шпоры_в_более_удобной_для_заучивания_форме. (три документа со шпорами)

Билет №1.

1. Векторный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.

2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил.

1. Векторная система координат.

Положение точки М определено, если радиус-вектор r из центра О выражен функцией времени t r= r(t)  задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость и ускорение:

tr(t), тогда

(t+Δt)r(t+Δt), получаем

Δr= r(t+Δt)-r(t) 

V_ср=Δr/Δt. V=lim(Δr/Δt)=dr/dt.

a_ср=ΔV/Δt. a=lim(Δv/Δt)=dV/dt= d²r(t)/dt².

Переход от векторной формы к координатной:

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k.

Обратно:

x=r(t)×i, y=r(t)×j, z=r(t)×k.

2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил.

Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо.

Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар.

M=M(R,R’)=BA×R=BA×(F₁+F₂)=BA×F₁+BA×F₂. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется  BA×F₁=M₁, BA×F₂=M₂, M=M₁+M₂.

СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Дано: (F₁, F₁’), (F₂, F₂’)

Доказательство:

Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:

(Q₁,Q₁’) и (Q₂,Q₂’). При этом M₁=M(Q₁,Q₁’)=M(F₁, F₁’),

M₂=M(Q₂,Q₂’)=M(F₂, F₂’).

Сложим силы R=Q₁+Q₂, R’=Q₁’+Q₂’. Т. к. Q₁’= - Q₁, Q₂’= - Q₂  R= -R’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R,R’). M(R,R’)=BA×R=BA×(Q₁+Q₂)= BA×Q₁+BA×Q₂=M(Q₁,Q₁’)+ M(Q₂,Q₂’)=M(F₁,F₁’)+ M(F₂,F₂’)  M=M₁+M₂.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:

Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю.

M₁+ M₂+…+ M_n=0.

Билет №2.

1. Координатный способ задания движения точки (прямоугольная декартова система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.

2. Аксиомы статики.

1. Декартова система координат.

Вектор r можно разложить по базису I, j, k: r=xi+yj+zk.

Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначные функции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем. Эти уравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функцией переменных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r׳(t) может быть вычислена по правилу

dr/dt=∂r/∂x∙dx/dt+∂r/∂y∙dy/dt+∂r/∂z∙dz/dt.

Отсюда вытекает, что v=v_xi+v_yj+v_zk.

V=√(v_x²+v_y²+v_z²)

Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а, равный производной от вектора скорости v по времени. А=x׳׳(t)I+y׳׳(t)j+z׳׳(t)k.

А=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²)

2. Аксиомы статики.

1. 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0 тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнять систему сил, эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия.

3. Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то их можно заменить равнодействующей (любую силу можно разложить на составляющие бесконечное число раз).

4. Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.

Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.

Билет №3.

1. Естественный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.

2. Алгебраический и векторный момент силы относительно точки.

1. Естественный способ.

Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным. V=dr/dt∙dS/dS=S׳(t)∙dr/dS=S׳(t)∙τ= =v_τ∙τ. Dr/dS=τ. Τ направлена всегда в «+» направлении отсчета S.

A=dv/dt=S׳׳(t)∙τ+S׳(t)∙dτ/dt=S׳׳∙τ+ (S׳)²n/ρ. A_τ=S׳׳-тангенциальное ускорение, a_n=(S׳)²/ρ-нормальное (центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны.

A=√((a_τ)²+(a_n)²).

2. Векторный и алгебраический момент пары сил.

Алгебраический момент M=F∙d (пара). M=dF₁=dF₂=2S_ΔABC= S_ٱ. Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются).

Векторный момент – вектор M=M(F,F’), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары.

M(F₁,F₂)=BAxF₁=ABxF₂.

Моменты относительно точки.

Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «+» или «-» произведение |F| на её плечо: M_O(F)=Fh=2S_ΔOAB ∙ M_O(F). «+» - против часовой стрелки. Характеризует вращательный эффект F.

Свойства:

А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действия силы. (т.к. |F|sinα= const).

Б) Ь=0 если т. О лежит на линии действия силы.

Плоскость действия M – через F и O.

Векторный момент силы F относительно точки О – вектор M_O(F)=rxF (r – радиус- вектор из А в О). |M_O(F)|=|F|∙|r|∙sinα=Fh.

i j k

M_O(F)= x_A y_A z_A =>

F_x F_y F_z

• M_Ox(F)=yF_z-zF_y

• M_Oy(F)=zF_x-xF_z

M_Oz(F)=xF_y-yF_x

Билет №4.

