1

Определение. Ф-я F(x) назыв. первообразной для ф-и f(x) на нек. множестве Х, если в каждой точке этого рав-ва выполн. условие:

F'(x) = f(x)

Теорема1.

Если ф-я f(x) имеет 2 первообразные F₁(x) и F₂(x), то разность м-у ними равна пост. числу, т.е.

F₁(x) - F₂(x) = C, где С- пост.

Доказательство: т.к. F₁ и F₂ по условию первообразные, то имеет место два равенства:

F₁'(x) = f(x)

F₂'(x) = f(x)

Обозначим F₁(x) - F₂(x) = φ(x), продифференцируем последнее равенство, используя два неравенства: F₁'(x) - F₂'(x) = f(x) - f(x) = 0.

Т.о. φ'(x) = 0, видно, что функция φ(x) постоянна, воспользуемся теоремой Лагранжа для φ(x), х[a,b]: φ(x) - φ(a) = φ'(ξ)(x - a) x<ξ<a

Т.к. φ(x) - φ(a) = 0 → φ(x) = φ(a) в любой точке промежутка Х, то φ(а) = С - постоянная, получаем, что F₁(x) - F₂(x) = C, теорема доказана.

Определение. Если ф-я f(x) имеет первообразную F(x), то выраж-е вида F(x)+C назыв. неопред. интегралом от ф-и f(x)и обозн. ∫f(x)dx

Т.о. ∫f(x)dx = F(x) + C, если F'(x) = f '(x), здесь

f(x) - подинтегральная функция.

f(x)dx - подинтегральное выражение.

Операция нахождения первообразной для данной ф-и назыв. Интегрированием ф-и.

Теорема 2. (существования неопределенного иноеграла)

Если подинтерг. ф-я f(x) непрерывна на нек. множестве Х, то для неё существует первообразная F(х), а след-но и неопред. интеграл

2

Непосредственно из опред. интеграла следует:

1. Если F(x) = f(x), то производная от неопред. интеграла равна подынтегр. ф-и, т.е. (∫f(x)dx)' = (F(x) + C)' = f(x)

1. Дифференциал от неопред. интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d (∫f(x)dx) = f(x)dx

d (∫f(x)dx) = (∫f(x)dx)' dx = f(x)dx

1. Интеграл от дифф. некоторой ф-и равен этой ф-и + произв. постоянная, т.е.

∫d F(x) = F(x) + C

f(x)dx = d F(x), откуда ∫d F(x) = F(x) + C

Док-во следует из почленного дифф. обоих частей по Х.

Замечание. Знаки дифференциала и интеграла, стоящие рядом, как бы сокращают друг друга.

1. Постоянный множитель вынос. за знак неопр. интеграла, т.е.

∫α f(x)dx = α ∫f(x)dx

Можно док-ать, если продифф. Обе части по Х и исп-ть св-во

(∫αf(x)dx)' = α (∫f(x)dx)', получаем слева и справа α*f(x) = α*f(x)

На осн. следует  f(x) = d f(x).

1. Неопр. интеграл от алгебр. суммы 2-х и более ф-ий равен такой же сумме неопред. интегралов – слагаемых, т.е. ∫(f₁(x) ± ∫f₂(x))dx = ∫f₁(x)dx ± ∫f₂(x)dx

Док-во аналогично предыдущей части.

3

Рассмотрим ∫f(x)dx. Пусть мы сразу не можем найти первообразную для ф-и f(x). Заменим перем. х другой перм. t по формуле х=(t), где (t) – дифф. ф-я на некот. промежутке Х, тогда очевидно: dx = ’(t)dt.

Таким. обр. ∫f(x)dx = ∫f[φ(t)]*φ'(t)dt

Доказательствово.

Найдем произв. от перем. t от левой и право частей рав-ва.

Имеем слева: Имеем справа:

(∫f(x)dx)' = (∫f(x)dx)'_x* x'_t = (∫f[φ(t)]* φ'(t)dx)' =

= f(x)* φ'(t) = f[φ(t)]* φ'(t) = f[φ(t)]* φ'(t)

Т. обр. произв. слева и справа равны  на основании Т. Лагранжа левые и правые части рав-ва одинаковы.

Доказанная ф-ла показ., что дост. вып-нить замены перем. в подынтегр. выр-нии. Причем часто вместо замены x=(t) провод. замена t=(x), где (х) - дифф-я функция от х.

