Teormekh (Билеты 2015 года с теорией в ворде)

1)Траектория, скорость и ускорение точки при векторном способе задания движения.

Положение точки в пространстве определяется радиус-вектором.

Уравнение движения в векторной форме: r=r(t)

Траектория точки - годограф ее радиус-вектора.

Скорость:

Ускорение:

2) Траектория, скорость и ускорение точки при задании движения в декартовой системе координат.

Положение точки М в пространстве с использованием данной системы координат задается ее координатами x, y, z.

Чтобы знать положение точки в пространстве в любой момент времени необходимо иметь уравнения движения точки в виде: x=x(t), y=y(t), z=z(t).

x=x(t), y=y(t), z=z(t) - представляют собой уравнения движения точки в декартовой системе координат и одновременно являются уравнениями траектории точки, записанными в параметрической форме, где параметром является время t. Чтобы найти уравнение траектории в форме непосредственной зависимости между координатами x, y, z, из системы уравнений x=x(t), y=y(t), z=z(t) необходимо исключить время. В таком случае траекторию будет определять, например, система уравнений вида: f1(x,y)=0, f2(x,z)=0. Следовательно, траектория

представляет собой линию пересечения цилиндрических поверхностей, уравнения которых составляют систему f1(x,y)=0, f2(x,z)=0.

Скорость:    . Таким образом, скорость точки представляет собой сумму составляющих векторов, параллельных осям декартовой системы координат:  , где  , а ее численное значение (модуль) определяется по формуле:  .

Ускорение:  , проекции ускорения на оси декартовой системы координат будут  , составляющие ускорения, параллельные осям координат, определятся как  , а численное значение ускорения будет равно:  . Проекцию ускорения на ось, совпадающую по направлению с вектором скорости. для определения характера движения точки (т.е. ускоренно или замедленно она движется) можно в данном случае найти, в виде:  .

3) Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения.

Если траектория точки известна (т.е. в некоторой системе отсчета определена графически, с помощью уравнения или другим образом), то задать движение точки можно естественным способом. Для этого необходимо: зафиксировать на трактории точку начала отсчета, выбрать положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты и указать уравнение движения точки по траектории в виде S=S(t).

Скалярный параметр S в данном случае имеет смысл криволинейной (дуговой) координаты, модуль которой определяет текущее расстояние по траектории от начала отсчета (точки О) до подвижной точки М, а знак показывает, по какую сторону от начала отч=счета находится точка М на траектории.

Следует отметить, что уравнение движения в форме S=S(t) определяет текущее положение точки именно на траектории, при этом может быть установлена взаимно однозначная связь между значениями координаты S и радиус-вектором точки М в той системе отсчета, в которой определена в рассматриваемом случае траектория движения точки. Тогда радиус-вектор точки может быть представлен в виде функциональной зависимости от параметра S в виде r=r(S).

Модуль скорости, т.е. ее численное значение, при естественном способе задания движения точки определятся так:  .

Ускорение составляет сумму касательной и нормальной составляющих:  , где   и  . Следовательно:  .

Дополнение: Значение пути - 

4) Траектория, скорость и ускорение точки при задании движения на плоскости в полярных координатах.

Если движение точки происходит в некоторой плоскости, то иногда целесообразно использовать полярную систему координат. Положение точки М в ней определяется координатами r и "фи", являющимися скалярными величинами.

Расположение полярной оси (луча, проведенного на плоскости из некоторой точки О) выбирают в плоскости движения точки, исходя из удобства решения задачи.

Полярный радиус r - скалярный неотрицательный параметр, равный длине отрезка ОМ, т.е. расстоянию от начала координат (точки О) до точки М.

Полярный угол "фи" - это угол между полярной осью и илнией ОМ (за положительное значение значение угла принимают направление, противоположное направлению движения часовой стрелки).

Для задания движения точки в полярной системе коодинат необходимо иметь уравнение движения в виде:  Данная система является также параметрической формой записи уравнения траектории точки. Если из системы исключить время, то уравнение траектории можно получить в форме:  .

В полярной системе координат радиус-вектор точки, проведенный из центра О, равен   и выражается так:  .

