегд будет запаздывать. Потому надо это сдвинуть на 19 шагов назад:

Получившийся график удаляем, главное что появилась новая надпись. Суём всё на один график:

Теперь возьмём большую Alpha (0.5), тогда получим иной смысл экспоненциальной средней. Должен получиться краткосрочный прогноз:

Оно тоже запаздывает, сдвинем его на 1 назад и повторим построение:

Сглаживаем теперь с Хольтом:

И растаскиваем по осям:

Видно, что в сезонной компоненте (зелёное) ещё есть остаточный тренд, надо его удалить.

Сохраняем модели обоих трендов:

Теперь суммируем:

Вычисляем остаток:

Строим ещё графики, всех троих (v2, v5, v6):

Теперь модель Телора-Венжа.

Добавляем в переменные опять исходный ряд v2.

Получили прогноз на год вперёд:

Прогноз явно занижен. С этим надо побороться. Надо прологарифмировать исходный ряд:

Строим фиттинг:

Строим сглаживание для v7:

Видим, что горбики подросли:

Спасаем таблицу и добавляем переменную. Потом экспоненту от неё:

Строим график для v2, v5, v6, v9:

Выводы

В процессе выполнения работы была изучена модель простой экспоненциально средней, её параметры для формирования тренда и краткосрочного прогноза НВР.

Также изучена модель линейного темпа изменения Хольта для формирования тренда НВР.

И рассмотрены модели экспоненциального сглаживания Телора-Венжа и Винконса для моделирования сезонных составляющих НВР.

Список литературы:

1. Лабунец Л.В. Конспект лекций по курсу «Анализ временных рядов», 2012.

2. Боровиков В. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов. – СПб.: Питер, 2003. – 688 с., ил.

3. Э.Е. Тихонов. Методы прогнозирования в условиях рынка: учебное пособие. – Невинномысск, 2006. – 221 с.