ДЗ, страница 2

k – число групп, k = 12; 50

Оценка параметров а*, b* произведена по формуле с учетом посчитанных значений:

После подстановки:

Таким образом, теоретическая функция спроса имеет вид:

D*(p) = - 0,0068*p +107,32

Рассчитаны восстановленные значения спроса при наших значениях цены: D*(p)

Произведена проверка правильности решения по следующему критерию:

= 0 – все расчеты верны.

Также рассчитана остаточная сумма квадратов:

SS₁= = 126,88

Расчет оптимальной цены для линейной зависимости

Теперь перейдем к расчету оптимальной цены при различных уровнях издержек p₀. Для этого мы должны максимизировать прибыль:

(p - p_0.) D^*(p) = (p_. – p_0.)(a*p + b*).

Продифференцируем это выражение по p и приравняем 0 производную, а также учтем, что a* = -0,0068,b* = 107,32

2a*p_опт. – а*р₀ +b* = 0,

Сравним (табл.4) оптимальные цены, найденные с помощью метода наименьших квадратов (p_опт.2) и рассчитанные ранее с помощью первого метода (p_опт.1). Таблица 4

Вывод: оптимальные цены незначительно отличаются как в большую, так и в меньшую сторону от тех, которые мы нашли в начале.

• Степенная аппроксимация

Оценка параметров степенной аппроксимации проводится аналогичным образом с той лишь разницей, что для нее мы используем величину, называемую логарифмом спроса.

Рассмотрим следующую модель:

- не является линейной по параметрам. Логарифмируем ее:

. Произведем замену переменных:

; . Получили следующее выражение:

– модель, линейная по параметрам.

Результаты расчетов показаны в Таблице 3, где использованы указанные выше параметры (p_i ; f_i ; D_i). На их основе посчитаны средние значения, как средневзвешенные:

Таблица 3.

k – число групп, k = 12; 50.

Средние значения:

.12

Оценка параметров а*, b* произведена по формуле с учетом посчитанных значений:

После подстановки:

Восстановленная зависимость:

Рассчитаны восстановленные значения спроса при наших значениях цены с помощью операции потенцирования значения:. .

Произведена проверка правильности решения по следующему критерию:

= 0 – все расчеты верны.

Также рассчитана остаточная сумма квадратов:

= 4232,9

Расчет оптимальной цены для восстановленной степенной зависимости

Аналогично линейному случаю, определим оптимальную розничную цену p_опт. при различных значениях издержек. А именно, решим задачув случае степенной зависимости:

(p – p_0.)с^*p^α*→ .

Точка, в которой достигается максимум, не меняется при умножении максимизируемой функции на константу. Поэтому переходим к задаче:

(p – p_0.)p^α* = f(p)→ .

Для нахождения максимума функции продифференцируем ее и приравняем производную к 0:

.

Продифференцируем f(p), используя правило дифференцирования произведения функций:

^α* + (p – p₀)(α^*)p^{α* -1} =0.

Итак, необходимо решить линейное уравнение относительно неизвестного p:

p – α^*p + p_0.α^* = 0.

Получим оптимальное значение розничной цены:

Таблица 4

Общий вывод:На основании того, что SS₁<SS₂ можно сделать вывод, что предпочтительней работать с линейной моделью для дальнейшей оценки, т.к. она более точно приближает исследуемую функцию спроса.

Библиография

1. Орлова Л.А. Методическая разработка «Функция спроса и метод наименьших квадратов», электронная версия, М.: Лаборатория экономико-математических методов в контроллинге, 2007 (электронный вариант). – 21 с.

2. Орлов А.И. Прикладная статистика. Учебник. - М.: Издательство «Экзамен», 2004. - 656 с.

3. Орлов А.И. «Эконометрика» http://www.orlovs.pp.ru