Лаплас и четырехполюсники Утюжок

1.Операторный метод расчета переходных процессов, основные свойства преобразования Лапласа. Компонентные уравнения элементов. Операторные схемы замещения элементов.

Переходный процесс – процесс перехода цепи от одного энергетического состояния к другому. Эти процессы вызываются коммутацией эл. цепи. Коммутация – любое изменение параметров цепи, ее конфигурации, а также отключение и подключение источников. Коммутацию считают мгновенной, однако перех. процесс протекает опред. время. Следствие – законы коммутации:

1) 2) .

Операторный Метод расчета переходных процессов. Сущность ОМ – исходные интегродиффер. уравнения, записанные на основании законов коммутации, заменяются алгебраическими в области комплексного переменного . В основе метода лежит преобразование Лапласа

(1), -оригинал. Для перехода от к необх.: при t>0,

- положительные константы. Изображением ф-ии по Лапласу или операторным изображением называется функция комплекс. переменного s , определяемая прямыми преобраз. Лапласа. Обратное преобразование: где .

.

Основные св-ва преобраз. Лапласа.

1) Теор. линейности:

2) Теор. дифференцирования оригинала

3) Теор. интегрирования оригинала

4) Теор. запаздывания

5) Теор. смещения

6) Теор. о предельных сложениях ,

(?) Компонентные уравнения элементов

Убедимся в том, что этапы составления системы диф. ур-ий и их преобразования по Лапласу можно заменить прямым составлением ур-ий для изображений.

, ,

Для , ,

, Т.о. при составлении ур-ий цепи в операторной форме автоматически будут учитываться начальные условия.

О ператорные схемы замещения элементов.

Для составления операторной схемы, в исх. схеме после коммутации заменяют все элементы их изображениями. Изображения заданных ЭДС и источников тока в общем случае находят по таблице оригиналов и изображений, в частном случае если E=const , I=const , то .

Изображение r совпадает с оригиналом. Изображение L при ненулевых н.у. состоит из двух эл-тов: пассивного и ист. ЭДС

направленного по направлению с током .

Изображ. с сост. из 2 эл-тов: и направленного против направления .

2.Законы Кирхгофа в операторной форме. Операторная схема замещения участка цепи с ненулевыми нач. условиями. Переход от изображения к оригиналу.

Законы Кирхгофа в операторной форме

Алгебраическая сумма изображений токов в узле равна нулю (1 закон Кирхгофа)

Алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура. (2-й з-н).

З акон Ома.

тогда

О тсюда где - операторное сопротивление рассм. участка цепи. На рис. справа (p=s)

О ператорные схемы замещения элементов (ненулевые начальные условия).

Для составления операторной схемы, в исх. схеме после коммутации заменяют все элементы их изображениями. Изображения заданных ЭДС и источников тока в общем случае находят по таблице оригиналов и изображений, в частном случае если E=const , I=const , то .

Изображение r совпадает с оригиналом. Изображение L при ненулевых н.у. состоит из двух эл-тов: пассивного и ист. ЭДС

направленного по направлению с током .

Изображ. с сост. из 2 эл-тов: и направленного против направления .

Переход от изображения к оригиналу.

Для определения оригиналов, т.е. исходных токов и напряжений можно воспользоваться либо таблицами, либо применить теорему разложения. Для случая вещественных и различных корней формула разложения имеет вид (1), где , где , n- число корней,

- корни характеристического уравнения многочлена знаменателя при ,

При наличии нулевого корня s=0 имеем и формула разложения принимает вид

Для случая комплекс.-сопряж. корней

3.Операторная передаточная функция. Связь передаточной функции с импульсной и переходной характеристиками. Четырехполюсники, их классификация. Уравнения пассивных 4-полюсников, способы определения их параметров (показать на примерах).

Операторные передаточные функции.

Определяются как отношение изображения выходной реакции к изображению входного воздействия. Различают 4 вида передаточных функций:

1) - операт. передаточная ф-я по напряжению 2) - по току

3) - передаточное сопротивление 4) - передат. проводимость

Если заменить s на , то получим комплексные передаточные ф-ии. Они широко используются при частотных методах анализа ЭЦ., для построения АЧХ, ФЧХ, годографа. Зная передаточную ф-ю нетрудно найти изображение реакции цепи, а следов. и оригинал, т.е. искомую реакцию на заданное воздействие.