Удачная замена перм. часто позволяет упростить интеграл, а иногда свести его к табличному.

Метод интегрирования по частям.

(u v)’ = u’ v + u v’ , где u = u(x); v = v(x).

d (u v) = (u’ v + u v’)dx = v u’dx + u v’dx =

d (u v) = v du + u dv.

Проинт. обе части этого рав-ва по х, получим

∫d (u v) = ∫v du + ∫u dv или ∫d(u*v) = u*v

∫u dv = u*v - ∫v du

Эта ф-ла применима, если подынт. выраж-е удается представить в виде проив-я нек. ф-и и дифференциала dv другой ф-и v, причем обозначения u и dv должны быть такими, чтобы вычисл. интегр. v du было бы более легкой задачей, чем вычисление исх. интергала.

К интегрированию по частям приводят интегралы след. типа: ∫xⁿe^xdx, ∫xⁿ cosbx dx, ∫xⁿ sinax dx, ∫xⁿ lnx dx, ∫xⁿ arcsinx dx, ∫xⁿ arccosx dx и др.

4

Простейшими рацион. дробями назыв. дроби след. вида:

1. А/(х-а), где А, а – числа

2. А/(х-а)^к, где k – число >1.

3. (Ах+В)/(х²+рх+q), где (p²/u) - q = D < 0. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней. A, B, p, q - числа.

IV. (Ах+В)/(х²+рх+q)^к, где k > 1 - целое число, (p²/u) - q = D < 0

Рассм. интегралы от этих дробей.

I. ∫ А/(х-а) dx = A ln│x-a│+ C

II. ∫ А/(х-а)^к dx = A ((x - a)^-k+1/(-k+1)) + C

III. ∫(Ах+В)dx/(х²+рх+q) = A/2 ∫(2x+p)dx/(х²+рх+q) - Ap/2 - B ∫ dx/(х²+рх+q)

(х²+рх+q)' = 2x+p

Ax+B = (2x+p) A/2 - Ap/2 +B

Выделим сначала произ. знаменателя.

В первом из этих интегралов, как видно, числитель – произв. знам-ля  он будет равен логарифму знам-ля, т.е. ∫(2x+p)dx/(х²+рх+q) = ln│х²+рх+q│+ C

В о втором из этих интегралов выделяем полный квадрат и затем сводим к arctg, получим ∫dx/(х²+рх+q) = 2/√4q - p² * arctg (2x+p)/√4q - p² + C

Ч тобы применять следующую формулу надо проверять дискриминант:

∫(Ах+В)dx/(х²+рх+q)=A/2 ln│х²+рх+q│-(Ap-2B)/√4q - p² * arctg (2x+p)/√4q - p² + C

1. Для дроби этого типа существ. рекур. ф-лы., позволяющие понижать k до единицы.

5

Рацион. дроби назыв. правильными, если показатель степени числ. дроби меньше, показателя знаменателя.

Всякая неправильная раион. дробь может быть представлена в виде суммы многочлена т прав. рацион. дроби.

Q(x)/P(x) = M(x) + Q₁(x)/P₁(x)

Далее для интегрирования прав. рацион. дроби её предс. в виде суммы дробей, указ. выше типов, руководствуясь след. утверждением:

Если знам-ль правой рац. дроби предст. в виде разложения

Q(x)/P(x) = P(x)/((x-a)^α * (x²+px+q)^β) =

То имеет место след. утверждение:

= A₁/(x-a) + A₂/(x-a)² + A_α/(x-a)^α + (M₁x + N₁)/(x²+px+q) + (M₂x + N₂)/(x²+px+q)² + … + (M_βx + N_β)/(x²+px+q)^β

Как видно из посл. рав-ва правая часть предс. собой сумму простейших дробей, при этом каждому действит. однокр. корню соответствует простейшая дробь 1 типа. Каждому кратному действ. корню соотв. простейшие дроби 1 и 2 типов.

Если корень знам-ля комплексное число (D<0), то такому корню соотв. простейшая дробь.

Каждому комплекс. корню соотвт. простейшая дробь 4 типа.

6

Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассм. интегралы вида ∫R(sinx, cosx)dx , где R - рациональная функция.

Интегралы такого вида берутся с помощью универсальной тригонометрической подстановки: tg(x/2) = t

Выразим sin x, cos x с помощью tg половинного угла, имеем:

2tg(x/2) 2t

1+tg²(x/2) 1+t²

1- tg²(x/2) 1- t²

1+tg²(x/2) 1+t²

dx =

2dt

1+t²

∫R ,

2dt 1- t² 2dt

1+t² 1+t² 1+t²

Частные случаи подстановок.

