Билет №1.

1. Векторный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.

2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил.

1. Векторная система координат.

Положение точки М определено, если радиус-вектор r из центра О выражен функцией времени t r= r(t)  задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость и ускорение:

tr(t), тогда

(t+Δt)r(t+Δt), получаем

Δr= r(t+Δt)-r(t) 

V_ср=Δr/Δt. V=lim(Δr/Δt)=dr/dt.

a_ср=ΔV/Δt. a=lim(Δv/Δt)=dV/dt= d²r(t)/dt².

Переход от векторной формы к координатной:

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k.

Обратно:

x=r(t)×i, y=r(t)×j, z=r(t)×k.

2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил.

Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо.

Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар.

M=M(R,R’)=BA×R=BA×(F₁+F₂)=BA×F₁+BA×F₂. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется  BA×F₁=M₁, BA×F₂=M₂, M=M₁+M₂.

СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Дано: (F₁, F₁’), (F₂, F₂’)

Доказательство:

Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:

(Q₁,Q₁’) и (Q₂,Q₂’). При этом M₁=M(Q₁,Q₁’)=M(F₁, F₁’),

M₂=M(Q₂,Q₂’)=M(F₂, F₂’).

Сложим силы R=Q₁+Q₂, R’=Q₁’+Q₂’. Т. к. Q₁’= - Q₁, Q₂’= - Q₂  R= -R’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R,R’). M(R,R’)=BA×R=BA×(Q₁+Q₂)= BA×Q₁+BA×Q₂=M(Q₁,Q₁’)+ M(Q₂,Q₂’)=M(F₁,F₁’)+ M(F₂,F₂’)  M=M₁+M₂.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:

Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю.

M₁+ M₂+…+ M_n=0.

Билет №2.

1. Координатный способ задания движения точки (прямоугольная декартова система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.

2. Аксиомы статики.

1. Декартова система координат.

Вектор r можно разложить по базису I, j, k: r=xi+yj+zk.

Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначные функции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем. Эти уравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функцией переменных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r׳(t) может быть вычислена по правилу

dr/dt=∂r/∂x∙dx/dt+∂r/∂y∙dy/dt+∂r/∂z∙dz/dt.

Отсюда вытекает, что v=v_xi+v_yj+v_zk.

V=√(v_x²+v_y²+v_z²)

Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а, равный производной от вектора скорости v по времени. А=x׳׳(t)I+y׳׳(t)j+z׳׳(t)k.

А=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²)

2. Аксиомы статики.

1. 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0 тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнять систему сил, эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия.

3. Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то их можно заменить равнодействующей (любую силу можно разложить на составляющие бесконечное число раз).

4. Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.

Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.

Билет №3.

1. Естественный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.

2. Алгебраический и векторный момент силы относительно точки.

1. Естественный способ.

Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным. V=dr/dt∙dS/dS=S׳(t)∙dr/dS=S׳(t)∙τ= =v_τ∙τ. Dr/dS=τ. Τ направлена всегда в «+» направлении отсчета S.

A=dv/dt=S׳׳(t)∙τ+S׳(t)∙dτ/dt=S׳׳∙τ+ (S׳)²n/ρ. A_τ=S׳׳-тангенциальное ускорение, a_n=(S׳)²/ρ-нормальное (центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны.

A=√((a_τ)²+(a_n)²).

2. Векторный и алгебраический момент пары сил.

Алгебраический момент M=F∙d (пара). M=dF₁=dF₂=2S_ΔABC= S_ٱ. Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются).

Векторный момент – вектор M=M(F,F’), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары.

M(F₁,F₂)=BAxF₁=ABxF₂.

Моменты относительно точки.

Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «+» или «-» произведение |F| на её плечо: M_O(F)=Fh=2S_ΔOAB ∙ M_O(F). «+» - против часовой стрелки. Характеризует вращательный эффект F.

Свойства:

А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действия силы. (т.к. |F|sinα= const).

Б) Ь=0 если т. О лежит на линии действия силы.

Плоскость действия M – через F и O.

Векторный момент силы F относительно точки О – вектор M_O(F)=rxF (r – радиус- вектор из А в О). |M_O(F)|=|F|∙|r|∙sinα=Fh.

i j k

M_O(F)= x_A y_A z_A =>

F_x F_y F_z

• M_Ox(F)=yF_z-zF_y

• M_Oy(F)=zF_x-xF_z

M_Oz(F)=xF_y-yF_x

Билет №4.

1. Координатный способ задания движения точки (полярная система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.

2. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.

1. Полярные координаты

Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системе координат. Пусть r=rºr, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор. Тогда v=dr/dt=r׳rº+

rdrº/dt=r׳rº+rφ׳pº=v_rrº+v_ppº. v_p и v_r – трансверсальная и радиальная составляющая скорости. A=dv/dt=d(r׳rº+rφ׳pº)/ dt=r׳׳rº+r׳drº/dt+r׳φ׳pº+rφ׳׳pº+rφ׳∙

dpº/dt=(r׳׳-(rφ׳)²)rº+(rφ׳׳+2r׳φ׳)pº= a_r∙rº+a_ppº.

r²=x²+y², φ=arctg(y/x).

v_r=r׳=(xv_x+yv_y)/r,

v_p=rφ׳=(xv_y-yv_x)/r

2. Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.

Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом M_O системы сил относительно точки О.

Доказательство:

Пусть О – центр приведения. Переносим силы F₁, F₂,…,F_n в точку О: FO= F₁ +F₂+…+F_n= ∑F_k. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F₁,F₁”)…(F_n,F_n”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M₁=M(F₁,F₁”)=r₁xF₁=M_O(F₁). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду M_O=M₁+…+M₂=∑M_O(F_k)= ∑r_kxF_k => (F₁, F₂,…,F_n) ~ (R,M_O) (не зависит от выбора точки О).

Билет №5.

1. Определение скорости точки при задании ее движения в криволинейных координатах.

2. Момент силы относительно оси.

1. Скорость точки в криволинейных координатах.

V=dr/dt=(∂r/∂q₁)∙dq₁/dt+(∂r/∂q₂)∙dq₂/dt+(∂r/∂q₃)∙dq₃/dt.

v=(dq₁/dt)H₁e₁+(dq₂/dt)H₂e₂+(dq₃/dt)H₃e₃.

v=√(dq₁/dt)²H₁²+(dq₂/dt)²H₂²+(dq₃/dt)²H₃². v_q1=(dq₁/dt)H₁, v_q2=(dq₂/dt)H₂, v_q3=(dq₃/dt)H₃.

Пример: 1) скорость в цилиндрической системе.

Т.к. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, то

H₁=1, H₂=ρ, H₃=1.

v_ρ=dρ/dt, v_φ=ρdφ/dt, v_z=dz/dt.

2) Движение по винтовой.

ρ=R=const, φ=kt, z=ut.

v_ρ=0, v_φ=kR, v_z=u.

2. Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на ось, перпендикулярную оси z, взятого относительно точки A пересечения оси с этой плоскостью. Характеризует вращательный эффект относительно оси.

M_z(F)=2S_ΔABC=F_┴∙h.

Если M_z(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия её действия пересекает ось z.

Билет №6.

1. Понятие о криволинейных координатах. Координатные линии и координатные оси.

2. Основные виды связей и их реакции.

1. Криволинейные координаты.

Устанавливают закон выбора 3 чисел q₁, q₂, q₃. q₁, q₂, q₃ – криволинейные координаты. Функция координат: r=r(q₁,q₂,q₃) (из точки О).

Возьмем точку М₀ с координатами q₁,q₁₀,q_20.

X=X(q₁,q₂₀,q₃₀);

Y=Y(q₁,q₂₀,q₃₀);

Z=Z(q₁,q₂₀,q₃₀);

Определяют кривую (переменная только q₁). Кривая – координатная линия, соответствующая изменению q₁ (аналогично q₂ и q₃). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M₀ в сторону возрастания соответствующих координат – координатные оси: [q₁], [q₂], [q₃].

H₁=

Коэффициент Ламе.

e₁=(∂r/∂q₁)/H₁.

Аналогично Н₂, Н₃, е₂, е₃.

2. Виды связей и их реакции.

Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве). Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

1. Гладкая поверхность – по общей нормали.

2. Нить – вдоль к точке закрепления.

3. Сферический шарнир – по любому радиусу.

4. Сферический шарнир – по любому радиусу.

5. Подпятник, подшипник – любое направление.

Дополнительно:

А) Скользящий;

Б) Внутренний.

Билет №7.

1. Число степеней свободы твердого тела в общем и частных случаях его движения.

2. Лемма о параллельном переносе силы.

1. Число степеней свободы твердого тела

n=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.тела

Для тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно имеет 3 степени свободы.

2. Лемма о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.

|F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, то

F ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).

Но M(F,F”)=BAxF=M_B(F).

Получаем:

F ~ (F’,M(F,F”))

Ч. т. д.

Билет №8.

1. Поступательное движение твердого тела. Число степеней свободы, уравнения движения. Скорости и ускорения точек тела.

2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

1. Поступательное движение.

Существует 5 видов движения – поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси, плоское (плоскопараллельное), сферическое, общий случай. Поступательное движение твердого тела – движение, при котором любая прямая этого тела при движении остается параллельной самой себе.

Траектории любой точки тела, совершающего поступательное движение, одинаковы.

Радиус – вектор любой точки движущегося поступательно тела равен r_B=r_A+AB, AB=const. dr_B/dt=dr_A/dt+ dAB/dt=dr_A/dt => v_B=v_A, a_B=a_A

2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки.

Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси.

Доказательство:

Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ

M_O(F)┴(OAB). Пусть угол между M_O(F) и осью z равен α. Тогда Пр_zM_O(F)=2S_{ΔO’A’B’}= 2S_ΔOAB∙cosα => M_z(F) = |M_O(F)|cosα.

Ч.т.д.

Билет №9.

1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела.

2. Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре – основная теорема статики.

1. Вращение вокруг неподв. оси.

