Решение матричных уравнений (Решение матричных уравнений. Для тех, кто хочет научиться их решать)

Калужский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Влайков Н.Д.

Решение матричных уравнений

Методические указания для проведения упражнений

по курсу аналитической геометрии

Калуга 2011г.

Содержание.

Цели занятия стр.4

План занятия стр.4

Необходимые теоретические сведения стр.5

Практическая часть стр.6

Контроль освоения пройденного материала стр.10

Домашнее задание стр.11

Количество часов: 2

Цели занятия:

1. Систематизировать полученные теоретические знания о видах матричных уравнений и способах их решения.

2. Применить на практике методы решения матричных уравнений.

План занятия:

1. Кратко изложить теоретический материал.

2. Решить матричное уравнение вида методом с использованием обратной матрицы.

3. Решить матричное уравнение вида методом, основанным на элементарных преобразованиях строк матрицы.

4. Сравнить использованные методы.

5. Решить матричное уравнение вида методом с использованием обратной матрицы.

6. Решить матричное уравнение вида методом с использованием обратной матрицы.

7. Проверить выполнение текущего домашнего задания.

8. Провести проверочную работу.

9. Представить тему следующего семинарского занятия.

10. Выдать текущее домашнее задание.

Необходимые теоретические сведения.

Рассмотрим два вида матричных уравнений относительно неизвестной матрицы : и , где матрицы и - известны, причем - квадратная и невырожденная.

Опр. Некоторую матрицу называют решением матричного уравнения относительно неизвестной матрицы , если при ее подстановке вместо матричное уравнение превращается в тождество.

Рассмотрим уравнение .

Первый метод предполагает вычисление обратной матрицы и дает запись решения матричного уравнения в виде . Причем данное решение единственно.

Второй метод основан на элементарных преобразованиях строк блочной матрицы и имеет своей целью преобразование ее к виду , в котором вместо матрицы стоит единичная матрица . Тогда матрица и будет решением уравнения.

Проверка ответа выполняется подстановкой найденного решения в исходное уравнение.

Матричное уравнение так же можно решить двумя способами. Если известна матрица , то умножаем справа на матричное уравнение и после очевидных преобразований получаем ответ в виде произведения двух матриц . Другой метод решения матричного уравнения состоит в транспонировании его левой и правой частей , . После введения новой неизвестной матрицы получаем уравнение вида , которое решается методом элементарных преобразований.

Практическая часть.

Пример 1. Решить матричное уравнение: _,

где

; .

Решение.

1-ый способ. Найдем решение, используя обратную матрицу:

_{Решение ищем в виде ;}

_{Найдем матрицу (например, при помощи присоединенной матрицы)}

_.

_{Таким образом, получим:}

_.

_{2-ой способ. Найдем решение методом элементарных преобразований:}

_{Запишем матрицу и выполним элементарные преобразования ее строк с целью привести ее к виду .}

_.

_{Следовательно, .}

_{Проверка осуществляется подстановкой в исходное уравнение:}

_{- Верно.}

Пример 2. Решить матричное уравнение: _,

где

; ; .

Решение.

Если для матриц и существуют обратные матрицы и соответственно, умножим обе части уравнения слева на , справа на . В результате получим:

. Учитывая, что ,

( - единичная матрица) можно записать: . Так как

- единичная матрица, окончательно имеем уравнение:

где матрица - решение уравнения.

Если же хотя бы одна из матриц или не имеет обратную, уравнение не имеет решения.

Для матрицы найдем или докажем, что она не существует.

а) обратная матрица существует.

б) .

в) Найдем алгебраические дополнения для матрицы и составим из них присоединенную матрицу :

.

г) Известно, что ; тогда

.

Для матрицы найдем или докажем, что она не существует.

а) обратная матрица существует.

б) .

в) Найдем алгебраические дополнения для матрицы и составим из них присоединенную матрицу :

.

г) По формуле ;

.

Найдем неизвестную матрицу .

.

Ответ: .

Решить матричные уравнения:

№2.121(2.39)

. Отв.:

№2.122(2.40)

. Отв.:

№2.123(2.41)

. Отв.:

№2.124(2.42)

. Отв.:

№2.125(2.43)

. Отв.:

Представление темы следующего семинара.

Решение систем линейных однородных уравнений.

Контроль освоения пройденного материала.

Проверочная работа 5 минут. Участвует 4 студента с четными номерами по журналу, начиная с №10

Задание:

Ответы:

Домашнее задание.

1.Решить матричное уравнение :

1) ; .

2) ; .

2.Решить матричное уравнение :

1) ; ; .

2) ; ; .

3.Проработка лекций на темы:

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Координатная, матричная и векторная формы записи. Критерий Кронекера — Капелли совместности СЛАУ. Однородные СЛАУ. Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ. Свойства решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ, теорема о ее существовании. Нормальная фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ.

11