1. Координатный способ задания движения точки (полярная система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.

2. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.

1. Полярные координаты

Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системе координат. Пусть r=rºr, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор. Тогда v=dr/dt=r׳rº+

rdrº/dt=r׳rº+rφ׳pº=v_rrº+v_ppº. v_p и v_r – трансверсальная и радиальная составляющая скорости. A=dv/dt=d(r׳rº+rφ׳pº)/ dt=r׳׳rº+r׳drº/dt+r׳φ׳pº+rφ׳׳pº+rφ׳∙

dpº/dt=(r׳׳-(rφ׳)²)rº+(rφ׳׳+2r׳φ׳)pº= a_r∙rº+a_ppº.

r²=x²+y², φ=arctg(y/x).

v_r=r׳=(xv_x+yv_y)/r,

v_p=rφ׳=(xv_y-yv_x)/r

2. Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.

Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом M_O системы сил относительно точки О.

Доказательство:

Пусть О – центр приведения. Переносим силы F₁, F₂,…,F_n в точку О: FO= F₁ +F₂+…+F_n= ∑F_k. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F₁,F₁”)…(F_n,F_n”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M₁=M(F₁,F₁”)=r₁xF₁=M_O(F₁). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду M_O=M₁+…+M₂=∑M_O(F_k)= ∑r_kxF_k => (F₁, F₂,…,F_n) ~ (R,M_O) (не зависит от выбора точки О).

Билет №5.

1. Определение скорости точки при задании ее движения в криволинейных координатах.

2. Момент силы относительно оси.

1. Скорость точки в криволинейных координатах.

V=dr/dt=(∂r/∂q₁)∙dq₁/dt+(∂r/∂q₂)∙dq₂/dt+(∂r/∂q₃)∙dq₃/dt.

v=(dq₁/dt)H₁e₁+(dq₂/dt)H₂e₂+(dq₃/dt)H₃e₃.

v=√(dq₁/dt)²H₁²+(dq₂/dt)²H₂²+(dq₃/dt)²H₃². v_q1=(dq₁/dt)H₁, v_q2=(dq₂/dt)H₂, v_q3=(dq₃/dt)H₃.

Пример: 1) скорость в цилиндрической системе.

Т.к. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, то

H₁=1, H₂=ρ, H₃=1.

v_ρ=dρ/dt, v_φ=ρdφ/dt, v_z=dz/dt.

2) Движение по винтовой.

ρ=R=const, φ=kt, z=ut.

v_ρ=0, v_φ=kR, v_z=u.

2. Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на ось, перпендикулярную оси z, взятого относительно точки A пересечения оси с этой плоскостью. Характеризует вращательный эффект относительно оси.

M_z(F)=2S_ΔABC=F_┴∙h.

Если M_z(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия её действия пересекает ось z.

Билет №6.

1. Понятие о криволинейных координатах. Координатные линии и координатные оси.

2. Основные виды связей и их реакции.

1. Криволинейные координаты.

Устанавливают закон выбора 3 чисел q₁, q₂, q₃. q₁, q₂, q₃ – криволинейные координаты. Функция координат: r=r(q₁,q₂,q₃) (из точки О).

Возьмем точку М₀ с координатами q₁,q₁₀,q_20.

X=X(q₁,q₂₀,q₃₀);

Y=Y(q₁,q₂₀,q₃₀);

Z=Z(q₁,q₂₀,q₃₀);

Определяют кривую (переменная только q₁). Кривая – координатная линия, соответствующая изменению q₁ (аналогично q₂ и q₃). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M₀ в сторону возрастания соответствующих координат – координатные оси: [q₁], [q₂], [q₃].

H₁=

Коэффициент Ламе.

e₁=(∂r/∂q₁)/H₁.

Аналогично Н₂, Н₃, е₂, е₃.

2. Виды связей и их реакции.

Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве). Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

1. Гладкая поверхность – по общей нормали.

2. Нить – вдоль к точке закрепления.

3. Сферический шарнир – по любому радиусу.

4. Сферический шарнир – по любому радиусу.

5. Подпятник, подшипник – любое направление.

Дополнительно:

А) Скользящий;

Б) Внутренний.

Билет №7.

1. Число степеней свободы твердого тела в общем и частных случаях его движения.

2. Лемма о параллельном переносе силы.

1. Число степеней свободы твердого тела

n=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.тела

Для тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно имеет 3 степени свободы.

2. Лемма о параллельном переносе силы.