φ=φ(t) – угол поворота, n=1 степень свободы. Для задания вращения вокруг неподвижной оси необходимо выбрать ось, начало отсчета угла поворота и его положительное направление и задать зависимость угла поворота от времени. ω=dφ/dt – угловая скорость. ε=dω/dt= d²φ/dt² - угловое ускорение. Скорость любой точки тела, не лежащей на оси v=ωxr, ускорение a=dv/dt=(dω/dt)xr+ ωxdr/dt=εxr+ωx(ωxr), где a_τ=εxr

Частные случаи: 1) ω=const – равномерное вращение (φ=φº+ωt ). 2) ε=const – равноускоренное вращение (ω=ωº+εt, φ=φº+ωt+ εt²/2)

2. Основная теорема статики (теор. Пуансо):

При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R равный сумме всех сил и главный момент М_о, равный сумме моментов всех сил относительно центра приведения.

R=F_k

L_o=M_o(F_k)

Билет №10.

1. Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения. Разложение плоского движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс.

2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду.

2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения.

Инвариант системы сил – векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил.

1. Главный вектор R=∑F_i=const.

2. Скалярное произведение главного вектора и главного момента L_OR=const=F_xM_x+ F_yM_y+F_zM_z.

Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R:

M_O1R= M_OR+(O₁OxR)R  Пр_R(L_O1)= Пр_R(L_O)= L_O1R∙ ∙cos(L_O1^R)= L_O2Rcos(L_O2^R).

L_O1xR_x+ L_O1yR_y +L_O1zR_z =L_O2xR_x +L_O2yR_y +L_O2zR_z

Приведение к простейшему виду:

1. M_O=0, R0  к равнодействующей, равной R, проходящей через О.

2. R=0, M_O0  к паре с моментом M_O (независимо от О).

R0, M_O0, M_O┴ R  к равнодействующей, равной R, проходящей через О₁: ОО₁=d= |M_O| / |R|. Доказательство: R и пара сил с моментом M_O лежат в одной плоскости 

 силы R и R” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R’.

1. M_OR0, R0, M_O0, R не перпендикулярна M_O – приводится к динаме.

Доказательство: Разложим M_O на 2 составляющих: M₁ и M₂. M₂ представим в виде пары сил R’ и R”. Силы R и R” уравновешиваются, а M₁ перенесем в точку O₁ (свободы).

В результате получили винт R’, M₁, проходящий через точку О₁.

Прямая, проходящая через точку О₁ – ось динамы.

Билет №11.

1. Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении твердого тела.

2. Равновесие тела с учетом трения скольжения. Законы Кулона.

1. Соотн. между уск. 2-х точек при плоском движении.

v_B=v_A+ωxAB.

a_B=dv_B/dt=dv_A/dt+(dω/dt)xAB+ ωx(dAB/dt)=a_A+εxAB+ωx(ωx

AB).

Считая, что εхАВ=(a_BA)^τ;

(a_BA)ⁿ=ω²∙AB, окончательно получим:

a_B=a_A+(a_BA)^τ+(a_BA)ⁿ

a_A – ускорение полюса;

a_BA – ускорение движения вокруг полюса.

2. Сила трения скольжения. Законы Кулона для F_тр.ск.:

1)Сила трения скольжения лежит в интервале 0 F_тр F_мах;

2) Сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся тел, а зависит лишь от силы давления этого тела на поверхность

3)Сила тр.скольжения опр-ся по ф-ле: F_тр=fN, N-сила реакции опоры =Р, f-коэф-т трения скольжения

4)Коэф-т трения скольжения завис.от шероховатостей пов-тей трущихся тел, от температуры, от физич.состояния материала.

Билет №12.

1. Мгновенный центр скоростей, способы нахождения МЦС.

2. Равновесие тела с учетом трения качения. Коэффициент трения качения.

1. МЦС. Способы нахождения.

При плоском движении твердого тела в каждый момент времени существует точка, скорость которой равна нулю. v_P=v_O+v_PO=0, v_O=ω∙OP=>OP= v_O/ω.

Способы нахождения:

1. на основе физического условия задачи.

2. На основе предваритель-ного определения скорости двух точек.

2. Трение качения. Коэффициент трения качения.

Круглое тело вдавливается в опорную поверхность (дуга CD). Трение качения – сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Полная реакция N’ опорной поверхности препятствует качению.

Нам нужен момент сопротивления качению => заменим N’ и представим в виде F_тр. и N, приложенных в точке В, смещенной от центра на δ. Условия равновесия: N=P, F=Q. Q_maxR=δN. M_тр.max=δ∙N. Момент сопротивления качению 0<M_к<M_к.max (не зависит от радиуса). Коэффициент трения качения δ при предельном состоянии равновесия (при Q_max) N (сила нормального давления) отстает на δ от вертикального радиуса. δ не зависит от материала, из которого сделано тело. Определяется экспериментально.

Билет №13.

1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Число степеней свободы, углы Эйлера.

2. Условия равновесия произвольной системы сил в векторной и аналитической формах. Частные случаи.

1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Углы Эйлера.

Движение твердого тела, у которого одна точка неподвижна, называется сферическим. Количество степеней свободы n=3. (X_A, Y_A, Z_A).

Положение тела определяется с помощью углов Эйлера. Определение: свяжем с телом подвижную систему координат Oxyz. Плоскость xOy пересекает неподвижную плоскость x₁Oy₁ по прямой ОК – линии узлов.

