ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛЕ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

(МГТУ им. Н.Э.Баумана)

________________________________________________________________________

Факультет

«ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ»

Кафедра

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

Реферат

по теме:

. «ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛЕ»

ИСПОЛНИТЕЛЬ

студент гр. ФН2-101 ________________ / Молчанов А. А./

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ ________________ / Бураго Н. Г. /

доктор ф.-м. наук,

ведущий научный сотрудник

Института проблем механики РАН.

Москва 2019

Введение

В настоящее время для численного моделирования проблем турбулентности используются три подхода: прямое численное моделирование, метод осреднения по Рейнольдсу и метод крупных вихрей. Прямое численное моделирование предполагает разрешение вихрей всех масштабов, что не реализуемо на существующих ЭВМ средней мощности. Метод Рейнольдса позволяет моделировать только очень крупные вихри, соизмеримые с физической областью, все среднемасштабные и мелкомасштабные вихри исчезают при осреднении. Наиболее продуктивным является метод крупных вихрей, так как он позволяет моделировать и крупные вихри, и вихри среднего размера, вплоть до размера ячейки расчетной сетки, а вихри мельче расчетной ячейки моделируются с помощью различных гипотез.

Основные уравнения

Процессы турбулентного переноса представляют собой сложное физическое явление, теоретическое изучение которого опирается на основные законы физики, и описываются уравнениями гидродинамики. Основными уравнениями гидродинамики для описания турбулентных течений являются уравнения Навье-Стокса:

Система уравнений записана в декартовой системе координат , в физическом пространстве; три компоненты скорости и давление, ; -безразмерноевремя, Re - число Рейнольдса. В системе уравнений (1)–(2) и далее по повторяющимся индексам следует производить суммирование.

Для выделения основных энергонесущих вихрей используется следующая форма осреднения по пространству:

где черточка сверху означает осреднение по объему; -вектор координатных точек, по которому производится интегрирование; V - объем вычисляемой области и интегрирования; - функция-фильтр. В качестве функции-фильтра чаще используется известный гауссовский фильтр вида

а также “фильтр-ящик”:

где ∆- характерная длина фильтра, имеющая порядок размера ячейки сетки. Обычно у нее такой вид:

где - шаг по вычисляемой сетке в направлении соответствующей оси декартовой системы координат.

Применяя операцию осреднения (3) с фильтрами типа (4) и (5) к уравнениям (1) и (2), можно вывести следующую систему уравнений:

Подсеточный член отвечает за мелкомасштабную турбулентность. Для его определения используется модель Смагоринского:

где турбулентная подсеточная вязкость представляется

-тензор скоростей деформации;

знак Кронекера; - коэффициент Смагоринского, который лежит в отрезке 0.06–0.25.

Однако задание , коэффициента Смагоринского, в виде постоянной является не совсем корректным. Поэтому определяется как функция, зависящая от времени и пространства, а такая модель называется динамической.

Для применения динамической модели проводится двойное осреднение с длиной фильтра , тогда

Уравнение (1), подвергнутое осреднению с двумя фильтрами длиной ∆ и соответственно, имеет следующий вид:

Из (7) и (8) следует

и напряжения Леонарда выражаются

Тогда и имеет следующий вид:

А напряжения Леонарда имеют вид

Из (9) при использовании метода наименьших квадратов находится значение в виде

Численный метод

Для решения задачи с учетом вышепредложенных моделей турбулентности рассматриваются уравнения турбулентного движения в канале в следующем виде:

где последнее слагаемое в (10) - средний градиент давления, т. е. полагается, что движение в канале осуществляется за счет перепада давления. Здесь задается , где -скорость трения на стенке. Число Рейнольдса определяется за счет максимальной скорости на середине канала и половины длины канала . Область канала имеет

следующие размеры: . Граничные условия задаются периодическими в направлении осей и , а по выполняется условие стенки. Схематически область канала представлена на рис. 1.

Для определения скорости трения на стенке нужно воспользоваться известными эмпирическими отношениями между обычным числом Рейнольдса и числом Рейнольдса . Согласно формуле

,

приблизительно соответствует . Для численного решения задачи применяется явный метод расщепления по физическим процессам. Уравнение (10) интегрируется по времени без слагаемого, содержащего давление, т. е. первый этап состоит в вычислении, где определяется промежуточное значение скорости

где верхний индекс означает определенный номер временного уровня. После вычисления (12) из требования выполнения уравнения неразрывности находится давление .

Значения скоростей следующего уровня определяются поправкой

Выражение (13) дифференцируется по переменной :

Сложив (14) для всех с учетом, что должно выполняться уравнение неразрывности (11) на каждом следующем временном уровне, получаем следующее трехмерное уравнение Пуассона для давления:

Из решения уравнения давления (15) вычисляются градиенты давления, которые затем подставляются в (13) для расчета конечного значения скорости .

Чтобы найти производные в направлении осей и , для которых заданы периодические граничные условия, применяется спектральный метод Фурье, а по _ используется спектральный метод, основанный на полиномах Чебышева. При использовании спектрального метода Фурье применяется быстрое преобразование Фурье, позволяющее сократить количество операций для вычисления производных. Рассмотрим решение уравнения Пуассона (15)

где - известная функция (15). Спектральный метод Фурье позволяет представить давление и правую часть (16) в виде

где -моды соответствующих функций, а -частота, причем является целочисленным, -количество точек в направлении соответствующей оси координат. Подставляя (17) и (18) в (16), умножая обе стороны на и учитывая ортогональность данной функции, получим

Выражение (19) представляет собой серию одномерных алгебраических уравнений, где граничным условием для мод давления в направлении оси является условие Неймана. Выполнение условия (19) очевидно, так как используется спектральный метод Фурье. Производная, к которой применяется полином Чебышева по третьей координате , представляется в следующем виде:

где определяется номер узла вычислительной сетки, а - матрица, содержащая коэффициенты, зависящая от номера узла сетки.

После применения условия Неймана для граничных значений давления по третьейкоординате получим следующие выражения:

Для достижения большей точности вычисления давления по третьей координате используется неравномерная сетка следующего вида: .

Система уравнений (19) с учетом (20)–(22) представляется в виде матричной формы по переменной

и решается методом декомпозиции .

После нахождения мод давления из (23) обратным преобразованием Фурье вычисляется давление в физическом пространстве с применением алгоритма быстрого преобразования Фурье.

При применении модели Смагоринского применялась демпфирующая функция Ван Дриста около стенок

где - пристеночная функция.