Вектор скорости представляется в виде суммы двух векторов, каждый из которых является составляющей скорости по направлению, задаваемому векторами r0 и p0 соответственно. Первое слагаемое называется радиальной составляющей, а второе - трансверсальной составляющей скорости точки:  . Проекции скорости на радиальную и трансверсальную оси имею вид  . Так как составляющие скорости взаимно перпендикулярны, то ее модуль:  .

Ускорение точки:  , где   - радиальная и трансверсальная составляющие ускорения точки соответственно. Так как составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, то его модуль:  .

5) Понятие о криволинейных координатах. Координатные линии и координатные оси.

Движение точки в пространстве можно считать заданным, если известны законы изменнеия трех ее декартовых координат x, y, z как функции времени. Однако в некоторых случаях пространственного движения материальных точек (например, в областях, ограниченных поверхностями различной формы) использование уравнений движения в декартовых координатах неудобно, так как они становятся слишком громоздкими. В таких случаях можно выбрать другие три независимых скалярных параметра q1, q2, q3, называемых криволинейными, илиобобщенными координатами, которые также однозначно определяют положение точки в пространстве.

Тогда радиус-вектор точки может быть выражен функцией как декартовых, так и криволинейных координат:  . При этом следует иметь в виду, что декартовы координаты точки могут также быть выражены в виде функций, зависящих от криволинейных координат:  . Для задания движения точки в криволинейных координатах необходимо иметь уравнения движения точки в виде:  .

Характеристиками криволинейной системы координат являются координатные линии и координатные оси.

Координатные линии (qi), проходящие через любую выделенную точку М пространства с фиксированными значениями координат q1M, q2M, q3M и соответствующие каждой i-ой криволинейной координате, можно определить как годограф радиус-вектора riM точки М, изменяющегося в результате варьирования одной выделенной i-ой криволинейной координаты при условии, что другие сохраняются постоянными и равными их значениям в выделенной точке:

Касательная к i-ой координатной линии в данной точке называется координатной осью Mqi, относящейся к i-ой криволинейной координате в данной точке. Положительные направления координатных осей задаются единичными векторами, которые называются базисами. Они определяются через частные производные от радиус-вектора точки по i-ой обобщенной координате в данной точке M:  . Здесь   - параметр, который называется i-ым коэффициентом Ламе и равен значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по i-ой криволинейной координате, вычисленной в данной точке М. Каждый из векторов ei имеет направление, соответствующее направлению движения точки конца радиус-вектора riM при возрастанийй i-ой обобщенной координаты.

6) Определение скорости точки при задании в криволинейных координатах. Пример.

Скорость точки М при задании ее движения в криволинейных координатах определится в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям:  . Проекции скорости на соответствующие координатные оси равны:  . Модуль скорости в ортогональной криволинейной системе координат можно рассчитать по зависимости:  . В приведенных формулах значения производных и коэффициентов Ламе вычисляют для текущего положения точки М в пространстве.

Пример (может быть и не это): Скорость в сферической системе координат.

Координатами точки в сферической системе координат являются скалярные параметры r, "фи", "тета", отсчитываемые так, как показано на рис. Система уравнений движения точки в данном случае имеет вид: 

На рис. изображены радиус-вектор r, проведенный из начала координат, углы "фи" и "тета", а также координатные линии и оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории. Видно, что координатные линии ("фи") и ("тета") лежат на поверхности сферы радиусом r. Данная криволинейная система координат также является ортогональной. Ее оси Mr, М("фи") и М("тета") и соответствующие им единичные векторы er, e("фи"), е("тета"), определяютщие положительные напревления осей, взаимно перпендикулярны. Декартовы координаты могут быть выражены через криволинейные координаты так:  . Тогда коэффициент Ламе:  ; проекции скорости точки на оси сферической системы координат  , а модуль  .

Дополнение:

Движение точки в пространстве можно считать заданным, если известны законы изменнеия трех ее декартовых координат x, y, z как функции времени. Однако в некоторых случаях пространственного движения материальных точек (например, в областях, ограниченных поверхностями различной формы) использование уравнений движения в декартовых координатах неудобно, так как они становятся слишком громоздкими. В таких случаях можно выбрать другие три независимых скалярных параметра q1, q2, q3, называемых криволинейными, илиобобщенными координатами, которые также однозначно определяют положение точки в пространстве.