Bilet_26 (Теория по лекциям ДУБОГРАЙ. Все по БИЛЕТУ)

Билет 26.

1.Дайте опр-ие канонического вида квадратичной формы(КФ). Сформулируйте т-му о возможности приведения КФ к каноническому виду ортогональным преобразованием и опишите алгоритм этого приведения.

КФ-ой вектора наз-ся однородный многочлен 2-ой степени, связывающий координаты вектора в некотором базисе след. образом: (1)

Вид КФ, в котором содержатся только квадраты переменных, называется каноническим.

Th(Метод Лагранжа приведения КФ к каноническому виду): «Для любой КФ в пр-ве сущ-ет базис, в котором она принимает канонический вид».

□ 1) Дана КФ , выделим все слагаемые с и дополним их до квадрата суммы см.(1)

.

В выделим все слагаемые с и по аналогии => продолжая эту работу получим Если из этой системы выразить старые переменные так, что :

=> переход к новому виду линейный, и т.к. X=UX’, то он осуществляется с матрицей.

U= Матрица перехода составляется и однозначно определяет новый базис, где КФ принимает канонический вид.

2) Если , то переобозначим переменные так, что , получим

См. (1) часть теоремы.

3) все , ,=>

Обозн.

-

…

(см. 1)

Зам. Если при выделении полных квадратов часть коэф-ов равна 0, то перенумеровав элементы, получим:

k<n

Матрица КФ в этом случае

Продолжени 26.

RgD=K

Ранг КФ от способа приведения не зависит в любом канон. виде кол-во ненулевых слагаемых сохраняется.■

2.Дайте определение полного диф-ла ФНП. Напишите формулу для его вычисления. Дайте определение сложной ФНП. Сформулируйте теорему о ее дифференцируемости. Докажите теорему об инвариантности полного диф-ла ФНП.

Полным диф-лом y=f(x) в т., в которой эта ф-ция диф-ма, наз-ся главная часть ее полного приращения в этой т., линейная относительно приращений всех переменных . Заметим, что если взять , то , а по определению => для независимой переменной

Или .

Если задана ФНП , где все , то наз-ся сложной функцией перем. .

Th(о диф-ти сложной ФНП): Если ФНП y=f(x) диф-ма в т. , а все диф-мы в т. и , то сложная функция y=f(x(t)) диф-ма в т. . □ Докажем Th для ф-ции z=f(x,y), где x=x(t) и y=y(t)

Ф-ции z=f(x,y) и x(t), y(t) диф-мы соответств. т. и в т. =>

=

т.к. x(t) и y(t) диф-мы => они непрерывны в т. => ,

=> -БМ относит.

o( )=o( ) отсюда после всех выводов получаем:

точке соотв. => = + = , где ,

по определению z(t) диф-ма в т. 1ч доказана

2ч. Th док-во: Заметим, что в т. конечная производная :

Рассмотрим = => = В условиях сформулированной теоремы док-во диф-ти аналогично!■