Ψ – угол прецессии;

φ – угол собственного вращения

θ – угол нутации.

Все углы против часовой стрелке.

Если заданы функции Ψ=f₁(t); φ=f₂(t); θ=f₃(t) то движение полностью определено.

2. Условия равновесия для произвольной простр.системы сил, а также следствия из этих уравнений.

R=0 и L_o=0 –ур-я равновесия. Им соотв-ют 6 скалярных алгебраических ур-1 равновесия для простр.системы сил:

F_kх=0 F_kу=0 F_kz=0 М_х(Fk)=0 Му(Fk)=0 Мz(F_k)=0 – аналитическое условие равновесия для произвольной системы сил.

Пусть все силы  пл-ти хоу, тогда: F_kх=0 F_kу=0 Мо(Fk)=0 условие равновесия для произвольной плоской системы сил.

Условие равновесия для плоской системы параллельных сил.

Пустьсилы  оси оу, тогда F_kх=0 Мо(Fk)=0

Условие равновесия для пространственной системы параллельных сил.

F₁, F₂, F₃,…,F_n  оси оz, тогда: F_kz=0 М_х(Fk)=0 Му(Fk)=0

Вторая форма условия равновесия для пороизвольной плоской системы сил:

М_А(Fk)=0 М_В(Fk)=0 М_С(F_k)=0 – причем т.А, т,В, т.С  одной прямой.

- Докажем необходимость этих условий:

Допустим, система сил нах-ся в равновесии. Тогда очевидно, что  моментов всех сил относительно любой точки пл-ти=0, т.е. выполняются эти 3 условия.

- Докажем достаточность этих условий:

Доказать достоточность – это значит доказать, что при выполнении этих усл-й система нах-ся в равновесии. Доказывать будем методом от противного, поэтому предположим, что эти усл-я выполняются, но система не нах-ся в равновесии, т.е. существует R*0 эквив.данной сист.сил.

Рассмотрим усл-е первое и 2-е: для того, чтобы они выполнялись необходимо, чтобы R* проходил через т.А и т.В. Согласно третьему условию hR=0. Поскольку т.С  прямой АВ это может выполняться только в случае R*=0, т.е. наше предположение не верно и система действительно нах-ся в равновесии.

Третья форма усл-я равновесия для произвольной плоской системы сил.

F_kz=0 М_А(Fk)=0 М_В(Fk)=0 – причем ось ох не перпендикулярна АВ.

- Необходимость этого усл-я очевидна, т.к.если система нах-ся в равновесии, то главный вектор и главный момент =0 относительно любой точки.

- Докажем достаточность этих условий:

Предположим, что система не нах-ся в равновесии и сущ-ет, т.е. сущ-ет R* и R* 0 является равнодействующей данной системы сил. Для того, чтобы выполнялось усл-е 2 и 3 необходимо, чтобы R* проходил через АВ.

Потребуем выполнения усл-я R*cos=0, поскольку х не перпендикулярна АВ , то R* должно быть равно 0, т.о. мы доказали, что эти усл-я достаточны для того чтобы система находилась в равновесии.

На основании двух изложенных форм ур-й равновесия для плоской системы параллельных сил можно записать еще один вид ур-я равновесия для плоской системы параллельных сил:

М_А(Fk)=0 М_В(Fk)=0, АВ не параллельна F₁, F₂, F₃,…,F_n

Билет №14.

1. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью МЦС.

2. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы. Пример применения: распределенные силы.

1. Опред. v 2-х точек с пом. МЦС.

Зная положение МЦС и скорость какой-либо точки фигуры, можно найти скорости всех точек плоской фигуры. Пусть P – МЦС и известна скорость какой-либо точки фигуры v_А, тогда ω= v_А/AP. v_B= v_АPB/PA. Соединив конец вектора v_B с точкой Р, получим распределение скоростей вдоль отрезка РВ.

2. Теорема Вариньона.

Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольной точки О равен сумме моментов относительно той же точки.

Пусть система сил (F₁, F₂,…,F_n) приводит к равнодействующей R, проходящей через точку С пересечения линий действия сил. Возьмем произвольную точку О, тогда:

M_O(R)=rxR=rx∑F_i=∑(rxF_i)= ∑M_Oi(F_i).

Ч. т. д..

Билет №15.

1. Мгновенный центр ускорений. Частные случаи.

2. Лемма о параллельном переносе силы.

1. МЦУ. Способы нахождения.

МЦУ – точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

a_Q=a_A+a_AQ=0. Угол между a_QA и QA tgα=a_BA^τ/a_BAⁿ=ε/ω², a_AQ=√a_AQ^τ+a_AQⁿ=AQ√ ε²+ω⁴ 

1 способ нахождения МЦУ:

Отложить от точки А под углом α=arctg(ε/ω²) к a_A отрезок AQ=a_A/√(ε²+ω⁴ в направлении круговой стрелки ε.

2 способ нахождении МЦУ основан на условии задачи – если ускорение какой-либо точки по условию задачи равно нулю, то эта точка является МЦУ.

2. Лемма о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.

|F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, то

F ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).