Рассм. подстановки, кот. быстрее приводят к цели в нек. случаях, чем предыдущая подстановка.

1. ∫R(sinx, cosx)dx, где R – нечетная ф-я относ-но sin х, тогда делаем подстановку cos x = t и под знаком ∫ выполняем все действия, заменяя х на t.

1. Если R- нечетная ф-я относ. cos x, то sin x = t.

3. ∫sim^mx * cosⁿx dx

а) из m, n – явл. нечетными, если n- нечетное, то примен. подстановка х=t. Если m – нечетное, то примен. подстановка cos x = t.

б) оба показателей m, n – четные полож. числа. В этом случае степень подынтгр. выраж-я пониж. С помощью тригон. ф-л:

sin²x = (1-cos²x)/2, cos²x = (1+cos2x)/2, sinx * cosx = 1/2 sin2x

Интегралы вида ∫tg^mx dx, ∫ctg^mx dx

Для нахождения этих интегралов примен. ф-лы, с пом. кот. помлед-но понижается степень m.

tg²x = (1/cos²x) - 1, ctg²x = (1/sin²x) - 1

1/cosx = secx, 1/sinx = cosecx

tg²x = sec²x - 1, ctg²x = cosec²x - 1

Замечание.

Если m-степень частная, то удобно делать подст. tg x = t., тогда x = arctg t.

dx = dt/ (1+t²) и интеграл сводится к интегралу от непр. рацион. дроби.

Интегралы вида ∫ sin mx * cos nx dx, ∫ cos mx * cos nx dx, ∫ sin mx * sin nx dx/

В этом случае примен. след. тригон. функции:

sin mx * cos nx = ½ (sin (m+n) + sin (m-n))

cos mx * cos nx = ½ (cos (m+n) +cos (m-n))

sin mx * sin nx = ½ (cos (m-n) – cos (m+n))

Эти формулы дают нам произведение предс. в виде суммы.

Интегрирование нек. иррациональностей.

И нтегралы вида ∫R (x, ^m√ax+b )

Такие интегралы наход. подстановкой ax+b = t^m.

И нтегралы вида ∫ ((Mx+N)dx)/((x-α) √ax²+bx+c )

x - α = 1/t

dx = -1/t² dt

Тригонометрические подстановки.

∫ R (x, √a²-x² ) dx, ∫R (x, √a²+x² ) dx

Чтобы избавиться от корня и привести интегралы к рацион. тригон. виду, примен. подстановки.

Подстановка для первого: x = a sint (x = a cost)

Подстановка для второго: x = a tgt

Если под знаком  содерж. кв. трехчлен, то выделяем полный квадрат.

Существует ряд интегралов, не берущ. в элемент. ф-ях, т.е. для подынтг. ф-и нельзя найти первообразную:

∫(sinx/x) dx - интегральный синус

∫(cosx/x) dx - интегральный косинус

∫е^{-x^2} dx - интеграл вероятности

∫(lnx/x) dx и др.

7

y = f(x) – непрерывна на отрезке [a;b].

аАВв – криволинейная трапеция.

Вычислим площадь трапеции: Q - ?

Разобьем отр. [a;b] точками на частичный отрезки произ. образом. X₀ = а, х₁,х₂…x_n = b.

Длину каждого их этих отрезков обозначим через Δx_i=(i=1,2,…,n), Δx₁=x₁-x_o, Δx₂=x₂-x₁… Δx_i=x_i-x_i-1

На каждом из частных отрезков построим прямоуг-ки с основаниями Xi с высотой f(ξ_i)

ΔS_i = Δx_i * f(ξ_i), где i=1,2,…,n - площадь каждого из прямоугольников.

Сумма всех площадей:

n

i=1

n

i=1

∑∆S_i ≈ 0 = ∑ f(ξ_i) * ∆S_i

Очевидно тем точнее, чем больше n (мелк. отрезков), т.е. сумма, стоящая слева этого рав-ва назыв. интегральной суммой на отрезке [а;b].

Значение этой суммы зависит как от способа деления отрезка [a,b] на частичные, так и от выбора точек . Очевидно, точное значение искомой площади мы можем получить, если в рав-ве перейти к пределу при n или (Xi).