Передаточной ф-ей назыв. зав-ть от частоты отношения комплексных амплитуд или комплексных действующих значений электрич. величин на выходе и входе 4-плюсника при заданном режиме передачи. - коэф. передачи по напряжению, - по току.

, где - АЧХ, - ФЧХ

Связь с импульсной хар-кой g(t) (отклик цепи на бесконечно узкий импульс (дельта-импульс):

Связь с переходной характеристикой (перех. хар-ка – реакция цепи на воздействие в виде единичной ф-ии при нулевых н.у.) , где .

Четырехполюсники. Их классификация.

Ч етырехполюсник – часть ЭЦ, имеющ. две пары выводов для подключения к источнику и приемнику эл. энергии.(эл. фильтр, усилитель, трансформатор)

Выводы (1,1’) – входные, (2,2’) – выходные.

Классификация

1.Линейные и нелинейные (признак линейности входящих в них элементов)

2.Активные и пассивные (активные – содерж. внутри источники энергии, пассивные – не содерж.)

3.Симметрич. и несимметрич. (симметрич. – перемена местами вх. и вых. выводов не изменяет токов и напряжений в цепи, с ктр. он соединен; иначе - несимметрич.)

4.Обратимые и необратимые (обратимые - выполняется теор. обратимости: отношение напряж. на входе к току на выходе не зависит от того какая из двух пар выводов является вход. и выход.)

Уравнения пассивных 4-полюсников, способы определения их параметров.

П ринцип суперпозиции имеет вид

=

+

+

Применим к рис. а) принцип наложения, считая, что в схеме рис. б) проходит , а =0 , в схеме в) проходит , а =0. Тогда для лин. схемы б) в) можно записать след. лин. соотношения

= , ,

- входная проводимость

- передаточная проводимость

В случае обратимого 4-пол-ка: .

Произведем «наложения» схем б) и в)

получим форму

Рассмотрим форму , если (*) решить относительно и , то получим 2-ую форму ур-ий 4-пол-ка (форму )

- ,

Теория 4-пол-ков позволяет польз. нектр. обобщенными параметрами, связ.между собой напряж. и тока на входе и выходе, не произв. расчетов токов и напр. в схеме самого 4-пол-ка.

Для пассивной цепи вып-ся условие пассивности

Обратное включение 4-пол-ка. Если поменять местами вх. и вых. зажимы 4-пол-ка, то получим след. схемы

Из сопоставления (1) и (2) : это соотв. замене на - , на -

Произведя такую замену в уравнении при питании с обратной стороны

У симметрич. 4-пол-ка . Для расчета схем 4-пол-ка применяем комплексный метод, получаем -

Схема замещения четырехполюсника.

Так как пассивный 4-пол-к характеризуется тремя независимыми параметрами, то прост. схема замещения 4-пол-ка содержит 3 элемента. Наиболее распространены Т и П-образные схемы замещения.

Установим связь между парами элементов схемы замещения и коэф. формы

Т-образная схема замещения

2-й з-н Кирхгофа

1)

1-й з-н Кирхгофа

2)

3)

Подставляем из (3) в (1) и сравниваем получ. уравнение с уравнениями в форме : где = , =

где и

Пар. Т-образной схемы замещения можно выразить через

, ,

Для П-образных схем:

, ,

,

Для симметрич. 4-пол-ков:

Под физически реализуемой схемой понимается схема, в которой параметры

Экспериментальное определение параметров 4-пол-ов

Для опытного определения параметров 4-ка проводят измерения при холостом ходе, когда , и при коротком замыкании, когда и .

Рассмотрим основные уравнения 4-ка в случае холостого хода при питании первич. зажим.: ; 1) , . 2) .

(1).

КЗ:

2) , , , (2).

Для симметричного 4-ка измерить сопротивление и достаточно, так как имеют место связи: (3), (4).

В случае несимметричного 4-ка , , надо выполнить 1-ый опыт, произвести измерения на стороне вторичных зажимов (при холостом ходе на первичных зажимах), либо при коротком замыкании на первичных зажимах.

При этом рассмотрим уравнение при обратном питании: - со стороны вторичных зажимов.

ХХ со стороны вторичных зажимов: . .

Совместим решения уравнений: , , , условия пассивности: окончательно даёт .