Но M(F,F”)=BAxF=M_B(F).

Получаем:

F ~ (F’,M(F,F”))

Ч. т. д.

Билет №16.

1. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.

2. Аналитическое выражение для моментов силы относительно осей координат.

1. Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.

V_A=ω×r_A. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения.

i j k

V_M=ω×r_M= ω_x ω_y ω_z

X_M Y_M Z_M

X/ω_x=Y/ω_y=Z/ω_z – мгновенная ось вращения.

a_A=dv/dt=dω/dt×r_A+ω×dr_A/dt=ε×r_A+ω×v_A=a_A^вр+a_A^ос.

a_A^вр= ε×r_A – вращательное ускорение точки.

a_A^ос= ω×v_A – осестремительное ускорение точки.

Формула Ривальса: a_A^oc=ωv_Asin(ω, v_A). a_вр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε к r виден против часовой стрелки.

a_вр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v).

2. Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат.

i j k

M_O(F)= x_A y_A z_A =>

F_x F_y F_z

• M_Ox(F)=yF_z-zF_y

• M_Oy(F)=zF_x-xF_z

M_Oz(F)=xF_y-yF_x

Билет №17.

1. Свободное движение твердого тела. Скорости и ускорения его точек.

2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

1. Скорости и ускорения точек тела при его свободном движении.

Разложение общего вида движения на поступательное, связанное с точкой О и вращательное относительно О.

Поступательное:

X_1o=f₁(t); Y_1o=f₂(t); Z_1o=f₃(t).

Вращательное:

Ψ=f₄(t); φ=f₅(t); θ=f₆(t).

Таким образом, число степеней свободы при свободном движении твердого тела равно 6.

ρ_A=ρ_о+rv_A=dρ/dt+dr/dt=v_o+ω×r.

a_A=dv_A/dt=dv_o/dt+dω/dt×r+ω×dr/dt=a_o+ε×r+ω²r= a_o+a_A^вр+a_A^ос.

2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки.

Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси.

Доказательство:

Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ

M_O(F)┴(OAB). Пусть угол между M_O(F) и осью z равен α. Тогда Пр_zM_O(F)=2S_{ΔO’A’B’}= 2S_ΔOAB∙cosα => M_z(F) = |M_O(F)|cosα.

Ч.т.д.

Билет №18.

1. Сложное движение точки. Основные понятия и определения. Примеры.

2. Центр системы параллельных сил. Формулы для радиуса-вектора и координат центра системы параллельных сил.

1. Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

2. Центр системы параллельных сил. Формула для радиус-вектора и координат центра системы параллельных сил.

Дано : F₁ || F₂ .

R=F₁+F₂. M_C(R)=M_C(F₁)+M_C(F₂)=0

 F₁∙CA₁=F₂∙CA₂. Повернем F₁ и F₂ на угол α, при этом R повернется тоже на угол α. С – центр параллельных сил.

То же самое, если сил несколько и не по одной прямой. R=∑F_i, R||F_i (точка С принадлежит R) M_O(R)=∑M_O(F_i), r_C×R=∑(r_i×F_i).

Введем единичный вектор e F_k=F_k∙e R=∑F_k∙e.

r_C×∑F_i∙e=∑r_i×(F_i∙e). ∑F_ir_C×e=∑F_ir_i×e.

(∑F_ir_C-∑F_ir_i)×e=0

r_C=∑F_ir_i/∑F_i.

Координаты центра системы параллельных сил:

X_C=∑F_ix_i/R; Y_C=∑F_iy_i/R;

Z_C=∑F_iz_i/r

Билет №19.

1. Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Примеры.

2. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.

1. Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.

Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор r_C=∑P_ir_i/P.

X_C=∑P_ix_i/P; Y_c=∑P_iy_i/P; Z_C=∑P_iz_i/P

Вес тела P=∑P_i, P_i – сила тяжести частицы.

Методы определения координат центра тяжести тела.

1. Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на них.

2. Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, то

r_C=(V₁r_C1+V₂r_C2+…+V_nr_Cn)/V

Отрицательные массы:

r_C=V_сплr_C-V₁r_C1-…-V_nr_Cn, где V_k, r_Ck – объемы и радиус-векторы пустот тела.

1. Интегрирование: если тело нельзя разбить)

X_C=(∫xdV)/V, Y_C=(∫ydV)/V,

Z_C=(∫zdV)/V

Билет №20.

1. Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса.

2. Лемма о параллельном переносе силы.

1. Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Опр-е ускорения точки в сложном движении

V_M=V_O+[ ωr]+ V_r

W_M=d V_M/dt=(d V_O/dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+d V_r/dt

dr/dt=[ ωr]+ V_r

W_M=W_o+[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ω V_r]+ [ ωV_r]+W_r

d V_r/dt=[ ω V_r]+ W_r

W_k=2[ω V_r]

W_M=W_L+W_r+W_K – кинематическая теорема Кариолиса

Абсолютное ускорение точки –это есть сумма переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кариолиса

Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном движении.

Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной скорости в переносном движении

Ускорение Кариолиса.

Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса ┴ пл-ти, в кот-й лежат вектора ω и V_r и направлена в ту сторону,что с конца этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ω к V_r кажется видным против хода часовой стрелки.

2. Лемма о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.

|F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, то

F ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).

Но M(F,F”)=BAxF=M_B(F).

Получаем:

F ~ (F’,M(F,F”))

Ч. т. д.

Билет №21.

1. Сложное движение точки. Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского. Примеры.

2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил.

1. Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского.

Полное ускорение точки А, участвующей в сложном движении

a_A=a_r+a_e+2ω×v_r. Слагаемое a_К=2ω×v_r называется ускорением Кориолиса.

a_K=2ωv_rsin(ω,v_r). Частные случаи:

А) ω0 – смена знака

Б) v_r0 – относительный покой (смена знака движения).

В) sin(ω,v_r)0, ω||v_r.

Правило Жуковского. Ускорение Кориолиса равно проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную ω, увеличенной в 2ω раз и повернутой на 90° в направлении круговой стрелки ω.

2. Пара сил. ∑ моментов сил, составляющих пару.

Пара сил – система 2-х равных по модулю и противоположных по направлению сил, действующих на твердое тело. ∑F=0; ∑M≠0.

Расстояние между линиями действия – плечо d. Пара сил характеризуется плоскостью действия, моментом пары.

ТЕОРЕМА: Векторный момент пары сил равен векторному моменту одной из её сил относительно другой.

Доказательство:

M_O(F₁)+ M_O(F₂)=r_AxF₁+ r_AxF₂= r_AxF₁- r_BxF₁=(r_A-r_B) x F₁. Из сложения треугольником OA+AB=OB => AB=OB-OA => M_O(F₁)+ M_O(F₂)=ABxF₁=M_A(F₁) => сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты.

Билет №22.

1. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей.

2. Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух центров приведения.

1. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей.

В случае вращательных относительного и переносного движений твердого тела, когда оси их вращений пересекаются в точке О, абсолютное движение будет сферическим движением вокруг точки О.

ω=ω_e+ω_r. Скорость любой точки, лежащей на линии по которой направлен вектор ω v=ω×r=0. Скорость любой точки М тела в данном случае можно определить так: v_M=ω×r_M=(ω_e+ω_r)×r_M=v_e+v_r.

v_e=ω_e∙h_e; v_r=ω_r∙h_r; v=ω∙h;

где h_e, h_r, h – кратчайшие расстояния от точки М до соответствующих осей вращения.

2. Зависимость между главными моментами сил относительно 2 центров приведения.

Главный момент системы сил относительно второго центра приведения О₁ равен вектору главного момента системы сил относительно первого центра приведения О, плюс векторный момент главного вектора, приложенного в первом центре приведения относительно второго центра.

Доказательство:

Момент относительно любой точки O1 M_O1=∑(r_O1ixF_i). Момент относительно первого центра приведения О M_O=∑(r_OixF_i). Причем r_O1i=O₁O+r_Oi.

M_O1=∑(O₁O+r_O1)xF_i=O₁O∑Fi+ ∑(r_OixFi)=M_O+O₁OxR= M_O+M_O1(R).

M_O1= M_O+M_O1(R) (1)

Билет №23.

1. Определение ускорений точек плоской фигуры при известном положении МЦУ.

2. Система сходящихся сил. Условия равновесия.

1. Определение ускорения точек плоской фигуры с помощью МЦУ.

Зная положение МЦУ и ускорение какой-либо точки плоской фигуры можно найти ускорение всех точек плоской фигуры.

Пусть известна величина и направление точки А a_A плоской фигуры и МЦУ – Q. Тогда ускорение любой другой точки B плоской фигуры будет лежать под углом α, равным углу между a_A и QA против направления круговой стрелки ε.. Его величина a_B=QB/√ε²+ωюбюб⁴=QBa_A/ AQ.

2. Система сходящихся сил. Условия равновесия.

Система сил называется сходящейся, если линии всех сил пересекаются в одной точке. Попарно поочередно сложим эти силы, перенесенные к точке пересечения. Тогда R=∑F_k – главный вектор, так как R₁₂=F₁+F₂, R₁₃=R₁₂+F₃ и т. д.

R_x=∑F_ix R=√(R_x²+R_y²+R_z²), cos(x,R)=R_x/R – аналитический способ задания.

Условия равновесия.

Система находится в равновесии когда главный вектор R=0.

А) Векторная форма: R=∑F_k=0;

Б) Аналитическая форма: R_x=F_kx=0, R_y=F_ky=0, R_z=F_kz=0;

В) Графическая форма: замкнут многоугольник сил.

Билет №24.

1. Способы определения углового ускорения при плоском движении твердого тела.

2. Равновесие тела с учетом трения качения. Коэффициент трения качения.

1. Способы опред. угл. уск. При плоском движении.

1. Если задана зависимость ула поворота плоского тела от времени φ=φ(t), то ε=φ׳׳(t);

2. Если известна зависимость угловой скорости от времени ω=ω(t), то, так как ω=v^τ/R, то ε=ω׳(t)=d/dt(v^τ/R)=1/R∙dv^τ/dt= a^τ/R.

3. Из условия задачи.

Н апример,

Y

B

C

A X

Если известны по модулю a_A и (a_BA)ⁿ, то, проецируя векторное равенство a_B=a_A+(a_BA)^τ+(a_BA)ⁿ на ось Ох, получим:

ε_AB∙AB∙sinφ=a_A+(ω_AB)²∙AB∙cosφ

2. Трение качения. Коэффициент трения качения.

Круглое тело вдавливается в опорную поверхность (дуга CD). Трение качения – сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Полная реакция N’ опорной поверхности препятствует качению.

Нам нужен момент сопротивления качению => заменим N’ и представим в виде F_тр. и N, приложенных в точке В, смещенной от центра на δ. Условия равновесия: N=P, F=Q. Q_maxR=δN. M_тр.max=δ∙N. Момент сопротивления качению 0<M_к<M_к.max (не зависит от радиуса). Коэффициент трения качения δ при предельном состоянии равновесия (при Q_max) N (сила нормального давления) отстает на δ от вертикального радиуса. δ не зависит от материала, из которого сделано тело. Определяется экспериментально.

Билет №25.

1. Полная и локальная производные вектора. Формула Бура.

2. Центр тяжести тела. Методы определения положения центра тяжести.

1. Полная и локальная производная вектора. Формула Бура.

Пусть задан вектор b(t)=b_xi+b_yj +b_zk в подвижной системе отсчета. Орты i, j, k не меняются в подвижной системе отсчета. Поэтому локальная производная d^~b/dt=db_x/dt∙i+db_y/dt∙j+db_z/dt∙k, а полная производная с учетом изменения также ортов i, j, k примет вид: db/dt= db_x/dt∙i+db_y/dt∙j+db_z/dt∙k+b_xdi/dt+ b_zdj/dt+ b_zdk/dt.= d^~b/dt+ω×(b_xi+ b_yj+b_zk)= d^~b/dt+ω×b.

db/dt=d^~b/dt+ω×b – формула Бура.

Частные случаи:

А) ω=0db/dt= d^~b;

Б) Если вектор b не меняется в подвижной системе отсчета, то db/dt= ω×b;

В) Если b все время параллелен вектору угловой скорости (ω×b=0), то db/dt= d^~b.

2. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.

Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор r_C=∑P_ir_i/P.

X_C=∑P_ix_i/P; Y_c=∑P_iy_i/P; Z_C=∑P_iz_i/P

Вес тела P=∑P_i, P_i – сила тяжести частицы.

Методы определения координат центра тяжести тела.

1. Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на них.

2. Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, то

r_C=(V₁r_C1+V₂r_C2+…+V_nr_Cn)/V

Отрицательные массы:

r_C=V_сплr_C-V₁r_C1-…-V_nr_Cn, где V_k, r_Ck – объемы и радиус-векторы пустот тела.

1. Интегрирование: если тело нельзя разбить)

X_C=(∫xdV)/V, Y_C=(∫ydV)/V,

Z_C=(∫zdV)/V

Билет №26.

1. Пара вращений.

2. Теорема о приведении произвольной системы сил к паре – основная теорема статики.

1. Пара вращений.

При противоположных направлениях векторов ω_e и ω_r и равенстве их модулей (ω_e = ω_r), если условие ω_e=-ω_r выполняется на отрезке времени t₂-t₁, абсолютное движение будет поступательным. Такой случай сложения вращательных движений называется парой вращений.

Действительно, ω=ω_e+ω_r=

-ω_r+ω_r=0, и для любой точки тела справедливы соотношения: v=ω_e×r₁+ω_r×r₂=ω_e×(r₁-r₂)=ω_e×O_eO_r=ω_r×O_rO_e;

Следовательно, скорости всех точек тела в данном случае одинаковы и равны скорости поступательного движения.

2. Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.

Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом M_O системы сил относительно точки О.

Доказательство:

Пусть О – центр приведения. Переносим силы F₁, F₂,…,F_n в точку О: FO= F₁ +F₂+…+F_n= ∑F_k. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F₁,F₁”)…(F_n,F_n”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M₁=M(F₁,F₁”)=r₁xF₁=M_O(F₁). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду M_O=M₁+…+M₂=∑M_O(F_k)= ∑r_kxF_k => (F₁, F₂,…,F_n) ~ (R,M_O) (не зависит от выбора точки О).

Билет №27.

1. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей.

2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду.

1. Сложение вращений твердого тела относительно параллельных осей.

Если оси вращательных движений тела параллельны, то вектор результирующей угловой скорости ω тела в неподвижной системе координат будет коллинеарен ω_е и ω_r. Положение мгновенной оси вращения тела как оси, проходящей в данный момент времени через точку Р – МЦС в плоскости П, перпендикулярной осям вращений, можно определить из анализа: v_rP=ω_r×O_rP, v_eP= ω_e×O_eP, O_r, O_e – точки пересечений П с соответствующими осями вращения. v_P=v_eP+v_rP=0 v_eP= - v_rP v_eP= v_rP ω_rO_rP= ω_eO_eP.

В зависимости от взаимного расположения и численного значения векторов ω_r и ω_e можно выделить 3 случая сложения вращательных движений:

А) При совпадении направлений векторов ω_e и ω_r абсолютное движение будет плоским. Абсолютная угловая скорость в этом случае будет иметь направление, совпадающее с направлениями её составляющих, а её модуль ω=ω_r+ω_e. Положение точки Р можно найти из пропорции ω_e/O_rP=ω_rO_eP=ω/O_eO_r. Скорость любой точки тела может быть найдена по формуле v=ω×PM.

Б) При противоположных направлениях векторов ω_e и ω_r, когда ω_r≠ω_e, абсолютное движение будет плоским. Абсолютная угловая скорость имеет направление, совпадающее с направлением большей по модулю составляющей угловой скорости, а её модуль ω=|ω_r-ω_e|. Пропорции для нахождения точки Р имеют тот же вид, что и в пункте А.

2. Инварианты системы тел. Частные случаи приведения.

Инвариант системы сил – векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил.

1. Главный вектор R=∑F_i=const.

2. Скалярное произведение главного вектора и главного момента L_OR=const=F_xM_x+ F_yM_y+F_zM_z.

Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R:

M_O1R= M_OR+(O₁OxR)R  Пр_R(L_O1)= Пр_R(L_O)= L_O1R∙ ∙cos(L_O1^R)= L_O2Rcos(L_O2^R).

L_O1xR_x+ L_O1yR_y +L_O1zR_z =L_O2xR_x +L_O2yR_y +L_O2zR_z

Приведение к простейшему виду:

1. M_O=0, R0  к равнодействующей, равной R, проходящей через О.

2. R=0, M_O0  к паре с моментом M_O (независимо от О).

R0, M_O0, M_O┴ R  к равнодействующей, равной R, проходящей через О₁: ОО₁=d= |M_O| / |R|. Доказательство: R и пара сил с моментом M_O лежат в одной плоскости 

 силы R и R” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R’.

1. M_OR0, R0, M_O0, R не перпендикулярна M_O – приводится к динаме.

Доказательство: Разложим M_O на 2 составляющих: M₁ и M₂. M₂ представим в виде пары сил R’ и R”. Силы R и R” уравновешиваются, а M₁ перенесем в точку O₁ (свободы).

В результате получили винт R’, M₁, проходящий через точку О₁.

Прямая, проходящая через точку О₁ – ось динамы.

Билет №28.

1. Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки.

2. Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления.

1. Теорема о проекциях двух точек на линию, соединяющую эти точки.

При любом движении проекции двух точек на линию, их соединяющую, равны.

Док-во: r_B=r_A+AB => dr_B/dt = dr_A/dt+dAB/dt, но dAB/dt ┴ AB. Проецируем на линию АВ, учитывая, что dAB/dt ┴ AB:

Пр_АВ(v_B)=Пр_АВ(v)_A+0.

2. Главный вектор, момент.

Пусть дана система сил (F₁, F₂,…,F_n).

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

R=∑F_k.

R_x=∑F_kx; cos(x,R)= R_x/R;

R_y=∑F_ky; cos(y,R)= R_y/R;

R_z=∑F_kz; cos(z,R)= R_z/R;

Главный момент системы сил – сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения).

L_x=∑M_x(F_k)

Билет №29.

1. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.

2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

1. Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.

V_A=ω×r_A. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения.

i j k

V_M=ω×r_M= ω_x ω_y ω_z

X_M Y_M Z_M

X/ω_x=Y/ω_y=Z/ω_z – мгновенная ось вращения.

a_A=dv/dt=dω/dt×r_A+ω×dr_A/dt=ε×r_A+ω×v_A=a_A^вр+a_A^ос.

a_A^вр= ε×r_A – вращательное ускорение точки.

a_A^ос= ω×v_A – осестремительное ускорение точки.

Формула Ривальса: a_A^oc=ωv_Asin(ω, v_A). a_вр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε к r виден против часовой стрелки.

a_вр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v).

2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки.

Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси.

Доказательство:

Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ

M_O(F)┴(OAB). Пусть угол между M_O(F) и осью z равен α. Тогда Пр_zM_O(F)=2S_{ΔO’A’B’}= 2S_ΔOAB∙cosα => M_z(F) = |M_O(F)|cosα.

Ч.т.д.

Билет №30.

1. Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении твердого тела.

2. Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления.

1. Соотн. между уск. 2-х точек при плоском движении.

v_B=v_A+ωxAB.

a_B=dv_B/dt=dv_A/dt+(dω/dt)xAB+ ωx(dAB/dt)=a_A+εxAB+ωx(ωx

AB).

Считая, что εхАВ=(a_BA)^τ;

(a_BA)ⁿ=ω²∙AB, окончательно получим:

a_B=a_A+(a_BA)^τ+(a_BA)ⁿ

a_A – ускорение полюса;

a_BA – ускорение движения вокруг полюса.

2. Главный вектор, момент.

Пусть дана система сил (F₁, F₂,…,F_n).

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

R=∑F_k.

R_x=∑F_kx; cos(x,R)= R_x/R;

R_y=∑F_ky; cos(y,R)= R_y/R;

R_z=∑F_kz; cos(z,R)= R_z/R;

Главный момент системы сил – сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения).

L_x=∑M_x(F_k)